资源简介

2　分式的运算
第1课时　分式的乘除运算
@基础分点训练
　知识点1　分式的乘法
1.计算－·的正确结果是（　 　）
A.2 B.2b
C.－2b D.－2ab2
2.计算·的结果是（　 　）
A. B.
C. D.
3.化简：·＝ .
4.计算：
（1）·；
（2）（攀枝花中考）·.
　知识点2　分式的除法
5.计算÷的结果是（　 　）
A. B. C.2xy D.
6.计算÷的结果是（　 　）
A. B. C. D.
7.计算：
（1）（扬州中考）÷（x－2）；
（2）÷.
　知识点3　分式的乘方
8.化简（）2的结果是 .
9.计算（－）3的结果是 .
　知识点4　分式的乘除混合运算
10.计算：
（1）·÷；
（2）（）2·（）3÷（）2.
@中档提分训练
11.【易错题】（淄博中考）若分式÷有意义，则x的取值范围是（　 　）
A.x≠－1且x≠2
B.x≠－1且x≠3
C.x≠2且x≠3
D.x≠－1且x≠2且x≠3
12.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简.过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（　 　）
A.只有乙 B.甲和丁
C.乙和丙 D.乙和丁
13.（广州中考）求代数式·的值，其中m＝－1.
14.计算：÷·（a－b）.
15.老师在黑板上书写了一道题目的正确计算过程，随后用手遮住了其中一部分，如图所示，求被手遮住部分的代数式.
·÷＝.
@拓展素养训练
16.A玉米试验田是边长为a米（a＞2）的正方形减去一个边长为2米的正方形蓄水池后余下的部分，B玉米试验田是边长为（a－2）米的正方形，两块试验田的玉米都收获了600千克.
（1）哪种玉米的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
第2课时　同分母分式的加减法运算
@基础分点训练
　知识点1　同分母分式的加减法
1.（广州中考）计算＋的结果为（　 　）
A. B. C. D.
2.计算－的结果是（　 　）
A.a＋b B.a－b
C.－a－b D.1
3.计算：
（1）（江西中考）－＝ ；
（2）（深圳中考）－＝ ；
（3）＋－＝ .
4.计算：
（1）（黄冈中考）－；
（2）＋；
（3）－；
（4）－.
5.（无锡中考）先化简，再求值：＋，其中m＝3.
　知识点2　分母互为相反数的分式的加减法
6.（河南中考）化简－的结果是（　 　）
A.x＋1 B.x C.x－1 D.x－2
7.计算：
（1）＋；
（2）＋.
@中档提分训练
8.下列运算正确的是（　 　）
A.＋＝
B.－＝0
C.＋＝
D.＋＝1
9.已知－＝＋△，△表示整式，则△是（　 　）
A.－1 B.1 C.x D.－x
10.化简＋的结果为（　 　）
A. B.
C. D.
11.某工程库存原材料x吨，原计划每天用a吨，若现在每天比原计划节省一半，则可以多用 天.
12.化简：－，然后在－2≤x≤2范围内选择一个你喜欢的整数代入求值.
13.已知T＝＋.
（1）化简T；
（2）若正方形ABCD的边长为a，且它的面积为9，求T的值.
@拓展素养训练
14.【开放性试题】已知M＝，N＝，用“＋”或“－”连接M，N，有多种不同的形式，如M＋N，M－N，请你任取其中一种进行计算，并化简求值，其中x，y满足x2－4xy＋4y2＝0.
第3课时　异分母分式的加减法运算
@基础分点训练
　知识点1　通分
1.分式，的最简公分母是（　 　）
A.4xy B.16x2y3
C.64x3y4 D.64x2y3
2.若将分式与通分，则分式的分子应变为（　 　）
A.6m2－6mn B.6m－6n
C.2（m－n） D.2（m－n）（m＋n）
3.通分：
（1），；
（2），.
　知识点2　异分母分式的加减法
4.化简：－＝（　 　）
A. B.－ C.－ D.
5.（天津中考）计算＋的结果等于（　 　）
A. B. C. D.1
6.计算：
（1）－；
（2）－.
7.（贵州中考）先化简：－，再从－1，0，2中选取一个使原式有意义的数代入求值.
8.有A，B两箱水果，A箱水果的质量为（a－1）2 kg，B箱水果的质量为（a2－1）kg（其中a＞1），售完后，两箱水果都卖了120元.求哪箱水果的单价高些？
@中档提分训练
9.（河北中考）已知A为整式，若计算－的结果为，则A＝（　 　）
A.x B.y C.x＋y D.x－y
10.如图，若x为正整数，则表示－的值的点落在（　 　）
A.段① B.段② C.段③ D.段④
11.（内江中考）已知实数a，b满足ab＝1，则＋＝ .
12.若a2－5ab－b2＝0，则－的值为 .
13.下面是小明化简－的过程，请认真阅读并完成相应任务：
解：原式＝－第一步
＝－第二步
＝－
第三步
＝第四步
＝.第五步
【任务一】填空：
①以上化简步骤中，第一步变形使用的方法是 ；
②第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ；
③第 步开始出现错误.
【任务二】请直接写出正确的化简结果： .
@拓展素养训练
14.数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证一些数学结论.
（1）糖水实验一：
①现有b克糖水，其中含有a克糖（b＞a＞0），则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为.加入m（m＞0）克水，则糖水的浓度为 ；
②生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡.由此可以写出一个不等式 ，我们趣称为“糖水不等式”；
（2）糖水实验二：
将“糖水实验一”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，根据生活经验。请你写出一个新的糖水不等式并通过计算说明该不等式成立.
第4课时　分式的混合运算
@基础分点训练
　知识点1　较复杂的分式的加减运算
1.计算－1的结果是（　 　）
A.　　　B.x　　　C.1　　　D.
2.计算－＋－的结果是（　 　）
A. B. C.－ D.－
3.计算：
（1）＋x＋1；
（2）＋＋.
4.先化简，再求值：－－，其中x＝3.
　知识点2　分式的混合运算
5.（绥化中考）计算：1－÷＝ .
6.（扬州中考）计算：（1－）÷＝ .
7.【运算能力】计算：
（1）（辽宁中考）÷－；
（2）（南通中考）（＋1）·.
8.先化简，再求值：（1＋）·，其中m＝2.
@中档提分训练
9.如果m＝－，n＝＋，那么m2－n2等于（　 　）
A.4 B. C.0 D.－4
10.试卷上一个正确的式子（＋）÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁.被墨汁遮住部分的代数式为（　 　）
A. B.
C. D.
11.如果a－3b＝0，那么（a－）÷的结果是（　 　）
A. B.－ C. D.1
12.已知P＝，Q＝，则P÷（1＋Q）＝ ；若P÷（1＋Q）的值为正整数，则满足条件的所有整数a的和为 .
13.（广安中考）先化简（－a＋1）÷，再从不等式－2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值.
@拓展素养训练
14.【方法探究】定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”.如：＝＝＋＝1＋，则是“和谐分式”.
（1）下列式子中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；
①；②；③；④.
【拓展迁移】
（2）应用：先化简－÷，并求x取什么整数时，该式的值为整数.
计算强化专题　分式的运算及化简求值
　类型1　分式的运算
1.计算：
（1）（内蒙古中考）·；
（2）÷（）2·；
（3）（－）÷；
（4）÷（1－）－.
　类型2　分式的化简求值
2.先化简，再求值：
（1）（山东中考）（x2－1）（＋1），其中x＝2；
（2）（烟台中考）（2＋m＋）÷，其中m＝（－1）2 025；
（3）（眉山中考）（＋）÷，其中x，y满足（x＋2）2＋｜y－1｜＝0.
3.（张家界中考）先化简（x－1－）÷，然后从－1，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值.
4.（娄底中考）先化简，再求值：（－）÷，其中x满足x2－3x－4＝0.
5.（甘南州中考）先化简，再求值：·÷（＋1），且x满足－2≤x≤2，取一个值即可.
6.（烟台中考）先化简，再求值：÷（a＋2＋），其中a是使不等式≤1成立的正整数.2　分式的运算
第1课时　分式的乘除运算
@基础分点训练
　知识点1　分式的乘法
1.计算－·的正确结果是（　C　）
A.2 B.2b
C.－2b D.－2ab2
2.计算·的结果是（　C　）
A. B.
C. D.
3.化简：·＝　－　.
4.计算：
（1）·；
解：原式＝
＝b.
（2）（攀枝花中考）·.
解：原式＝·
＝.
　知识点2　分式的除法
5.计算÷的结果是（　D　）
A. B. C.2xy D.
6.计算÷的结果是（　A　）
A. B. C. D.
7.计算：
（1）（扬州中考）÷（x－2）；
解：原式＝·
＝.
（2）÷.
解：原式＝·
＝·
＝x.
　知识点3　分式的乘方
8.化简（）2的结果是　　.
9.计算（－）3的结果是　－　.
　知识点4　分式的乘除混合运算
10.计算：
（1）·÷；
解：原式＝··
＝.
（2）（）2·（）3÷（）2.
解：原式＝·（－）·
＝－xy3·
＝－.
@中档提分训练
11.【易错题】（淄博中考）若分式÷有意义，则x的取值范围是（　D　）
A.x≠－1且x≠2
B.x≠－1且x≠3
C.x≠2且x≠3
D.x≠－1且x≠2且x≠3
12.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简.过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（　D　）
A.只有乙 B.甲和丁
C.乙和丙 D.乙和丁
13.（广州中考）求代数式·的值，其中m＝－1.
解：原式＝·
＝2（m＋2）（m－2）.
当m＝－1时，原式＝2（－1＋2）（－1－2）＝－4.
14.计算：÷·（a－b）.
解：原式＝··（a－b）
＝.
15.老师在黑板上书写了一道题目的正确计算过程，随后用手遮住了其中一部分，如图所示，求被手遮住部分的代数式.
·÷＝.
解：设被手遮住部分的代数式为A，
则A＝·÷＝.
@拓展素养训练
16.A玉米试验田是边长为a米（a＞2）的正方形减去一个边长为2米的正方形蓄水池后余下的部分，B玉米试验田是边长为（a－2）米的正方形，两块试验田的玉米都收获了600千克.
（1）哪种玉米的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
解：（1）根据题意，得A玉米试验田的面积为（a2－4）平方米，B玉米试验田的面积为（a－2）2平方米.
∵a2－4－（a－2）2＝4a－8，a＞2，∴4a－8＞0.
∴A玉米试验田的面积大.
∴B玉米试验田的单位面积产量高.
（2）根据题意，得
A玉米试验田单位面积的产量为，
B玉米试验田单位面积的产量为，
∴÷＝·＝.
答：高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍.
第2课时　同分母分式的加减法运算
@基础分点训练
　知识点1　同分母分式的加减法
1.（广州中考）计算＋的结果为（　C　）
A. B. C. D.
2.计算－的结果是（　C　）
A.a＋b B.a－b
C.－a－b D.1
3.计算：
（1）（江西中考）－＝　1　；
（2）（深圳中考）－＝　a－1　；
（3）＋－＝　　.
4.计算：
（1）（黄冈中考）－；
解：原式＝
＝
＝x－1.
（2）＋；
解：原式＝
＝
＝.
（3）－；
解：原式＝
＝
＝x－2.
（4）－.
解：原式＝
＝
＝ .
5.（无锡中考）先化简，再求值：＋，其中m＝3.
解：原式＝
＝
＝m－1.
当m＝3时，原式＝3－1＝2.
　知识点2　分母互为相反数的分式的加减法
6.（河南中考）化简－的结果是（　A　）
A.x＋1 B.x C.x－1 D.x－2
7.计算：
（1）＋；
解：原式＝－
＝
＝
＝.
（2）＋.
解：原式＝
＝
＝.
@中档提分训练
8.下列运算正确的是（　D　）
A.＋＝
B.－＝0
C.＋＝
D.＋＝1
9.已知－＝＋△，△表示整式，则△是（　A　）
A.－1 B.1 C.x D.－x
10.化简＋的结果为（　B　）
A. B.
C. D.
11.某工程库存原材料x吨，原计划每天用a吨，若现在每天比原计划节省一半，则可以多用　　天.
12.化简：－，然后在－2≤x≤2范围内选择一个你喜欢的整数代入求值.
解：原式＝＋
＝
＝.
在－2≤x≤2中，整数有－2，－1，0，1，2.
∵当x＝1时，原分式无意义，
∴x≠1.
∴x＝－2，－1，0，2.
当x＝0时，原式＝＝－2（答案不唯一）.
13.已知T＝＋.
（1）化简T；
（2）若正方形ABCD的边长为a，且它的面积为9，求T的值.
解：（1）T＝＋
＝＋
＝＝.
（2）由正方形的面积为9，得a＝3，则T＝.
@拓展素养训练
14.【开放性试题】已知M＝，N＝，用“＋”或“－”连接M，N，有多种不同的形式，如M＋N，M－N，请你任取其中一种进行计算，并化简求值，其中x，y满足x2－4xy＋4y2＝0.
解：答案不唯一.选M＋N：
M＋N＝＋
＝
＝
＝.
∵x，y满足x2－4xy＋4y2＝0，
∴（x－2y）2＝0，即x＝2y.
把x＝2y代入上式，得原式＝＝3.
第3课时　异分母分式的加减法运算
@基础分点训练
　知识点1　通分
1.分式，的最简公分母是（　B　）
A.4xy B.16x2y3
C.64x3y4 D.64x2y3
2.若将分式与通分，则分式的分子应变为（　A　）
A.6m2－6mn B.6m－6n
C.2（m－n） D.2（m－n）（m＋n）
3.通分：
（1），；
解：最简公分母是6xy2.
＝＝，
＝＝.
（2），.
解：最简公分母是2（x－2）（x＋2）.
＝＝，
＝－＝－.
　知识点2　异分母分式的加减法
4.化简：－＝（　D　）
A. B.－ C.－ D.
5.（天津中考）计算＋的结果等于（　A　）
A. B. C. D.1
6.计算：
（1）－；
解：原式＝－
＝.
（2）－.
解：原式＝－
＝
＝－.
7.（贵州中考）先化简：－，再从－1，0，2中选取一个使原式有意义的数代入求值.
解：原式＝－
＝
＝.
∵a≠0且a－1≠0，
∴a≠0且a≠1.
∴取a＝2时，原式＝.
8.有A，B两箱水果，A箱水果的质量为（a－1）2 kg，B箱水果的质量为（a2－1）kg（其中a＞1），售完后，两箱水果都卖了120元.求哪箱水果的单价高些？
解：根据题意，得
－＝＝，
∵a＞1，∴＞0.
∴＞，即A箱水果的单价高些.
@中档提分训练
9.（河北中考）已知A为整式，若计算－的结果为，则A＝（　A　）
A.x B.y C.x＋y D.x－y
10.如图，若x为正整数，则表示－的值的点落在（　B　）
A.段① B.段② C.段③ D.段④
11.（内江中考）已知实数a，b满足ab＝1，则＋＝　1　.
12.若a2－5ab－b2＝0，则－的值为　5　.
13.下面是小明化简－的过程，请认真阅读并完成相应任务：
解：原式＝－第一步
＝－第二步
＝－
第三步
＝第四步
＝.第五步
【任务一】填空：
①以上化简步骤中，第一步变形使用的方法是　因式分解　；
②第　三　步是进行分式的通分，通分的依据是　分式的基本性质　；
③第　四　步开始出现错误.
【任务二】请直接写出正确的化简结果：　－　.
@拓展素养训练
14.数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证一些数学结论.
（1）糖水实验一：
①现有b克糖水，其中含有a克糖（b＞a＞0），则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为.加入m（m＞0）克水，则糖水的浓度为　　；
②生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡.由此可以写出一个不等式　＞　，我们趣称为“糖水不等式”；
（2）糖水实验二：
将“糖水实验一”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，根据生活经验。请你写出一个新的糖水不等式并通过计算说明该不等式成立.
解：（2）由题意知，加入m克糖后，糖水的浓度为，由加糖后变甜，可得不等式为＞.
证明：－＝＝.
∵b＞a＞0，m＞0，∴＞0，即－＞0.
∴＞.
第4课时　分式的混合运算
@基础分点训练
　知识点1　较复杂的分式的加减运算
1.计算－1的结果是（　A　）
A.　　　B.x　　　C.1　　　D.
2.计算－＋－的结果是（　D　）
A. B. C.－ D.－
3.计算：
（1）＋x＋1；
解：原式＝
＝
＝－
＝.
（2）＋＋.
解：原式＝＋＋
＝
＝
＝.
4.先化简，再求值：－－，其中x＝3.
解：原式＝－－
＝
＝
＝
＝
＝.
当x＝3时，原式＝＝.
　知识点2　分式的混合运算
5.（绥化中考）计算：1－÷＝　－　.
6.（扬州中考）计算：（1－）÷＝　x－2　.
7.【运算能力】计算：
（1）（辽宁中考）÷－；
解：原式＝·－
＝－
＝
＝.
（2）（南通中考）（＋1）·.
解：原式＝·
＝·
＝a－3.
8.先化简，再求值：（1＋）·，其中m＝2.
解：原式＝·
＝·
＝m＋1.
当m＝2时，原式＝2＋1＝3.
@中档提分训练
9.如果m＝－，n＝＋，那么m2－n2等于（　D　）
A.4 B. C.0 D.－4
10.试卷上一个正确的式子（＋）÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁.被墨汁遮住部分的代数式为（　A　）
A. B.
C. D.
11.如果a－3b＝0，那么（a－）÷的结果是（　A　）
A. B.－ C. D.1
12.已知P＝，Q＝，则P÷（1＋Q）＝　　；若P÷（1＋Q）的值为正整数，则满足条件的所有整数a的和为　16　.
13.（广安中考）先化简（－a＋1）÷，再从不等式－2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值.
解：原式＝［－］÷
＝·
＝·
＝.
∵a＋1≠0，a－1≠0，∴a≠－1，a≠1.
∵－2＜a＜3，且a为整数，
∴a＝0或2.
选择a＝0代入原式，得＝－1.
（或选择a＝2代入原式，得＝1.）
@拓展素养训练
14.【方法探究】定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”.如：＝＝＋＝1＋，则是“和谐分式”.
（1）下列式子中，属于“和谐分式”的是　①③④　（填序号）；
①；②；③；④.
【拓展迁移】
（2）应用：先化简－÷，并求x取什么整数时，该式的值为整数.
解：（2）原式＝－·
＝－
＝
＝
＝2＋.
∴当x＋1＝±1或±2时，分式的值为整数，
此时x的值为0或1或－3或－2.
∵原式有意义时，x≠－1，0，1，－2，
∴当x＝－3时，该式的值为整数.
计算强化专题　分式的运算及化简求值
　类型1　分式的运算
1.计算：
（1）（内蒙古中考）·；
解：原式＝·
＝.
（2）÷（）2·；
解：原式＝÷·
＝··
＝.
（3）（－）÷；
解：原式＝·
＝·
＝.
（4）÷（1－）－.
解：原式＝÷－
＝·（a＋1）－
＝－
＝
＝.
　类型2　分式的化简求值
2.先化简，再求值：
（1）（山东中考）（x2－1）（＋1），其中x＝2；
解：原式＝（x＋1）（x－1）（＋）
＝（x＋1）（x－1）·
＝（x－1）（x＋2）
＝x2＋x－2.
当x＝2时，原式＝4＋2－2＝4.
（2）（烟台中考）（2＋m＋）÷，其中m＝（－1）2 025；
解：原式＝÷
＝·
＝3m.
∵m＝（－1）2 025＝－1，
∴原式＝3×（－1）＝－3.
（3）（眉山中考）（＋）÷，其中x，y满足（x＋2）2＋｜y－1｜＝0.
解：原式＝［＋］·
＝·
＝.
∵（x＋2）2＋｜y－1｜＝0，∴x＋2＝0，y－1＝0.
∴x＝－2，y＝1.
∴原式＝＝－1.
3.（张家界中考）先化简（x－1－）÷，然后从－1，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值.
解：原式＝·
＝·
＝x＋1.
∵x＋1≠0，x2－4≠0，
∴x≠－1，x≠±2.
当x＝1时，原式＝1＋1＝2.
4.（娄底中考）先化简，再求值：（－）÷，其中x满足x2－3x－4＝0.
解：原式＝·（x＋1）（x－1）
＝x2－3x－2.
∵x2－3x－4＝0，
∴x2－3x＝4.
∴原式＝4－2＝2.
5.（甘南州中考）先化简，再求值：·÷（＋1），且x满足－2≤x≤2，取一个值即可.
解：原式＝·÷
＝··
＝.
∵x（x＋2）≠0，x－2≠0，
∴x≠0，x≠±2.
又∵－2≤x≤2，
∴取x＝1.
∴当x＝1时，原式＝＝3（答案不唯一）.
6.（烟台中考）先化简，再求值：÷（a＋2＋），其中a是使不等式≤1成立的正整数.
解：原式＝÷
＝÷
＝·
＝.
解不等式≤1，得a≤3.
∵a为正整数，∴a＝1，2，3.
∵原式要有意义，∴a－2≠0，（3＋a）（3－a）≠0.
∴a≠2，a≠±3.
∴a＝1.
把a＝1代入原式，得＝－.

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