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2026年山东中考数学模拟题（三）
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B． B． C D A C A B C C
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列四个数：2，﹣5，，﹣1，其中最小的数是（　　）
A．2 B．﹣5 C． D．﹣1
【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：∵﹣5＜﹣1＜2，
∴最小的数是：﹣5．
故选：B．
2．（3分）2025年“五一”期间，海南省旅文厅在全岛推出26场体育赛事活动，拉动相关消费约6500万元．数据65000000用科学记数法表示为（　　）
A．6.5×106 B．6.5×107 C．0.65×106 D．0.65×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：65000000＝6.5×107．
故选：B．
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念，即可解决问题．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D不符合题意，
所以既是轴对称图形又是中心对称图形的是C，
故选：C．
4．（3分）如图所示的几何体，其左视图是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据左视图是从左边看到的图形进行求解即可．
【解答】解：此几何体从左边看如图，
故选：D．
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先求出每个不等式的解集，从而求出不等式组的解集，然后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①，得：x＞﹣1，
解不等式②，得：x≤1，
∴原不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
∴不等式组的解集在数轴上表示为：
，
故选：A．
6．（3分）下列计算正确的是（　　）
A． B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（x﹣3）（x+2）＝x2﹣x﹣6 D．（ab2）3＝ab6
【分析】根据二次根式的加减运算，完全平方公式，因式分解，幂的运算，即可．
【解答】解：2和不是同类二次根式
∴，
∴A错误，不合题意；
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴B错误，不合题意；
∵（x﹣3）（x+2）＝x2﹣x﹣6，
∴C正确，符合题意；
∵（ab2）3＝a3b6，
∴D错误，不合题意．
故选：C．
7．（3分）下列函数不是反比例函数的是（　　）
A． B．y＝﹣2025x﹣1
C． D．xy＝2025
【分析】根据反比例函数的定义分别进行分析即可，形如：或y＝kx﹣1或xy＝k的函数是反比例函数．
【解答】解：∵不是反比例函数，是正比例函数，
∴A选项符合题意；
∵y＝﹣2025是反比例函数，
∴B选项不符合题意；
∵是反比例函数，
∴C选项不符合题意；
∵xy＝2025，
∴y，
∴D选项是反比例函数，不符合题意．
故选：A．
8．（3分）如图，正五边形ABCDE的内切圆⊙O分别切AB，CD于点M，N．若P为优弧MN上的一点，连接MP，NP，则∠MPN等于（　　）
A．144° B．72° C．54° D．80°
【分析】连接OM，ON，先根据正五边形的内角和可得∠B＝∠C＝108°，再根据圆的切线的性质可得∠OMB＝∠ONC＝90°，然后根据五边形的内角和可得∠O的度数，最后根据圆周角定理求解即可得．
【解答】解：如图，连接OM，ON，
由条件可得，
∵正五边形ABCDE的内切圆⊙O分别切AB，CD于点M，N，
∴∠OMB＝∠ONC＝90°，
∴在五边形BCNOM中，∠O＝180°×（5﹣2）﹣∠B﹣∠C﹣∠OMB﹣∠ONC＝144°，
由圆周角定理得：，
故选：B．
9．（3分）如图，OC是一条射线，将一把直角三角尺（∠OAB＝30°，∠OBA＝60°）的直角顶点放在O处，∠BOC＝40°，将OC绕着点O按每秒15°的速度顺时针旋转360°，设旋转时间为t秒，分别作出∠BOC、∠AOC的角平分线OE、OF．在旋转过程中，当OE或OF中有一条射线与AB平行时，t的值为（　　）．（注：本题中所有的角均是指大于0度且小于或等于180度的角）
A． B． C．或 D．或
【分析】分两种情况：①当OF∥AB时，②当OE∥AB时，进行讨论即可．
【解答】解：①如图，当OF∥AB时，
∵∠OAB＝30°，
∴∠AOF＝∠OAB＝30°，
∵OF平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠AOF＝2×30°＝60°，
∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝90°+60°＝150°，
即：15°t+40°＝150°，
解得：t；
②如图，当OE∥AB时，
∵∠OBA＝60°，
∴∠BOE＝∠OBA＝60°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠BOE＝2×60°＝120°，
∴15°t+40°＝360°﹣120°，
解得：t，
综上所述，在旋转过程中，当OE或OF中有一条射线与AB平行时，t的值为秒或秒．
故选：C．
10．（3分）测量一座山的高度时，有时需要在若干个观测点中测量两个相邻可视观测点的相对高度，如“A﹣C＝90m”表示“观测点A比观测点C高90m”，再用这些相对高度计算出山的总高度．如表是某次测量数据的部分记录，根据这次测量的数据，可得A﹣B＝（　　）
A﹣C C﹣D D﹣E E﹣F F﹣G G﹣B
90m 75m 50m ﹣50m 70m ﹣60m
A．150m B．﹣150m C．175m D．﹣175m
【分析】将表中有理数相加即可得到A﹣B的值．
【解答】解：A﹣B＝（A﹣C）+（C﹣D）+（D﹣E）﹣（F﹣E）+（F﹣G）﹣（B﹣G）
＝90+75+50﹣50+70﹣60
＝175（米），
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）因式分解：3a﹣3ax2＝　3a（1+x）（1﹣x）　 ．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式．
【解答】解：原式＝3a（1﹣x2）
＝3a（1+x）（1﹣x）．
故答案为：3a（1+x）（1﹣x）．
12．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是 x≤3且x≠2　 ．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得3﹣x≥0且x﹣2≠0，
解得x≤3且x≠2．
故答案为：x≤3且x≠2．
13．（3分）若m，n为一元二次方程x2+3x+1＝0的两个根，则的值为　﹣3　 ．
【分析】利用根与系数的关系可以求得m+n＝﹣3，mn＝1，然后将所求式子变形，再代入m+n＝﹣3，mn＝1计算即可，
【解答】解：∵m，n为一元二次方程x2+3x+1＝0的两个根，
∴m+n＝﹣3，mn＝1，
∴，
即的值为﹣3，
故答案为：﹣3．
14．（3分）如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了150°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了 　5π　 cm．（结果保留π）
【分析】根据弧长的计算方法计算半径为6cm，圆心角为150°的弧长即可．
【解答】解：由题意得，重物上升的距离是半径为6cm，圆心角为150°所对应的弧长，
即（cm），
故答案为：5π．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，AD＝10，AC＝16，点P为对角线AC上的动点，连接DP，将DP绕点D按逆时针方向旋转至DQ，使∠PDQ＝∠ADC，PQ与CD交于点E．有如下结论：①△ADC∽△PDQ；②；③连接CQ，当△CEQ为直角三角形时，AP＝8或；④当CD将△DPQ分成两部分的面积之比为1：2时，或．以上结论中，正确结论的序号是　①②④　 ．
【分析】①△ADC与△PDQ为两个等腰三角形，得到∠DPQ＝∠DAC，从而证明△ADC∽△PDQ；
②证明△APD∽△CEP即可证明结论；
③当∠QEC＝90°时，证明△CQE≌△CPE得出AP＝CP计算出AP；当∠EQC＝90°证明△PCQ∽△DAH，根据相似比计算出AP．
④证明△DAC∽△DQP和△DEQ∽△PEC，由△PEC∽△DPA推出△DEQ∽△DPA，得到，再分两种情况讨论，即可求解．
【解答】解：在菱形ABCD中，AD＝CD＝10，
∴，
∵将DP绕点D按逆时针方向旋转至DQ，使∠PDQ＝∠ADC，
∴DP＝DQ，
∴，
∴∠DPQ＝∠DAC，
∵∠PDQ＝∠ADC，
∴△ADC∽△PDQ，
故结论①正确，符合题意；
∵∠QPC＝180°﹣∠DPQ﹣∠DPA，∠ADP＝180°﹣∠DAP﹣∠DPA，
∴∠EPC＝∠ADP，
∵∠DAC＝∠DCA，
∴△APD∽△CEP，
∴，
故结论②正确，符合题意；
连接CQ，当△CEQ为直角三角形时，
如图1，当∠QEC＝90°时，∠QEC＝90°＝∠PEC，
∵∠PDQ＝∠ADC，
∴∠QDC＝∠PDA，
在△CQD和△APD中，
，
∴△CQD≌△APD（SAS），
∴∠QCD＝∠DAC＝∠DCA，CQ＝AP，
在△CQE和△CPE中，
，
∴△CQE≌△CPE（ASA），
∴CQ＝CP．
∵CQ＝AP，
∴．
如图2，当∠EQC＝90°时，延长DP交AB于H，连接BD交AC于点O，
设AP＝x，
∵△CQD≌△APD（SAS），
∴∠DQC＝∠DQP+90°＝∠DPA＝∠PAH+∠AHP，CQ＝AP＝x，CP＝8﹣x，
∵∠DQP＝∠DPQ＝∠DAC＝∠PAH，
∴∠AHP＝90°，
在菱形ABCD中，AD＝AB＝10，AC＝16，AC⊥BD，
∴OA＝8，∠AOB＝∠AHP＝90°，
∵∠PAH＝∠BAO
∴△APH∽△ABO，
∴，即，
∴．
∵∠PQC＝∠DHA，∠CPQ＝∠ADH，
∴△PCQ∽△DAH，
∴，
∴，
解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意），
∵DQ＝DP＜DC，
当∠ECQ＝90°时DQ＞DC，
∴∠ECQ＝90°的情况不存在，
综上所述，AP的值等于8或，
故结论③错误，不符合题意；
∵△DAC∽△DPQ，
∴，
∵∠DCA＝∠Q＝∠DAP，∠QDE＝∠PDQ﹣∠PDE＝∠ADC﹣∠PDE＝∠PDA，
∴△DEQ∽△DPA，
∴，即，
∴，
当S△DEP＝2S△DEQ时，，
∴；
当时，，
∴；
综上所述，AP的值等于或，
故结论④正确，符合题意，
综上所述，正确结论的序号是①②④；
故答案为：①②④．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）已知a，b，c为实数，且满足，求的值．
【分析】根据题目中的式子和非负数的性质，可以计算出a、b、c的值，然后代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵a，b，c为实数，且满足，
∴2﹣a＝0，16﹣b2＝0，c2﹣4＝0，b﹣4≠0，c﹣2≠0，
解得a＝2，b＝﹣4，c＝﹣2，
∴
＝﹣1．
17．（9分）某公司计划从商店购买台灯和手电筒，已知台灯的单价比手电筒的单价高50元，用240元购买台灯的数量和用90元购买手电筒的数量相等．
（1）求购买一盏台灯、一个手电筒各需要多少元？
（2）经商谈，商店给予该公司购买一盏台灯赠送一个手电筒的优惠．如果公司需要手电筒的数量是台灯数量的2倍还多8个，且购买台灯和手电筒的总费用不超过2440元，那么公司最多可购买多少盏台灯？
【分析】（1）设购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要（x+50）元，根据用240元购买台灯的数量和用90元购买手电筒的数量相等，即可列出方程；
（2）设公司购买台灯的个数为a，则还需要购买手电筒的个数是2a+8，根据购买一盏台灯赠送一个手电筒的优惠，购买台灯和手电筒的总费用不超过2440元，即可列出不等式．
【解答】解：（1）设购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要（x+50）元，
根据题意得，
解得x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，
所以x+50＝30+50＝80，
答：购买一个台灯需要80元，购买一个手电筒需要30元；
（2）设公司购买台灯的个数为a，则还需要购买手电筒的个数是2a+8，
由题意得：80a+30（2a+8﹣a）≤2440，
解得a≤20，
答：公司最多可购买20个该品牌的台灯．
18．（9分）某校组织学生参加“传统文化知识竞赛”（满分为20分）．竞赛结束后，从该校七、八年级学生中随机抽取20名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
抽取七年级成绩是：
20，20，20，20，19，19，19，19，18，18，18，18，18，18，18，17，16，16，15，14．
所抽取成绩折线统计图（部分）、样本成绩分析表如下表所示：
年级分析 七年级 八年级
平均分 18 a
众数 b 19
中位数 18 c
方差 2.7 2.7
（1）上表中，a＝　18　 ；b＝　18　 ；c＝　18.5　 ；
（2）在统计图中补上七年级的折线统计图，并对两个年级的成绩做对比分析（用一句话概述）；
（3）该校七、八年级共有学生1000人，估计此次测试成绩不低于19分的学生有多少人？
【分析】（1）直接根据平均数、众数、中位数的定义解答即可；
（2）先根据七年级成绩画出折线统计图，再根据平均数、众数、方差、中位数分析即可解答．
（3）直接用样本估计整体即可解答．
【解答】解：（1）八年级的平均数a＝（20×3+19×7+18×4+17×2+16×2+15+14）÷20＝18；
七年级成绩是18的人数最多，则众数b＝18，
八年级成绩由低到高排列处于第10、11位的分别为18、19，则中位数．
故答案为：18，18，18.5．
（2）根据七年级的成绩，画出七年级的折线统计图如下：20，20，20，20，19，19，19，19，18，18，18，18，18，18，18，17，16，16，15，14．
七八年级学生的平均数、中位数、方差都相同，但八年级中位数、众数大于七年级，即八年级中等以上学生多于七年级学生．
（3）（人）．
答：估计此次测试成绩不低于19分的学生有450人．
19．（9分）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用．
【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间t（s）、运动快慢v（cm/s）、运动路程y（cm）的数据．
【收集整理数据】
运动时间t（s） 0 4 8 12 16 20 …
运动快慢v（cm/s） 12 10 8 6 4 2 …
运动路程y（cm） 0 44 80 108 128 140 …
【数学建模探究】
【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：v与t之间的关系可以近似地用 　一次　 函数表示，y与t之间的关系可以近似地用 　二次　 函数表示．（选填：一次、二次、反比例）
【检验】根据猜想求出v与t，y与t之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证．
【应用】当弹珠到达水平轨道上A点时，前方B点处有一辆电动小车以3cm/s的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么AB的最大值是多少？
【分析】（猜想）利用描点法解答即可；
（检验）利用待定系数法解答即可；
（应用）根据追及关系列方程，结合二次函数性质，得AB最大值为81cm．
【解答】解：【猜想】，
观察v随t的变化，是均匀减小，符合一次函数特征；y与t的关系结合图象判断为二次函数，
故答案为：一次，二次；
【检验】求v与t的函数关系式：
设v＝kt+b，把t＝0，v＝12和t＝4，v＝10代入，
可得，解得，所以v＝﹣0.5t+12，
验证：当t＝8时，v＝﹣0.5×8+12＝8，与表格数据一致；
求y与t的函数关系式：
设y＝at2+bt+c，把t＝0，y＝0，t＝4，y＝44，t＝8，y＝80代入，
可得
解得，
∴y＝﹣0.25t2+12t，
验证：当t＝12时，y＝﹣0.25×144+12×12＝108，与表格数据一致；
【应用】设运动时间为t秒时弹珠追上小车，
此时弹珠运动的路程y等于AB的距离加上小车运动的路程3t，即y＝s+3t（s为AB的距离），
由y＝﹣0.25t2+12t，
可得﹣0.25t2+12t＝s+3t，
整理得s＝﹣0.25t2+9t，
对于二次函数s＝﹣0.25t2+9t，a＝﹣0.25＜0，
其最大值在t＝18时取得，
把t＝18代入s＝﹣0.25t2+9t，得s＝81，
所以AB的最大值是81cm．
20．（9分）在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，小组成员在斜坡底部C处测得塔顶部B的仰角为45°，沿斜坡CD走25m到达观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°，且斜坡CD的坡度为3：4，其中点E，C，A在同一条直线上．
（1）求DE的长．
（2）求塔AB的高度（结果保留一位小数，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）．
【分析】（1）根据已知可设DE＝3x米，则CE＝4x米，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理进行计算，即可解答；
（2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：DE＝AF＝15米，DF＝AE，然后设AC＝a米，则DF＝AE＝（a+20）米，分别在Rt△ACB和Rt△BDF中，利用锐角三角函数的定义求出AB和BF的长，从而列出关于a的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵斜坡CD的坡度为3：4，
∴，
∴设DE＝3x米，则CE＝4x米，
在Rt△CDE中，CD5x（米），
∵CD＝25米，
∴5x＝25，
解得：x＝5，
∴DE＝15米，CE＝20米，
∴DE的长为15米；
（2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，
由题意得：DE＝AF＝15米，DF＝AE，
设AC＝a米，
∵CE＝20米，
∴DF＝AE＝CE+AC＝（a+20）米，
在Rt△ACB中，∠ACB＝45°，
∴AB＝AC tan45°＝a（米），
在Rt△BDF中，∠BDF＝27°，
∴BF＝DF tan27°≈0.51（a+20）米，
∵BF+AF＝AB，
∴0.51（a+20）+15＝a，
解得：a，
∴AB51.4（米），
∴塔AB的高度约为51.4米．
21．（9分）在一次趣味数学的社团活动中，有这样的一道数学探究性问题．
（1）问题情境：如图1，在△ABC中，∠A＝30°，BC＝8，则△ABC的外接圆的半径为　8　 ；
（2）操作实践：如图2，用无刻度直尺与圆规在矩形ABCD的内部作出一点P，使得∠BPC＝∠BEC，且PB＝PC（不写作法，保留作图痕迹）
（3）迁移应用：已知，在△ABC中，∠A＞∠B，∠C＝60°，AB＝12，求BC的取值范围．
【分析】（1）连接OB、OC，根据圆周角定理及等边三角形的性质可得答案；
（2）作BC的垂直平分线，交BE于点O，以O为圆心，OB为半径作圆，交垂直平分线于点P，则点P为所求；
（3）作△ABC的外接圆，利用特殊直角三角形的性质及等边三角形的性质可得答案．
【解答】解：（1）如图1，在△ABC中，∠A＝30°，BC＝8，连接OB、OC，
∴∠BOC＝60°，OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝8，
∴△ABC的外接圆的半径为8，
故答案为：8；
（2）使得∠BPC＝∠BEC，且PB＝PC的点P，如图2即为所求；
∵点P在BC的垂直平分线，
∴PC＝PB，BF＝CF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴PO∥CD，
∴，
∴BO＝EO，
∴⊙O过点E，
∵，
∴∠BPC＝∠BEC；
（3）如图3，作△ABC的外接圆，
∵∠BAC＞∠ABC，AB＝12，
当∠BAC＝90°时，BC为最长弦，即直径，
∵∠C＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴BC＝2AC，，
∴，
∴，
当∠BAC1＝∠ABC1时，△ABC1是等边三角形，
∴BC1＝AC1＝AB＝12，
∵∠BAC＞∠ABC，
∴BC的取值范围为．
22．（9分）阅读下列材料，完成相应的任务．
无刻度直尺作图不同于传统的尺规作图，它只能用来画直线、射线或线段．在作图时，关键在于根据几何图形的特征确定与题意相符的两个点或一个点，再利用“两点确定一条直线”这一基本事实即可．
如图1，已知平行四边形ABCD，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF，连接EF，仅用无刻度直尺在EF上画点O，使点O为EF的中点．
方法：如图2，连结AC，AC与EF的交点即为点O．理由如下：
连续AF，CE
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∵BE＝DF，
∴AE＝CF，
又CF∥AE，
∴四边形AECF为平行四边形（依据），
∴OE＝OF，
∴O为EF的中点．
任务：（1）材料中的依据是指：　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形　 ．
（2）图3为正方形网格，点A、B为格点，请仅用无刻度直尺画出线段AB的中点O（不写作法和依据，保留作图痕迹）．
（3）如图4，已知菱形ABCD，点E为AB上一点，请仅用无刻度直尺在AD上画点G，使AG＝AE（不写作法和依据，保留作图痕迹）．
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理分析即可；
（2）根据网格的特点，确定点C、D，四边形ADBC为矩形，可得OA＝OB，即可得解；
（3）连接DE交AC于点O，连接BO并延长交AD于点G，由菱形的性质可知，AC为对称轴，从而证明△DOG≌△BOE，得到DG＝BE，即可得出AG＝AE．
【解答】解：（1）材料中的依据是指：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）如图，点O即为所求作；
（3）如图，点G即为所求作．
23．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5过点A（﹣1，﹣3）、B（2，﹣9）、C（﹣1，0）三个点中的两个点．
（1）求抛物线解析式；
（2）若抛物线y＝ax2+bx﹣5﹣2mx过点（m﹣1，y1）、（m+3，y2），试比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）若将抛物线y＝ax2+bx﹣5平移得到新抛物线y＝ax2+bx﹣5+n，当﹣2＜x＜3时，新抛物线与直线y＝1有且只有一个公共点，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）由题可判断抛物线经过点B和点C，进而代入求解即可；
（2）根据开口向上，离对称轴越远函数y值越大进行判断即可；
（3）分两种情况讨论，当新抛物线顶点落在直线y＝1上时，利用顶点纵坐标等于1求出n值即可；当新抛物线顶点不落在直线y＝1上时，利用图象建立不等式求解即可．
【解答】解：（1）由题可知抛物线要么经过A、B两点，要么经过B、C两点，
当经过点A和点B时，将坐标代入，此时a＝0，不合题意；
将点B（2，﹣9）和C（﹣1，0）代入得，
，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x﹣5；
（2）由题可知y＝x2﹣4x﹣5﹣2mx＝x2﹣2（m+2）x﹣5，
∴对称轴为直线xm+2，
∴m+2﹣（m﹣1）＝3，m+3﹣（m+2）＝1，
∵a＝1＞0，
∴开口向上，离对称轴越远函数y值越大，
∴y1＞y2；
（3）∵y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
∴原抛物线顶点坐标为（2，﹣9），
由题可知新抛物线向上平移n个单位，
∴新抛物线顶点坐标为（2，﹣9+n），
①当新抛物线顶点落在直线y＝1上时，则﹣9+n＝1，
解得n＝10；
②当新抛物线顶点不在直线y＝1时，
则，即，
解得﹣6＜n≤9；
综上，n＝10或﹣6＜n≤9．中小学教育资源及组卷应用平台
2026年山东中考数学模拟题（三）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列四个数：2，﹣5，，﹣1，其中最小的数是（　　）
A．2 B．﹣5 C． D．﹣1
2．（3分）2025年“五一”期间，海南省旅文厅在全岛推出26场体育赛事活动，拉动相关消费约6500万元．数据65000000用科学记数法表示为（　　）
A．6.5×106 B．6.5×107 C．0.65×106 D．0.65×107
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．（3分）如图所示的几何体，其左视图是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）下列计算正确的是（　　）
A． B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（x﹣3）（x+2）＝x2﹣x﹣6 D．（ab2）3＝ab6
7．（3分）下列函数不是反比例函数的是（　　）
A． B．y＝﹣2025x﹣1
C． D．xy＝2025
8．（3分）如图，正五边形ABCDE的内切圆⊙O分别切AB，CD于点M，N．若P为优弧MN上的一点，连接MP，NP，则∠MPN等于（　　）
A．144° B．72° C．54° D．80°
9．（3分）如图，OC是一条射线，将一把直角三角尺（∠OAB＝30°，∠OBA＝60°）的直角顶点放在O处，∠BOC＝40°，将OC绕着点O按每秒15°的速度顺时针旋转360°，设旋转时间为t秒，分别作出∠BOC、∠AOC的角平分线OE、OF．在旋转过程中，当OE或OF中有一条射线与AB平行时，t的值为（　　）．（注：本题中所有的角均是指大于0度且小于或等于180度的角）
A． B． C．或 D．或
10．（3分）测量一座山的高度时，有时需要在若干个观测点中测量两个相邻可视观测点的相对高度，如“A﹣C＝90m”表示“观测点A比观测点C高90m”，再用这些相对高度计算出山的总高度．如表是某次测量数据的部分记录，根据这次测量的数据，可得A﹣B＝（　　）
A﹣C C﹣D D﹣E E﹣F F﹣G G﹣B
90m 75m 50m ﹣50m 70m ﹣60m
A．150m B．﹣150m C．175m D．﹣175m
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）因式分解：3a﹣3ax2＝　 　 ．
12．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是 　 　 ．
13．（3分）若m，n为一元二次方程x2+3x+1＝0的两个根，则的值为　 　 ．
14．（3分）如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了150°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了 　 　 cm．（结果保留π）
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，AD＝10，AC＝16，点P为对角线AC上的动点，连接DP，将DP绕点D按逆时针方向旋转至DQ，使∠PDQ＝∠ADC，PQ与CD交于点E．有如下结论：①△ADC∽△PDQ；②；③连接CQ，当△CEQ为直角三角形时，AP＝8或；④当CD将△DPQ分成两部分的面积之比为1：2时，或．以上结论中，正确结论的序号是　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）已知a，b，c为实数，且满足，求的值．
17．（9分）某公司计划从商店购买台灯和手电筒，已知台灯的单价比手电筒的单价高50元，用240元购买台灯的数量和用90元购买手电筒的数量相等．
（1）求购买一盏台灯、一个手电筒各需要多少元？
（2）经商谈，商店给予该公司购买一盏台灯赠送一个手电筒的优惠．如果公司需要手电筒的数量是台灯数量的2倍还多8个，且购买台灯和手电筒的总费用不超过2440元，那么公司最多可购买多少盏台灯？
18．（9分）某校组织学生参加“传统文化知识竞赛”（满分为20分）．竞赛结束后，从该校七、八年级学生中随机抽取20名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
抽取七年级成绩是：
20，20，20，20，19，19，19，19，18，18，18，18，18，18，18，17，16，16，15，14．
所抽取成绩折线统计图（部分）、样本成绩分析表如下表所示：
年级分析 七年级 八年级
平均分 18 a
众数 b 19
中位数 18 c
方差 2.7 2.7
（1）上表中，a＝　 　 ；b＝　 　 ；c＝　 　 ；
（2）在统计图中补上七年级的折线统计图，并对两个年级的成绩做对比分析（用一句话概述）；
（3）该校七、八年级共有学生1000人，估计此次测试成绩不低于19分的学生有多少人？
19．（9分）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用．
【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间t（s）、运动快慢v（cm/s）、运动路程y（cm）的数据．
【收集整理数据】
运动时间t（s） 0 4 8 12 16 20 …
运动快慢v（cm/s） 12 10 8 6 4 2 …
运动路程y（cm） 0 44 80 108 128 140 …
【数学建模探究】
【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：v与t之间的关系可以近似地用 　 　 函数表示，y与t之间的关系可以近似地用 　 　 函数表示．（选填：一次、二次、反比例）
【检验】根据猜想求出v与t，y与t之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证．
【应用】当弹珠到达水平轨道上A点时，前方B点处有一辆电动小车以3cm/s的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么AB的最大值是多少？
20．（9分）在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，小组成员在斜坡底部C处测得塔顶部B的仰角为45°，沿斜坡CD走25m到达观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°，且斜坡CD的坡度为3：4，其中点E，C，A在同一条直线上．
（1）求DE的长．
（2）求塔AB的高度（结果保留一位小数，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）．
21．（9分）在一次趣味数学的社团活动中，有这样的一道数学探究性问题．
（1）问题情境：如图1，在△ABC中，∠A＝30°，BC＝8，则△ABC的外接圆的半径为　 　 ；
（2）操作实践：如图2，用无刻度直尺与圆规在矩形ABCD的内部作出一点P，使得∠BPC＝∠BEC，且PB＝PC（不写作法，保留作图痕迹）
（3）迁移应用：已知，在△ABC中，∠A＞∠B，∠C＝60°，AB＝12，求BC的取值范围．
22．（9分）阅读下列材料，完成相应的任务．
无刻度直尺作图不同于传统的尺规作图，它只能用来画直线、射线或线段．在作图时，关键在于根据几何图形的特征确定与题意相符的两个点或一个点，再利用“两点确定一条直线”这一基本事实即可．
如图1，已知平行四边形ABCD，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF，连接EF，仅用无刻度直尺在EF上画点O，使点O为EF的中点．
方法：如图2，连结AC，AC与EF的交点即为点O．理由如下：
连续AF，CE
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∵BE＝DF，
∴AE＝CF，
又CF∥AE，
∴四边形AECF为平行四边形（依据），
∴OE＝OF，
∴O为EF的中点．
任务：（1）材料中的依据是指：　 　 ．
（2）图3为正方形网格，点A、B为格点，请仅用无刻度直尺画出线段AB的中点O（不写作法和依据，保留作图痕迹）．
（3）如图4，已知菱形ABCD，点E为AB上一点，请仅用无刻度直尺在AD上画点G，使AG＝AE（不写作法和依据，保留作图痕迹）．
23．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5过点A（﹣1，﹣3）、B（2，﹣9）、C（﹣1，0）三个点中的两个点．
（1）求抛物线解析式；
（2）若抛物线y＝ax2+bx﹣5﹣2mx过点（m﹣1，y1）、（m+3，y2），试比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）若将抛物线y＝ax2+bx﹣5平移得到新抛物线y＝ax2+bx﹣5+n，当﹣2＜x＜3时，新抛物线与直线y＝1有且只有一个公共点，直接写出n的取值范围．

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