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人教版（2024）八年级下册 21.2 平行四边形 题型专练
【题型1】用平行四边形性质求边长或周长
【典例】已知，在 ABCD中，BC－AB＝2cm，BC＝4cm，则 ABCD的周长是(　　)
A.6cm B.12cm C.8cm D.10cm
【强化训练1】如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E.若△CDE的周长为10，则AB＋AD的值是(　　)
A.10 B.15 C.25 D.30
【强化训练2】如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1∶2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”．当“协调边”为3时，它的周长为________．
【强化训练3】（教材改编）若平行四边中两个内角的度数比为1：2，求其中较小的内角是多少度？
【题型2】用平行四边形性质求面积
【典例】如图， ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝3，BC边上的高为2，则阴影部分的面积为(　　)
A.3 B.6 C.12 D.24
【强化训练1】如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝10，BD＝6，AD＝4，则 ABCD的面积是(　　)
A.12 B.12 C.24 D.30
【强化训练2】如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝10，BD＝6，AD＝4，则 ABCD的面积是(　　)
A.12 B.12 C.24 D.30
【强化训练3】如图， ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝3，BC边上的高为2，则阴影部分的面积为(　　)
A.3 B.6 C.12 D.24
【题型3】用平行四边形性质求角度
【典例】如图，在平行四边形ABCD中，如果∠A＝50°，则∠C等于(　　)
A.40° B.50° C.130° D.150°
【强化训练1】如图，在 ABCD中，CE⊥AB，且E为垂足．如果∠D＝75°，则∠BCE等于(　　)
A.105° B.15° C.30° D.25°
【强化训练2】如图，在 ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝135°，则∠MCD的度数是(　　)
A.45° B.55° C.65° D.75°
【强化训练3】如图，在 ABCD中，DB＝DC，∠A＝67°，CE⊥BD于点E，则∠BCE＝______.
【强化训练4】如图，点E是 ABCD的边AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，若BG＝DE，并且∠AEF＝70°.求∠AGB的度数．
【题型4】用平行四边形性质证明
【典例】如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的(　　)
A.AO＝OD B.AO⊥OD C.AO＝OC D.AO⊥AB
【强化训练1】下列性质中，平行四边形不一定具备的是(　　)
A.邻角互补 B.对角互补 C.对边相等 D.对角线互相平分
【强化训练2】下列性质中，平行四边形不一定具备的是(　　)
A.邻角互补 B.对角互补 C.对边相等 D.对角线互相平分
【强化训练3】如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的(　　)
A.AO＝OD B.AO⊥OD C.AO＝OC D.AO⊥AB
【强化训练4】如图所示，点E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF＝DE，求证：AE＝CF.
【强化训练5】如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD，相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，求证：AE＝CF.
【题型5】用平行四边形性质解决折叠问题
【典例】如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为(　　)
A.66° B.104° C.114° D.124°
【强化训练1】如图，将平行四边形沿折叠，点恰好落在延长线上的点处，交于点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】在 ABCD中，∠ACB＝25°，现将 ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠GFE的度数(　　)
A.135° B.120° C.115° D.100°
【强化训练3】如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为(　　)
A.66° B.104° C.114° D.124°
【强化训练4】在 ABCD中，∠ACB＝25°，现将 ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠GFE的度数(　　)
A.135° B.120° C.115° D.100°
【题型6】求平行线间的距离
【典例】如图，，点A在直线a上，点B、C在直线b上，，如果，，，那么平行线a、b之间的距离为（ ）
A. B. C. D.不能确定
【强化训练1】已知直线mn，如图，下列哪条线段的长可以表示直线与之间的距离（ ）
A.只有 B.只有 C.和均可 D.和均可
【强化训练2】如图，已知，，，图中表示AB与CD之间的距离是线段 的长度．
【强化训练3】如图，已知，，于点，于，．
（1）求证：；
（2）求点到的距离．
【题型7】平行线间距离的应用
【典例】如图所示的3×3的网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A和B两点在小方格的顶点上，点C也在小正方形的顶点上，若以A，B，C为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则C点的个数为（ ）个
A.1 B.2 C.3 D.4
【强化训练1】如图，在五边形ABCDE中，AB∥DE，若△ABE的面积为5，则△ABD的面积为（ ）
A.4 B.5 C.10 D.无法判断
【强化训练2】已知，，且，和的面积分别为2和8，则的面积是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【强化训练3】如图，，的面积为，那么的面积为 ．
【强化训练4】（教材改编）如图，直线l1∥l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？你还能画出一些与△ABC面积相等的三角形吗？
【题型8】平行四边形的判定
【典例】如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，E为AB上一点，过点E作EF∥BC，交CD于点F，G为AD上一点，H为BC上一点，连接CG，AH.若GD＝BH，则图中的平行四边形有(　　)
A.2个 B.3个 C.4个 D.6个
【强化训练1】如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形(　　)
A.OA＝OC，OB＝OD B.∠BAD＝∠BCD，AB∥CD C.AD∥BC，AD＝BC D.AB＝CD，AO＝CO
【强化训练2】四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：
①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.
从中任选两个条件，能使四边形ABCD成为平行四边形的是________________．
【强化训练3】如图，△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边△ADE.
(1)求证：△ACD≌△CBF；
(2)点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且∠DEF＝30°.
【强化训练4】如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上.
(1)给出以下条件；①OB＝OD，②∠1＝∠2，③OE＝OF，请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO；
(2)在(1)条件中你所选条件的前提下，添加AE＝CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【题型9】利用性质与判定求解
【典例】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、BC的中点，F在CA延长线上，∠FDA＝∠B，AC＝6，AB＝8，则四边形AEDF的周长为(　　)
A.16 B.20 C.18 D.22
【强化训练1】如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB的长为半径作弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，若∠ABC＋∠ADC＝120°，则∠A的度数是(　　)
A.100° B.110° C.120° D.125°
【强化训练2】如图，△ABC中，AB＝30，BC＝24，AC＝27，O为△ABC内一点，过点O作GM∥AB，交AC于G，交BC于M，过点O作EN∥AC，交AB于E，交BC于N，过点O作DF∥BC，交AC于D，交AB于F，连接GE，FM，DN.若GE∥DF，FM∥EN，DN∥GM，则△ODN，△OGE，△OFM的周长之和为__________．
【强化训练3】如图，已知平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交CD，AB于点M，N．
（1）求证：四边形CMAN是平行四边形；
（2）已知DM＝2，AN＝3，求AB的长．
【强化训练4】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE延长线上的点，且EF＝DE.
(1)图中的平行四边形有哪几个？请选择其中一个说明理由；
(2)若△AEF的面积是3，求四边形BCFD的面积．
【题型10】利用性质与判定证明
【典例】如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形(　　)
A.∠ADE＝∠CBF B.∠ABE＝∠CDF C.DE＝BF D.OE＝OF
【强化训练1】如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH 交于点P，则图中除原来的平行四边形ABCD外，平行四边形的个数是(　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
【强化训练2】在 ABCD中，E、F分别在BC、AD上，若想要使四边形AFCE为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是(　　)
A.AF＝CE B.AE＝CF C.∠BAE＝∠FCD D.∠BEA＝∠FCE
【强化训练3】如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点．有下列结论：①AD＝BC，②△DHG≌△BFE，③BF＝HO，④AO＝BO，⑤四边形HFEG是平行四边形，其中正确结论的序号是__________．
【强化训练4】如图，D是等腰三角形ABC的底边BC上的一点，E、F分别在AC、AB上，且DE∥AB，DF∥AC.试问DE、DF与AB之间有什么关系吗？请说明理由．
【强化训练5】如图，在 ABCD中，直线EF∥BD，与CD、CB的延长线分别交于点E、F，交AB、AD于G、H.
(1)求证：四边形FBDH为平行四边形；
(2)求证：FG＝EH.
【题型11】性质和判定与尺规作图的综合
【典例】如图，，直线与直线之间的距离为4，点是直线与外一点，点到直线的距离为2，点，分别是直线与直线上的动点，以点为圆心，的长为半径作弧，再以点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，则点与点之间距离的最小值为（ ）
A.6 B.8 C.10 D.12
【强化训练1】如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF＝AB＝10，则AE的长为（　　）
A.10 B. C. D.
【强化训练2】如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接，则四边形的周长为 ．
【强化训练3】学习平行四边形时，爱动脑筋的小聪，想在一个三角形内作一个平行四边形.经过探索，他通过找三角形一边的中点、作一个角等于已知角，截取线段、连接线段，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到需要的平行四边形.请根据他的思路完成以下作图与填空：
(1)用尺规作图：如图，已知，是边的中点；在三角形内作，交于点.在上截取，连接（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)已知，在中，是的中点，，点在边上，点在边上，且．求证：四边形是平行四边形；四边形的面积是面积的一半．
证明：是中点，
① ．
，
② ．
，
四边形是平行四边形．
，BD/EF，
，，.
在和中，
.
④ ．
.
∵DE//BC，
（等底等高）.
，
．
．
【强化训练4】如图，在中，，分别交，于点E，F．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点做的垂线，分别交，于点G，H，连接，；（保留作图痕迹，不写作法和结论）
(2)根据（1）中所作图形，小珊发现四边形是平行四边形，并给出了证明，请你补全证明过程．
证明：四边形是平行四边形
， ，
，，



又 ．
在和中
．
又 ，
四边形是平行四边形．（ ）
【题型12】用三角形中位线求解
【典例】如图，DE是△ABC的中位线，若BC＝8，则DE的长为(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
【强化训练1】如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝7，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为(　　)
A.9 B.10 C.11 D.12
【强化训练2】如图，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是高，∠DHF＝50°，∠DAF＝________°.
【强化训练3】如图，在△ABC中，AB＝6 cm，AC＝10 cm，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，BD的延长线交AC于 点F，E为BC的中点，求DE的长．
【题型13】三角形中位线的实际应用
【典例】如图，为测量位于一水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，，量得，则，之间的距离是　　
A. B. C. D.
【强化训练1】某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为1 100 m，则隧道AB的长度为(　　)
A.3300 m B.2200 m C.1100 m D.550 m
【强化训练2】如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50 cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为(　　)
A.25cm B.50cm C.75cm D.100cm
【强化训练3】如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50 cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为(　　)
A.25cm B.50cm C.75cm D.100cm
【强化训练4】某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为1 100 m，则隧道AB的长度为(　　)
A.3300 m B.2200 m C.1100 m D.550 m人教版（2024）八年级下册 21.2 平行四边形 题型专练（参考答案）
【题型1】用平行四边形性质求边长或周长
【典例】已知，在 ABCD中，BC－AB＝2cm，BC＝4cm，则 ABCD的周长是(　　)
A.6cm B.12cm C.8cm D.10cm
【答案】B
【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD，
∵BC－AB＝2cm，BC＝4cm，
∴AB＝DC＝2cm，
∴ ABCD的周长是＝2＋2＋4＋4＝12(cm).
故选B.
【强化训练1】如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E.若△CDE的周长为10，则AB＋AD的值是(　　)
A.10 B.15 C.25 D.30
【答案】A
【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，
∵OE⊥BD，∴BE＝DE，
∵△CDE的周长为10，即CD＋DE＋EC＝10，
∴AB＋AD＝BC＋CD＝BE＋EC＋CD＝DE＋EC＋CD＝10.
故选A.
【强化训练2】如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1∶2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”．当“协调边”为3时，它的周长为________．
【答案】
8或10
【解析】
解：如图所示：
①当AE＝1，DE＝2时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝3，AB＝CD，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝1，
∴平行四边形ABCD的周长＝2(AB＋AD)＝8；
②当AE＝2，DE＝1时，同理得：AB＝AE＝2，
∴平行四边形ABCD的周长＝2(AB＋AD)＝10.
【强化训练3】（教材改编）若平行四边中两个内角的度数比为1：2，求其中较小的内角是多少度？
【答案】
解：设平行四边形中两个内角的度数分别是x°，2x°，
则x+2x=180，
解得x=60，
∴其中较小的内角是60°，
【题型2】用平行四边形性质求面积
【典例】如图， ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝3，BC边上的高为2，则阴影部分的面积为(　　)
A.3 B.6 C.12 D.24
【答案】A
【解析】
解：∵ ABCD中，AC.BD为对角线，BC＝3，BC边上的高为2，
∴S ABCD＝3×2＝6，AD∥BC，
∴OA＝OC，∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，∠OAE＝∠OCF，OA＝OC，∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴S△AOE＝S△COF，
同理：S△EOG＝S△FOH，S△DOG＝S△BOH，
∴S阴影＝S△ABD＝S ABCD＝×6＝3.
故选A.
【强化训练1】如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝10，BD＝6，AD＝4，则 ABCD的面积是(　　)
A.12 B.12 C.24 D.30
【答案】C
【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝10，BD＝6，
∴OA＝OC＝AC＝5，OB＝OD＝BD＝3，
∵AD＝4，
∴AD2＋DO2＝OA2，
∴△ADO是直角三角形，且∠BDA＝90°，即AD⊥BD，
∴ ABCD面积为AD·BD＝4×6＝24.
故选C.
【强化训练2】如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝10，BD＝6，AD＝4，则 ABCD的面积是(　　)
A.12 B.12 C.24 D.30
【答案】C
【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝10，BD＝6，
∴OA＝OC＝AC＝5，OB＝OD＝BD＝3，
∵AD＝4，
∴AD2＋DO2＝OA2，
∴△ADO是直角三角形，且∠BDA＝90°，即AD⊥BD，
∴ ABCD面积为AD·BD＝4×6＝24.
故选C.
【强化训练3】如图， ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝3，BC边上的高为2，则阴影部分的面积为(　　)
A.3 B.6 C.12 D.24
【答案】A
【解析】
解：∵ ABCD中，AC.BD为对角线，BC＝3，BC边上的高为2，
∴S ABCD＝3×2＝6，AD∥BC，
∴OA＝OC，∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，∠OAE＝∠OCF，OA＝OC，∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴S△AOE＝S△COF，
同理：S△EOG＝S△FOH，S△DOG＝S△BOH，
∴S阴影＝S△ABD＝S ABCD＝×6＝3.
故选A.
【题型3】用平行四边形性质求角度
【典例】如图，在平行四边形ABCD中，如果∠A＝50°，则∠C等于(　　)
A.40° B.50° C.130° D.150°
【答案】B
【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C＝50°.
故选B.
【强化训练1】如图，在 ABCD中，CE⊥AB，且E为垂足．如果∠D＝75°，则∠BCE等于(　　)
A.105° B.15° C.30° D.25°
【答案】B
【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝75°，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE＝90°－∠B＝15°.
故选B.
【强化训练2】如图，在 ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝135°，则∠MCD的度数是(　　)
A.45° B.55° C.65° D.75°
【答案】A
【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠BCD＝135°，
∴∠MCD＝180°－∠DCB＝180°－135°＝45°.
故选A.
【强化训练3】如图，在 ABCD中，DB＝DC，∠A＝67°，CE⊥BD于点E，则∠BCE＝______.
【答案】
23°
【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝67°，
∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠BCD＝67°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEB＝90°，
∴∠BCE＝90°－67°＝23°.
【强化训练4】如图，点E是 ABCD的边AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，若BG＝DE，并且∠AEF＝70°.求∠AGB的度数．
【答案】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，
又∵BG＝DE，
在△ABG和△CDE中，AB＝CD，∠B＝∠D，BG＝DE，
∴△ABG≌△CDE，
∴∠AGB＝∠CED，
∵∠CED＝∠AEF＝70°，
∴∠AGB＝70°.
【题型4】用平行四边形性质证明
【典例】如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的(　　)
A.AO＝OD B.AO⊥OD C.AO＝OC D.AO⊥AB
【答案】C
【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC；故选C.
【强化训练1】下列性质中，平行四边形不一定具备的是(　　)
A.邻角互补 B.对角互补 C.对边相等 D.对角线互相平分
【答案】B
【解析】
解：A.平行四边形邻角互补，正确，不合题意；
B.平行四边形对角不一定互补，错误，符合题意；
C.平行四边形对边相等，正确，不合题意．
D.平行四边形对角线互相平分，正确，不合题意；
故选B.
【强化训练2】下列性质中，平行四边形不一定具备的是(　　)
A.邻角互补 B.对角互补 C.对边相等 D.对角线互相平分
【答案】B
【解析】
解：A.平行四边形邻角互补，正确，不合题意；
B.平行四边形对角不一定互补，错误，符合题意；
C.平行四边形对边相等，正确，不合题意．
D.平行四边形对角线互相平分，正确，不合题意；
故选B.
【强化训练3】如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的(　　)
A.AO＝OD B.AO⊥OD C.AO＝OC D.AO⊥AB
【答案】C
【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC；故选C.
【强化训练4】如图所示，点E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF＝DE，求证：AE＝CF.
【答案】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠EDA＝∠FBC，
在△AED和△CFB中，AD＝BC，∠ADE＝∠CBF，BF＝DE，
∴△AED≌△CFB(SAS)，
∴AE＝CF.
【强化训练5】如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD，相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，求证：AE＝CF.
【答案】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA＝OC，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
∠OAE＝∠OCF，OA＝OC，∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE＝CF.
【题型5】用平行四边形性质解决折叠问题
【典例】如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为(　　)
A.66° B.104° C.114° D.124°
【答案】C
【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
由折叠的性质，得∠BAC＝∠B′AC，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，
∴∠B＝180°－∠2－∠BAC＝180°－44°－22°＝114°；
故选C.
【强化训练1】如图，将平行四边形沿折叠，点恰好落在延长线上的点处，交于点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵折叠，
∴，，，，
∴，
在中，，
∴，
故选：B ．
【强化训练2】在 ABCD中，∠ACB＝25°，现将 ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠GFE的度数(　　)
A.135° B.120° C.115° D.100°
【答案】C
【解析】
解：由折叠可得：∠EAC＝∠ECA＝25°，∠FEC＝∠AEF，∠DFE＝∠GFE，
∵∠EAC＋∠ECA＋∠AEC＝180°，
∴∠AEC＝130°，
∴∠FEC＝65°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DFE＋∠FEC＝180°，
∴∠DFE＝115°，
∴∠GFE＝115°，
故选C.
【强化训练3】如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为(　　)
A.66° B.104° C.114° D.124°
【答案】C
【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
由折叠的性质，得∠BAC＝∠B′AC，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，
∴∠B＝180°－∠2－∠BAC＝180°－44°－22°＝114°；
故选C.
【强化训练4】在 ABCD中，∠ACB＝25°，现将 ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠GFE的度数(　　)
A.135° B.120° C.115° D.100°
【答案】C
【解析】
解：由折叠可得：∠EAC＝∠ECA＝25°，∠FEC＝∠AEF，∠DFE＝∠GFE，
∵∠EAC＋∠ECA＋∠AEC＝180°，
∴∠AEC＝130°，
∴∠FEC＝65°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DFE＋∠FEC＝180°，
∴∠DFE＝115°，
∴∠GFE＝115°，
故选C.
【题型6】求平行线间的距离
【典例】如图，，点A在直线a上，点B、C在直线b上，，如果，，，那么平行线a、b之间的距离为（ ）
A. B. C. D.不能确定
【答案】C
【解析】
解：∵，，
∴，
∵
∴平行线a、b之间的距离为，
故选：C．
【强化训练1】已知直线mn，如图，下列哪条线段的长可以表示直线与之间的距离（ ）
A.只有 B.只有 C.和均可 D.和均可
【答案】C
【解析】
解：从一条平行线上的任意一点到另一条平行线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，
线段和都可以示直线与之间的距离，
故选：C．
【强化训练2】如图，已知，，，图中表示AB与CD之间的距离是线段 的长度．
【答案】
B
【解析】
解：∵，
∴，
∴（同旁内角互补，两直线平行），
又∵，，
∴，
∴，
∴表示AB与CD之间的距离是线段BC或AD的长度．
故答案为BC或AD
【强化训练3】如图，已知，，于点，于，．
（1）求证：；
（2）求点到的距离．
【答案】
解：（1）∵，，
∴，
∴；
（2），
∴，
∴即为点到的距离，
∵，，
∴，
，
故点到的距离为6．
【题型7】平行线间距离的应用
【典例】如图所示的3×3的网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A和B两点在小方格的顶点上，点C也在小正方形的顶点上，若以A，B，C为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则C点的个数为（ ）个
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】
解：①当点C与点A在同一条竖直直线上时，AC边上的高为2，AC=1，符合条件的点为；
②当点C与点A在同一条水平直线上时，AC边上的高为1，AC=2，符合条件的点为；
③当点C与点B在同一条竖直直线上时，BC边上的高为2，BC=1，符合条件的点为和；
④ 当点C与点B在同一条水平直线上时，BC边上的高为1，BC=2，符合条件的点为；
如图：
∴符合条件的C点的个数为4，
故选：D．
【强化训练1】如图，在五边形ABCDE中，AB∥DE，若△ABE的面积为5，则△ABD的面积为（ ）
A.4 B.5 C.10 D.无法判断
【答案】B
【解析】
解：∵在五边形ABCDE中，AB∥DE，
∴点E、点D到直线AB上的垂线段相等，即在△ABE与△ABD中，边AB上的高线相等，
∴△ABE与△ABD是同底等高的两个三角形，
S△ABE=S△ABD=5．
故选B．
【强化训练2】已知，，且，和的面积分别为2和8，则的面积是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】B
【解析】
解：∵
∴与的高相等
∵
∴
设的面积为，则，
∴
解得
∴
故选B．
【强化训练3】如图，，的面积为，那么的面积为 ．
【答案】
【解析】
解：如图，过作，交的延长线与，
，
的高等于的长，
，
，
．
故答案为：．
【强化训练4】（教材改编）如图，直线l1∥l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？你还能画出一些与△ABC面积相等的三角形吗？
【答案】
解：相等．
∵l1∥l2，
∴l1，l2之间的距离是处处相等的，
∴△ABC和△DBC的BC边上的高相等，
∴△ABC和△DBC的面积相等；
如图所示.
【题型8】平行四边形的判定
【典例】如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，E为AB上一点，过点E作EF∥BC，交CD于点F，G为AD上一点，H为BC上一点，连接CG，AH.若GD＝BH，则图中的平行四边形有(　　)
A.2个 B.3个 C.4个 D.6个
【答案】D
【解析】
解：∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵EF∥BC，
∴四边形AEFD、四边形BCFE均为平行四边形，
∵GD＝BH，AD＝BC，
∴AG＝CH，
又∵AG∥CH，
∴四边形AHCG是平行四边形，
又∵EF∥BC，
∴四边形AMNG、四边形MNCH均为平行四边形，
∴共有6个平行四边形，
故选D.
【强化训练1】如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形(　　)
A.OA＝OC，OB＝OD B.∠BAD＝∠BCD，AB∥CD C.AD∥BC，AD＝BC D.AB＝CD，AO＝CO
【答案】D
【解析】
解：A．根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形，故此选项可以证明四边形ABCD是平行四边形；
B．根据AB∥CD可得：∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°，又由∠BAD＝∠BCD可得：∠ABC＝∠ADC，根据两组对角对应相等的四边形是平行四边形可以判定；
C．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可以证明四边形ABCD是平行四边形；
D．AB＝CD，AO＝CO不能证明四边形ABCD是平行四边形．故选D.
【强化训练2】四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：
①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.
从中任选两个条件，能使四边形ABCD成为平行四边形的是________________．
【答案】
①②或①③或①④或③④
【解析】
解：①②根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；①③可证明△ADO≌△CBO，进而可得DO＝BO，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；①④可证明△ADO≌△CBO，进而可得AO＝CO，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；③④根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形．
【强化训练3】如图，△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边△ADE.
(1)求证：△ACD≌△CBF；
(2)点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且∠DEF＝30°.
【答案】
证明：(1)由△ABC为等边三角形，AC＝BC，∠FBC＝∠DCA，
在△ACD和△CBF中，AC＝BC，∠DCA＝∠FBC，CD＝BF，
所以△ACD≌△CBF(SAS)；(2)当D在线段BC上的中点时，四边形CDEF为平行四边形，且角DEF＝30度，按上述条件作图，连接BE，
在△AEB和△ADC中，AB＝AC，
∠EAB＋∠BAD＝∠DAC＋∠BAD＝60°，
即∠EAB＝∠DAC，AE＝AD，
∴△AEB≌△ADC(SAS)，
又∵△ACD≌△CBF，
∴△AEB≌△ADC≌△CFB，
∴EB＝FB，∠EBA＝∠ABC＝60°，
∴△EFB为正三角形，
∴EF＝FB＝CD，∠EFB＝60°，
又∵∠ABC＝60°，
∴∠EFB＝∠ABC＝60°，
∴EF∥BC，而CD在BC上，
∴EF平行且相等于CD，
∴四边形CDEF为平行四边形，
∵D在线段BC上的中点，
∴F在线段AB上的中点，
∴∠FCD＝×60°＝30°，则∠DEF＝∠FCD＝30°.
【强化训练4】如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上.
(1)给出以下条件；①OB＝OD，②∠1＝∠2，③OE＝OF，请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO；
(2)在(1)条件中你所选条件的前提下，添加AE＝CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】
证明：(1)选取①②，
∵在△BEO和△DFO中，
∠1＝∠2，BO＝DO，∠EOB＝∠FOD，
∴△BEO≌△DFO(ASA)；
(2)由(1)得：△BEO≌△DFO，
∴EO＝FO，BO＝DO，
∵AE＝CF，
∴AO＝CO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【题型9】利用性质与判定求解
【典例】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、BC的中点，F在CA延长线上，∠FDA＝∠B，AC＝6，AB＝8，则四边形AEDF的周长为(　　)
A.16 B.20 C.18 D.22
【答案】A
【解析】
解：在Rt△ABC中，∵AC＝6，AB＝8，∴BC＝10，∵E是BC的中点，∴AE＝BE＝5，∴∠BAE＝∠B，∵∠FDA＝∠B，∴∠FDA＝∠BAE，∴DF∥AE，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，DE＝AC＝3，∴四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF的周长＝2×(3＋5)＝16.故选A.
【强化训练1】如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB的长为半径作弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，若∠ABC＋∠ADC＝120°，则∠A的度数是(　　)
A.100° B.110° C.120° D.125°
【答案】C
【解析】
解：∵AD＝CB，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，AD∥BC，∴∠A＋∠ABC＝180°，∵∠ABC＋∠ADC＝120°，∴∠ABC＝60°，∴∠A＝120°，故选C.
【强化训练2】如图，△ABC中，AB＝30，BC＝24，AC＝27，O为△ABC内一点，过点O作GM∥AB，交AC于G，交BC于M，过点O作EN∥AC，交AB于E，交BC于N，过点O作DF∥BC，交AC于D，交AB于F，连接GE，FM，DN.若GE∥DF，FM∥EN，DN∥GM，则△ODN，△OGE，△OFM的周长之和为__________．
【答案】
81
【解析】
解：∵GM∥AB，FM∥EN，∴四边形OEFM是平行四边形，∴OM＝EF，∵GM∥AB，EN∥AC，∴四边形GAEO是平行四边形，∴GO＝AE，∵DF∥BC，DN∥AB，∴四边形DFBN是平行四边形，∴DN＝FB，∴GO＋DN＋OM＝AE＋EF＋BF＝AB＝30，同理，GE＋OD＋OF＝CN＋NM＋BM＝BC＝24，ON＋OE＋MF＝CD＋DG＋GA＝AC＝27，∴△ODN，△OGE，△OFM的周长之和为AC＋BC＋AB＝81.
【强化训练3】如图，已知平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交CD，AB于点M，N．
（1）求证：四边形CMAN是平行四边形；
（2）已知DM＝2，AN＝3，求AB的长．
【答案】
（1）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AM∥CN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CM∥AN，
∴四边形CMAN是平行四边形.
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，
∵四边形CMAN是平行四边形，
∴CM＝AN，
∴DM＝BN，
∴AB＝AN+DM＝2+3＝5．
【强化训练4】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE延长线上的点，且EF＝DE.
(1)图中的平行四边形有哪几个？请选择其中一个说明理由；
(2)若△AEF的面积是3，求四边形BCFD的面积．
【答案】
解：(1)图中的平行四边形有：平行四边形ADCF，平行四边形BDFC，
理由：∵E为AC的中点，
∴AE＝CE，∵DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AD∥CF，AD＝CF，
∵D为AB的中点，
∴AD＝BD，∴BD＝CF，BD∥CF，
∴四边形BDFC是平行四边形．
(2)由(1)知，四边形ADCF是平行四边形，四边形BDFC是平行四边形，
∴S△CEF＝S△CED＝S△AEF＝3，
∴平行四边形BCFD的面积是12.
【题型10】利用性质与判定证明
【典例】如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形(　　)
A.∠ADE＝∠CBF B.∠ABE＝∠CDF C.DE＝BF D.OE＝OF
【答案】C
【解析】
解：A.在平行四边形ABCD中，∵AO＝CO，DO＝BO，AD∥BC，AD＝BC，∴∠DAE＝∠BCF，若∠ADE＝∠CBF，在△ADE与△BCF中，∴△ADE≌△BCF，∴AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形DEBF是平行四边形；
B．若∠ABE＝∠CDF，在△ABE与△CDF中，∴△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵AO＝CO，∴OE＝OF，∵OD＝OB，∴四边形DEBF是平行四边形；
C．若DE与AC不垂直，则满足AC上一定有一点DM＝DE，同理有一点N使BF＝BN，则四边形DEBF不一定是平行四边形，则选项错误；
D．若OE＝OF，∵OD＝OB，∴四边形DEBF是平行四边形；
故选C.
【强化训练1】如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH 交于点P，则图中除原来的平行四边形ABCD外，平行四边形的个数是(　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】B
【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形
，∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥AB，GH∥BC，
∴AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，
∴平行四边形有：四边形DEPG、四边形AEPH、四边形PGCF、四边形HPFB、四边形DEFC、四边形DGHA、四边形GHBC、四边形EFBA、四边形ABCD，
∴图中除原来的平行四边形ABCD外，平行四边形的个数是8个；故选B.
【强化训练2】在 ABCD中，E、F分别在BC、AD上，若想要使四边形AFCE为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是(　　)
A.AF＝CE B.AE＝CF C.∠BAE＝∠FCD D.∠BEA＝∠FCE
【答案】B
【解析】
解：A.错误．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥EC，∵AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形．∴选项A错误．
B．正确．根据AE＝CF，所以四边形AECF可能是平行四边形，有可能是等腰梯形，故选项B正确．
C．错误．由∠BAE＝∠FCD，∠B＝∠D，AB＝CD可以推出△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，∵AD＝BC，∴AF＝EC，∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．故选项C错误．
D．错误．∵∠BEA＝∠FCE，∴AE∥CF，∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．
故选项D错误．故选B.
【强化训练3】如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点．有下列结论：①AD＝BC，②△DHG≌△BFE，③BF＝HO，④AO＝BO，⑤四边形HFEG是平行四边形，其中正确结论的序号是__________．
【答案】
①②③⑤
【解析】
解：平行四边形ABCD中，∴AD＝BC，故①正确；∵平行四边形ABCD，∴DC∥AB，DC＝AB，OD＝OB，∴∠CDB＝∠DBA，∵E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点，∴DG＝BE＝AB，DH＝BF＝OD，∴②△DHG≌△BFE，故②正确；∵HO＝DH，DH＝BF，∴BF＝HO，故③正确；平行四边形ABCD，OA＝OC，OB＝OD，故④错误；E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点，∴HG∥OC，HG＝OC，EF∥OA，EF＝OA，∴HG∥EF，HG＝EF，∴四边形HEFG是平行四边形，故⑤正确；
【强化训练4】如图，D是等腰三角形ABC的底边BC上的一点，E、F分别在AC、AB上，且DE∥AB，DF∥AC.试问DE、DF与AB之间有什么关系吗？请说明理由．
【答案】
解：DE＋DF＝AB.理由如下：
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴AF＝DE，
∵AB＝AC，DF∥AC，
∴∠B＝∠C＝∠FDB，
∴BF＝DF，
∴DE＋DF＝AF＋BF＝AB.
【强化训练5】如图，在 ABCD中，直线EF∥BD，与CD、CB的延长线分别交于点E、F，交AB、AD于G、H.
(1)求证：四边形FBDH为平行四边形；
(2)求证：FG＝EH.
【答案】
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵EF∥BD，
∴四边形FBDH为平行四边形；
(2)∵四边形FBDH为平行四边形，
∴FH＝BD，
∵EF∥BD，AB∥DC，
∴四边形BDEG是平行四边形，
∴BD＝EG，
∴FH＝EG，
∴FH－GH＝EG－GH，
∴FG＝EH.
【题型11】性质和判定与尺规作图的综合
【典例】如图，，直线与直线之间的距离为4，点是直线与外一点，点到直线的距离为2，点，分别是直线与直线上的动点，以点为圆心，的长为半径作弧，再以点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，则点与点之间距离的最小值为（ ）
A.6 B.8 C.10 D.12
【答案】B
【解析】
解：如图：由作图可知，四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴点到直线的距离等于点到直线的距离，
∴点到直线的距离为2，
连接，则：当与直线和直线垂直时，点与点之间距离最短，
即：；
故选B．
【强化训练1】如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF＝AB＝10，则AE的长为（　　）
A.10 B. C. D.
【答案】C
【解析】
解：设AE交BF于点O，连接EF，如图所示：
由题意可知：AB＝AF，AE平分∠BAD，
∴AE⊥BF，，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠EAF＝∠AEB，
∵∠BAE＝∠EAF，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE
∴BE＝AF，
∵，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴OA＝OE，
在Rt△AOB中，
∴，故C正确．
故选：C．
【强化训练2】如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接，则四边形的周长为 ．
【答案】
8
【解析】
解：由作法得，平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴四边形的周长．
故答案为：8．
【强化训练3】学习平行四边形时，爱动脑筋的小聪，想在一个三角形内作一个平行四边形.经过探索，他通过找三角形一边的中点、作一个角等于已知角，截取线段、连接线段，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到需要的平行四边形.请根据他的思路完成以下作图与填空：
(1)用尺规作图：如图，已知，是边的中点；在三角形内作，交于点.在上截取，连接（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)已知，在中，是的中点，，点在边上，点在边上，且．求证：四边形是平行四边形；四边形的面积是面积的一半．
证明：是中点，
① ．
，
② ．
，
四边形是平行四边形．
，BD/EF，
，，.
在和中，
.
④ ．
.
∵DE//BC，
（等底等高）.
，
．
．
【答案】
（1）解：如图：四边形即为所求．
（2）证明：是中点，
．
，
．
，
四边形是平行四边形．
，，
，，.
在和中，
.
．
.
∵DE//BC，
（等底等高）.
，
．
．
故答案为：,,,．
【强化训练4】如图，在中，，分别交，于点E，F．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点做的垂线，分别交，于点G，H，连接，；（保留作图痕迹，不写作法和结论）
(2)根据（1）中所作图形，小珊发现四边形是平行四边形，并给出了证明，请你补全证明过程．
证明：四边形是平行四边形
， ，
，，



又 ．
在和中
．
又 ，
四边形是平行四边形．（ ）
【答案】
解：（1）作图如下：
（2）四边形是平行四边形
，，
，
，，
，
，
，
又 ．
在和中
．
又 ，
四边形是平行四边形．（一组对边相等且平行的四边形是平行四边形）
故答案为：，90，，，一组对边相等且平行的四边形是平行四边形．
【题型12】用三角形中位线求解
【典例】如图，DE是△ABC的中位线，若BC＝8，则DE的长为(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】B
【解析】
解：∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，∴DE＝BC＝4，故选B.
【强化训练1】如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝7，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为(　　)
A.9 B.10 C.11 D.12
【答案】A
【解析】
解：∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，∴ED、FE、DF为△ABC中位线，∴DF＝BC，FE＝AB，DE＝AC；∴DF＋FE＋DE＝BC＋AB＋AC＝(AC＋BA＋CB)＝×(6＋7＋5)＝9.故选A.
【强化训练2】如图，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是高，∠DHF＝50°，∠DAF＝________°.
【答案】
50
【解析】
解：如图．∵AH⊥BC于H，
又∵D为AB的中点，
∴DH＝AB＝AD，∴∠1＝∠2，
同理可证：∠3＝∠4，
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠DHF＝∠DAF，
∵∠DHF＝50°，
∴∠DAF＝50°.
【强化训练3】如图，在△ABC中，AB＝6 cm，AC＝10 cm，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，BD的延长线交AC于 点F，E为BC的中点，求DE的长．
【答案】
解:∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，
∴AB＝AF＝6，BD＝DF，
∴CF＝AC－AF＝4，
∵BD＝DF，E为BC的中点，
∴DE＝CF＝2.
【题型13】三角形中位线的实际应用
【典例】如图，为测量位于一水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，，量得，则，之间的距离是　　
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
解：，分别是，的中点，是的中位线，，，
，故选：．
【强化训练1】某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为1 100 m，则隧道AB的长度为(　　)
A.3300 m B.2200 m C.1100 m D.550 m
【答案】B
【解析】
解：∵D，E为AC和BC的中点，∴AB＝2DE＝2200 m，故选B.
【强化训练2】如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50 cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为(　　)
A.25cm B.50cm C.75cm D.100cm
【答案】D
【解析】
解：∵OD⊥BC，AC⊥BC，∴∠ODB＝∠ACB＝90°，∴OD∥AC，∵O为AB的中点，∴D为BC中点，即OD为中位线，∴AC＝2OD＝100cm，故选D.
【强化训练3】如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50 cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为(　　)
A.25cm B.50cm C.75cm D.100cm
【答案】D
【解析】
解：∵OD⊥BC，AC⊥BC，∴∠ODB＝∠ACB＝90°，∴OD∥AC，∵O为AB的中点，∴D为BC中点，即OD为中位线，∴AC＝2OD＝100cm，故选D.
【强化训练4】某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为1 100 m，则隧道AB的长度为(　　)
A.3300 m B.2200 m C.1100 m D.550 m
【答案】B
【解析】
解：∵D，E为AC和BC的中点，∴AB＝2DE＝2200 m，故选B.

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