资源简介

3　分式方程
第1课时　分式方程的概念
@基础分点训练
　知识点1　分式方程的概念
1.下列关于x的方程是分式方程的是（　C　）
A.＝ B.－3＝
C.＝3 D.x＝1
2.在方程＝，1＋＝0，＋＝1，＝1中，分式方程有　3　个.
　知识点2　列分式方程
3.（深圳中考）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵.若设原计划人数为x人，则下列方程正确的是（　A　）
A.－＝3 B.－＝3
C.＝2× D.＝2×
4.（湖南中考）某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达，设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（　A　）
A.＝＋ B.＋10＝
C.＝＋10 D.＋＝
@中档提分训练
5.如图，实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克.如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍.晓华根据这一情景中的数量关系列出方程3×＝，则未知数x表示的意义是（　B　）
A.增加的水量 B.蒸发掉的水量
C.加入的食盐量 D.减少的食盐量
6.老师上课提出问题：“某超市的一种瓶装饮料每箱售价为36元，五一期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售这种饮料的原价每瓶是多少元及每箱多少瓶.”
甲：设该品牌的饮料每瓶是x元，则－＝2；乙：设该品牌饮料每箱x瓶，则×0.9＝；丙：设该品牌的饮料每瓶是x元，则0.9×（36＋2x）＝36；丁：设该品牌饮料每箱x瓶，则＝.
以上为四位同学列出的方程，正确的是　乙、丙　（填“甲”“乙”“丙”“丁”）.
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7.某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：
（Ⅰ）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（Ⅱ）乙队单独完成这项工程要比规定日期多6天；
（Ⅲ）若甲、乙两队一起做3天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成.
（1）设甲队单独完成这项工程需要x天，请完成下表.
工程总量 所用时间（天） 工程效率
甲队 1 x
乙队 1 x＋6
（2）根据题意及表中所得到的信息列出方程为
　（＋）×3＋（x－3）×＝1　.
第2课时　分式方程的解法
@基础分点训练
　知识点1　分式方程的解法
1.（海南中考）分式方程＝0的解是（　C　）
A.x＝－3 B.x＝3
C.x＝2 025 D.x＝－2 025
2.（湖南中考）将分式方程＝去分母后得到的整式方程为（　A　）
A.x＋1＝2x B.x＋2＝1
C.1＝2x D.x＝2（x＋1）
3.（1）（徐州中考）分式方程＝的解为　x＝9　；
（2）（北京中考）方程＋＝0的解为　x＝2　；
（3）当x＝　0　时，分式与的值互为相反数.
4.解分式方程：
（1）（西藏中考）＝；
解：去分母，得2（x－1）＝3（x＋1）.
解得x＝－5.
检验：当x＝－5时，（x＋1）（x－1）≠0.
∴x＝－5是原方程的解.
（2）＝；
解：方程两边同乘（x－3），得2＝x－1.
解得x＝3.
检验：当x＝3时，x－3＝0.
∴x＝3原分式方程的增根.
∴原分式方程无解.
（3）（威海中考）－1＝.
解：去分母，得x－2－2x＋1＝－1.
解得x＝0.
检验：当x＝0时，2x－1≠0.
故原方程的解为x＝0.
5.（广东中考）在解分式方程＝－2时，小李的解法如下：
第一步：·（x－2）＝－·（x－2）－2，
第二步：1－x＝－1－2，
第三步：－x＝－1－2－1，
第四步：x＝4.
第五步：检验：当x＝4时，x－2≠0.
第六步：∴原分式方程的解为x＝4.
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确.若不正确，请写出你的解答过程.
解：小李的解法中，第一步是去分母，去分母的依据是等式的基本性质；
小李的解答过程不正确，正确的解答过程如下：
去分母，得·（x－2）＝－·（x－2）－2（x－2）.
整理，得1－x＝－1－2x＋4.
移项、合并同类项，得x＝2.
检验：当x＝2时，x－2＝0.
∴原分式方程无解.
　知识点2　分式方程的增根
6.（永州中考）若关于x的分式方程－＝1（m为常数）有增根，则增根是　x＝4　.
7.解关于x的分式方程5＋＝时，若该分式方程产生增根，则m的值为　－2　.
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8.【新定义试题】定义一种新运算：对于任意非零实数a，b，a★b＝＋，若（x＋1）★2＝1，则x的值为　1　.
9.若关于x的方程＝无解，则m的值为（　D　）
A.0 B.4或6
C.6 D.0或4
10.解分式方程：
（1）＝＋；
解：方程两边同乘3（3x－1），得1＝3x－1＋6.
解得x＝－.
检验：当x＝－时，9x－3≠0.
∴x＝－是原分式方程的根.
（2）＋1＝.
解：方程两边同乘（x＋1）（x－1），得
4＋（x＋1）（x－1）＝（x－1）2.
解得x＝－1.
检验：当x＝－1时，（x＋1）（x－1）＝0.
∴x＝－1是分式方程的增根.
∴原分式方程无解.
11.已知点A，B在数轴上所表示的数分别为，，A，B两点位于原点两侧且到原点的距离相等，求x的值.
解：由题意，得＋＝0，
去分母，得2－（x－7）＝0.
解得x＝9.
检验：当x＝9时，x－8≠0.
∴x＝9是原方程的解.
∴x的值为9.
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12.【规律探究题】先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程x＋＝2＋的解为x1＝2，x2＝；
方程x＋＝3＋的解为x1＝3，x2＝；
方程x＋＝4＋的解为x1＝4，x2＝；
……
（1）根据上面的规律，猜想方程x＋＝5＋的解是　x1＝5，x2＝　；
（2）利用材料提供的方法解关于x的方程：x＋＝3＋；
（3）已知a≠0，利用材料提供的方法解关于x的方程：x＋＝（结果保留a）.
解：（2）由题意，得x＋＝3＋，
∴（x＋1）＋＝3＋.
∴x＋1＝3或x＋1＝，解得x1＝2，x2＝－.
经检验，x1＝2，x2＝－是原方程的解.
（3）x＋＝，
方程两边同时乘2，得2x＋＝a＋3＋，
方程两边再同时减去3，得（2x－3）＋＝a＋，
∴2x－3＝a或2x－3＝，
解得x1＝，x2＝.
经检验，x1＝，x2＝是原方程的解.
计算强化专题　分式方程的解法
1.（镇江中考）解分式方程：＝.
解：去分母，得2（3－x）＝4＋x.
解得x＝.
经检验，x＝是分式方程的解.
∴原方程的解为x＝.
2.解分式方程：＋＝0.
解：去分母，得3x＋x＋2＝0.
解得x＝－，
检验：当x＝－时，x（x－1）≠0.
∴x＝－是原分式方程的根.
3.解分式方程：－1＝.
解：去分母，得3x－3x－3＝2x.
解得x＝－1.5.
经检验，x＝－1.5是原方程的根.
∴原方程的解是x＝－1.5.
4.解分式方程：－＝0.
解：去分母，得5x－3（x＋1）＝0，
解得x＝，
经检验，x＝是原方程的解.
∴原方程的解是x＝.
5.解分式方程：＋＝.
解：方程两边同乘x（x－2），得4＋x－2＝2x.
解得x＝2.
检验：当x＝2时，x（x－2）＝0.
∴x＝2是分式方程的增根.
∴原分式方程无解.
6.解分式方程：＝＋.
解：方程两边同乘2（x＋3），得2（2－x）＝x＋3＋2.
解得x＝－.
检验：当x＝－时，2（x＋3）≠0.
∴x＝－是原分式方程的根.
7.解分式方程：＝－1.
解：方程两边同乘6（m－2），得
3（5m－4）＝2（2m＋5）－6（m－2）.
解得m＝2.
检验：当m＝2时，6（m－2）＝0.
∴m＝2是分式方程的增根.
∴原分式方程无解.
8.解分式方程：－＝.
解：方程两边同乘3（x－3），得3（2x－1）－（x－3）＝6x－5.
解得x＝5.
检验：当x＝5时，3（x－3）≠0.
∴原分式方程的解为x＝5.
解题技巧专题　与分式方程有关的参数问题
　类型1　由特殊解确定字母的取值范围
由特殊解确定字母的取值范围的一般步骤如下：
（1）求出分式方程的根（用含字母的式子表示）；
（2）由分式方程的根为特殊解列出关于字母的不等式，并求出解集；
（3）由分式方程的解必须使分母不为0，列出关于字母的不等式，并求出解集；
（4）求（2）（3）中两个解集的公共部分即可.
1.（黑龙江中考）已知关于x的分式方程－＝3的解为负数，则k的取值范围为（　A　）
A.k＜－4 B.k＞－4
C.k＜－4且k≠－ D.k＞－4且k≠－
2.（遂宁中考）若分式方程＝1－的解为正数，则m的取值范围是（　B　）
A.m＞－3 B.m＞－3且m≠－2
C.m＜3 D.m＜3且m≠－2
3.若关于x的分式方程＋＝的解大于1，则m的取值范围为　m＞0且m≠1　.
　类型2　与不等式组的解集结合确定字母的取值
与不等式组的解集结合，确定字母的取值的一般步骤如下：
（1）由分式方程的根为特殊解确定字母的取值范围（方法同类型1）；
（2）由不等式组的解集确定字母的取值范围；
（3）取（1）（2）中两个解集的公共部分即可.
4.（眉山中考）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程＝2－的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（　B　）
A.8 B.14 C.18 D.38
　类型3　由无解确定字母的取值
分式方程无解可能有两种情况：
（1）去分母后化成的整式方程有解，但这个解使原方程的最简公分母为0，即是方程的增根；
（2）去分母后化成的整式方程无解，即ax＝b中，a＝0且b≠0.
5.（齐齐哈尔中考）如果关于x的分式方程＋＝2无解，那么实数m的值是（　C　）
A.m＝1 B.m＝－1
C.m＝1或m＝－1 D.m≠1且m≠－1
6.已知关于x的分式方程－＝3.
（1）当a＝1时，求该方程的解；
（2）若该方程有增根，求a的值.
解：（1）当a＝1时，原方程化为－＝3.
去分母，得2x－1＋1＝3（x－1），解得x＝3.
检验：当x＝3时，x－1≠0.
∴x＝3是原方程的解.
（2）原方程去分母，得2x－a＋1＝3x－3，
即－x－a＝－4.
∵该方程有增根，∴－1－a＝－4.
∴a＝3.
第3课时　分式方程的应用
@基础分点训练
　知识点　分式方程的应用
1.DeepSeek掀起了“人工智能＋”的热潮，某单位利用DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据.已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时，若两模型合作处理，仅需1.5小时即可完成.设R2单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　B　）
A.＋＝1.5 B.＋＝
C.＋＝1.5 D.＋＝
2.（达州中考）甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工.甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成，求乙每小时加工零件多少个.设乙每小时加工x个零件，可列方程为（　D　）
A.－＝30 B.－＝30
C.－＝ D.－＝
3.（山东中考）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（　B　）
A.200 B.300 C.400 D.500
4.（东营中考）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的，小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是24.5元.已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3 m3.设该市去年居民用水价格为x元/m3，则可列分式方程为　－＝3　.
5.（云南中考）某化工厂采用机器人A，机器人B搬运化工原料，机器人A比机器人B每小时少搬运20千克，机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1 000千克所用时间相等.求机器人A，机器人B每小时分别搬运多少千克化工原料.
解：设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运（x＋20）千克化工原料，根据题意，得＝，解得x＝80.
经检验，x＝80是所列方程的解，且符合题意.
∴x＋20＝80＋20＝100.
答：机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料.
6.（贵州中考）为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业.根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了25％，设更新设备前每天生产x件产品.解答下列问题：
（1）更新设备后每天生产　1.25x　件产品（用含x的式子表示）；
（2）更新设备前生产5 000件产品比更新设备后生产6 000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品.
解：（2）由题意，得－2＝，
解得x＝100.
经检验，x＝100是所列分式方程的解，且符合题意.
∴1.25x＝1.25×100＝125.
答：更新设备后每天生产125件产品.
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7.【数学文化】（甘南州中考）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间.设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（　A　）
A.＝× B.＝×
C.＝× D.＝×
8.某玩具商店为了儿童节提前储备货物，用3 000元购进一批儿童玩具，接着又用5 400元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元，则第一批玩具每套的进价是　50　元.
9.【新情境】（成都中考）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱.某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个.
（1）求每个A种挂件的价格；
（2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件.
解：（1）设每个A种挂件的价格为x元，根据题意，得
＝＋7，解得x＝25.
经检验，x＝25是原方程的根，且符合题意.
答：每个A种挂件的价格为25元.
（2）由（1）知，每个A种挂件的价格为25元，每个B种挂件的价格为×25＝20（元）.
设该游客购买m个A种挂件，
则购买（m＋5）个B种挂件，根据题意，得
25m＋20（m＋5）≤600，解得m≤11.
又∵m为整数，
∴m的最大值为11.
答：该游客最多购买11个A种挂件.
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10.（青岛中考）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2 100件.公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍.先由甲、乙两个车间共同完成1 500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单.
（1）甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品？
（2）首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？
解：（1）设乙车间每天生产x件产品，则甲车间每天生产1.5x件产品，根据题意，得
＋＝10，解得x＝120.
经检验，x＝120是所列方程的解，且符合题意.
∴1.5x＝1.5×120＝180.
答：甲车间每天生产180件产品，乙车间每天生产120件产品.
（2）设安排甲车间生产m天，乙车间生产（30－m）天，这30天的生产总量为w件，
根据题意，得w＝180m＋120（30－m）＝60m＋3 600.
∵60＞0，∴w随m的增大而增大.
∵安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，
∴m≤2（30－m），解得m≤20.
∴当m＝20时，w取得最大值，此时30－m＝30－20＝10.
答：要使这30天的生产总量最大，应安排甲车间生产20天，乙车间生产10天.
重点强化专题　分式方程的应用
1.无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率.已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积.
解：设人工每小时对茶园打药的作业面积为x亩，则使用无人机每小时对茶园打药的作业面积为6x亩.
由题意，得－＝20，
解得x＝10.
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意.
∴6x＝60.
答：使用无人机每小时对茶园打药的作业面积为60亩.
2.“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期.某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买A，B两种型号“文房四宝”共40套，共花费4 300元，其中B型号的“文房四宝”花费3 000元，已知每套A型号的“文房四宝”的价格比B型号的“文房四宝”的价格高30％，求每套B型号的“文房四宝”的价格.
（1）某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整：
型号 总价（元） 单价（元） 购买套数
A型 1 300 1.3x
B型 3 000 x
（2）请你完整解答本题.
解：（2）由题意，得＋＝40，解得x＝100.
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意.
答：每套B型号的“文房四宝”的价格为100元.
3.金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车.
燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：　　元
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用；
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元.
①分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4 800元和7 500元.问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低（年费用＝年行驶费用＋年其他费用）？
解：（2）①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，
∴－＝0.54，解得a＝600.
经检验，a＝600是原分式方程的解，且符合题意.
∴＝0.6.＝0.06，
答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元.
②设每年行驶里程为x km，由题意，得
0.6x＋4 800＞0.06x＋7 500，
解得x＞5 000.
答：当每年行驶里程大于5 000 km时，买新能源车的年费用更低.3　分式方程
第1课时　分式方程的概念
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　知识点1　分式方程的概念
1.下列关于x的方程是分式方程的是（　 　）
A.＝ B.－3＝
C.＝3 D.x＝1
2.在方程＝，1＋＝0，＋＝1，＝1中，分式方程有 个.
　知识点2　列分式方程
3.（深圳中考）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵.若设原计划人数为x人，则下列方程正确的是（　 　）
A.－＝3 B.－＝3
C.＝2× D.＝2×
4.（湖南中考）某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达，设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（　 　）
A.＝＋ B.＋10＝
C.＝＋10 D.＋＝
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5.如图，实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克.如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍.晓华根据这一情景中的数量关系列出方程3×＝，则未知数x表示的意义是（　 　）
A.增加的水量 B.蒸发掉的水量
C.加入的食盐量 D.减少的食盐量
6.老师上课提出问题：“某超市的一种瓶装饮料每箱售价为36元，五一期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售这种饮料的原价每瓶是多少元及每箱多少瓶.”
甲：设该品牌的饮料每瓶是x元，则－＝2；乙：设该品牌饮料每箱x瓶，则×0.9＝；丙：设该品牌的饮料每瓶是x元，则0.9×（36＋2x）＝36；丁：设该品牌饮料每箱x瓶，则＝.
以上为四位同学列出的方程，正确的是 （填“甲”“乙”“丙”“丁”）.
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7.某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：
（Ⅰ）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（Ⅱ）乙队单独完成这项工程要比规定日期多6天；
（Ⅲ）若甲、乙两队一起做3天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成.
（1）设甲队单独完成这项工程需要x天，请完成下表.
工程总量 所用时间（天） 工程效率
甲队

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