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3　三角形的中位线
@基础分点训练
　知识点　三角形的中位线定理
1.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，已知DE＝3，则BC的长为（　 　）
A.3 B.4 C.6 D.5
第1题图　　　
2.如图，在△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE.若∠C＝68°，则∠AED＝（　 　）
第2题图
A.22° B.68° C.96° D.112°
3.（广元中考）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，对角线AC，BD交于点O，点P是AB的中点，连接DP，点E是DP的中点，连接OE，则OE的长是（　 　）
A.1 B. C.2 D.4
第3题图　　
4.（山西中考）如图，在 ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连接OE.下列两条线段的数量关系中一定成立的是（　 　）
第4题图
A.OE＝AD B.OE＝BC
C.OE＝AB D.OE＝AC
5.（广东中考）如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝（　 　）
A.20° B.40° C.70° D.110°
第5题图　　　　
6.（安阳北关区期末）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，DE为△ABC的中位线，过点E作EF∥AB交AC于点F，则四边形ADEF的周长为（　 　）
第6题图
A.8 B.12 C.11 D.10
7.【几何直观】如图1是一只风筝，中间有一风筝杆，抽象成图2的Rt△ABC.测得∠A＝90°，AB＝AC＝8 dm，点D，E分别是外骨架AB，AC的中点，则风筝杆DE的长为 dm.
8.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，过点D作DH⊥BC于点H，连接EH.若BC＝8，DH＝3，求EH的长.
@中档提分训练
9.（宿迁中考）如图，在△ABC中，AB≠AC，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，则下列结论错误的是（　 　）
A.DE∥BC
B.∠B＝∠EFC
C.∠BAF＝∠CAF
D.OD＝OE
10.（商丘梁园区期末）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD＝8，CD＝12，则EO的长为 .
第10题图　　　
11.如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若EF＝3，则DE的长为 .
第11题图
12.如图，BE，CF是△ABC的中线，且BE，CF相交于点G，P，Q分别是BG，CG的中点.
（1）求证：四边形EFPQ是平行四边形；
（2）请判断BG与GE的数量关系，并证明.
@拓展素养训练
13.（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，求证：∠BME＝∠CNE.请将下面证明∠BME＝∠CNE的过程填写完整：
证明：连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF.
∵F是AD的中点，H是BD的中点，
∴HF∥ ，HF＝ .
同理：HE∥ ，HE＝ .
∴∠1＝∠ ，∠2＝∠ .
∵AB＝CD，∴HF＝ .
∴∠1＝∠ .
∴∠BME＝∠CNE.
（2）运用上题方法解决下列问题：
如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，请判断△OMN的形状，并说明理由.
重点强化专题　平行四边形的性质与判定的综合
1.如图，已知在 ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交BC，AD于点G，H，求证：四边形AHCG是平行四边形.
2.（许昌期末）如图，在△ABC中，D是AB的中点.
（1）求作：AC的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若l交AC于点E，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接BE，CF.补全图形，并证明四边形BCFE是平行四边形.
3.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA.
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积.
4.如图，以平行四边形ABCD的边AB，CD为边，作等边三角形ABE和等边三角形CDF，连接DE，BF.求证：四边形BFDE是平行四边形.
5.如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG.H为FG的中点，连接DH.
（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（2）若CB＝CE，∠EBC＝75°，∠DCE＝10°，求∠DAB的度数.
6.如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF，DE.
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若∠CBD＝45°，DE＝DC＝6，CE＝4，求BE的长.
7.【生活情境】如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得AC＝EF＝CG＝50 cm，BD＝20 cm，GF＝80 cm，∠ABD＝127°，∠GFE＝53°，已知BD∥CE∥GF.
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）求椅子最高点A到地面GF的距离.3　三角形的中位线
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　知识点　三角形的中位线定理
1.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，已知DE＝3，则BC的长为（　C　）
A.3 B.4 C.6 D.5
第1题图　　　
2.如图，在△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE.若∠C＝68°，则∠AED＝（　B　）
第2题图
A.22° B.68° C.96° D.112°
3.（广元中考）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，对角线AC，BD交于点O，点P是AB的中点，连接DP，点E是DP的中点，连接OE，则OE的长是（　C　）
A.1 B. C.2 D.4
第3题图　　
4.（山西中考）如图，在 ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连接OE.下列两条线段的数量关系中一定成立的是（　C　）
第4题图
A.OE＝AD B.OE＝BC
C.OE＝AB D.OE＝AC
5.（广东中考）如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝（　C　）
A.20° B.40° C.70° D.110°
第5题图　　　　
6.（安阳北关区期末）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，DE为△ABC的中位线，过点E作EF∥AB交AC于点F，则四边形ADEF的周长为（　D　）
第6题图
A.8 B.12 C.11 D.10
7.【几何直观】如图1是一只风筝，中间有一风筝杆，抽象成图2的Rt△ABC.测得∠A＝90°，AB＝AC＝8 dm，点D，E分别是外骨架AB，AC的中点，则风筝杆DE的长为　4　dm.
8.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，过点D作DH⊥BC于点H，连接EH.若BC＝8，DH＝3，求EH的长.
解：在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC＝4.
∴∠EDH＝∠DHB.
∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，
∴∠EDH＝90°.
∴EH＝＝＝5.
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9.（宿迁中考）如图，在△ABC中，AB≠AC，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，则下列结论错误的是（　C　）
A.DE∥BC
B.∠B＝∠EFC
C.∠BAF＝∠CAF
D.OD＝OE
10.（商丘梁园区期末）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD＝8，CD＝12，则EO的长为　2　.
第10题图　　　
11.如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若EF＝3，则DE的长为　　.
第11题图
12.如图，BE，CF是△ABC的中线，且BE，CF相交于点G，P，Q分别是BG，CG的中点.
（1）求证：四边形EFPQ是平行四边形；
（2）请判断BG与GE的数量关系，并证明.
解：（1）证明：∵BE，CF是△ABC的中线，
∴EF是△ABC的中位线.
∴EF∥BC，EF＝BC.
∵P，Q分别是BG，CG的中点，
∴PQ是△GBC的中位线.
∴PQ∥BC，PQ＝BC.
∴EF∥PQ，EF＝PQ.
∴四边形EFPQ是平行四边形.
（2）BG＝2GE.证明如下：
∵四边形EFPQ是平行四边形，∴GE＝PG.
∵P是BG的中点，∴BG＝2PG.
∴BG＝2GE.
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13.（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，求证：∠BME＝∠CNE.请将下面证明∠BME＝∠CNE的过程填写完整：
证明：连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF.
∵F是AD的中点，H是BD的中点，
∴HF∥　AB　，HF＝　AB　.
同理：HE∥　CD　，HE＝　CD　.
∴∠1＝∠　BME　，∠2＝∠　CNE　.
∵AB＝CD，∴HF＝　HE　.
∴∠1＝∠　2　.
∴∠BME＝∠CNE.
（2）运用上题方法解决下列问题：
如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，请判断△OMN的形状，并说明理由.
解：（2）△OMN是等腰三角形，理由如下：
取AC的中点P，连接PF，PE，
∵E，F分别是BC，AD的中点，
∴PE是△ABC的中位线，PF是△ADC的中位线.
∴PE∥AB，PE＝AB，PF∥CD，PF＝CD.
∴∠PEF＝∠ANF，∠PFE＝∠CME.
∵AB＝CD，∴PE＝PF.
∴∠PFE＝∠PEF.∴∠OMN＝∠ONM.
∴△OMN为等腰三角形.
重点强化专题　平行四边形的性质与判定的综合
1.如图，已知在 ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交BC，AD于点G，H，求证：四边形AHCG是平行四边形.
证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEF＝∠CFE＝90°.
∴AG∥CH.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
即AH∥CG.
∴四边形AHCG是平行四边形.
2.（许昌期末）如图，在△ABC中，D是AB的中点.
（1）求作：AC的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若l交AC于点E，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接BE，CF.补全图形，并证明四边形BCFE是平行四边形.
解：（1）如图所示.
（2）补全图形如图所示.
证明：由（1）知，AE＝EC，
∵AD＝DB，
∴DE是△ABC的中位线.
∴DE∥BC，BC＝2DE.
∵EF＝2DE，∴EF＝BC.
∵EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形.
3.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA.
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积.
解：（1）证明：∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC，OB＝OD.
又∵BE＝FD，
∴OB－BE＝OD－FD.
∴OE＝OF.
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形.
（2）∵S△ABE＝2，BE＝EF，
∴S△AEF＝S△ABE＝2.
∵四边形AECF是平行四边形，
∴S△CFO＝S△CEF＝S△AEF＝×2＝1.
4.如图，以平行四边形ABCD的边AB，CD为边，作等边三角形ABE和等边三角形CDF，连接DE，BF.求证：四边形BFDE是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠DCB，
∵△ABE和△CDF是等边三角形，
∴BE＝AE＝AB＝CD＝CF＝DF，∠BAE＝∠DCF＝60°，
∴∠DAB－∠BAE＝∠DCB－∠DCF，
即∠DAE＝∠FCB.
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴DE＝BF.
又∵BE＝DF，
∴四边形BFDE为平行四边形.
5.如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG.H为FG的中点，连接DH.
（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（2）若CB＝CE，∠EBC＝75°，∠DCE＝10°，求∠DAB的度数.
解：（1）证明：∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC为△FEG的中位线.
∴BC∥FG，BC＝FG.
∵H是FG的中点，
∴FH＝FG.
∴BC＝FH.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∴AD∥FH，AD＝FH.
∴四边形AFHD是平行四边形.
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠DCB.
∵CE＝CB，
∴∠BEC＝∠EBC＝75°.
∴∠BCE＝180°－75°－75°＝30°.
∴∠DCB＝∠DCE＋∠BCE＝10°＋30°＝40°.
∴∠DAB＝40°.
6.如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF，DE.
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若∠CBD＝45°，DE＝DC＝6，CE＝4，求BE的长.
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CB∥AD.∴∠OEB＝∠OFD.
∵点O是对角线BD的中点，
∴OB＝OD.
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF（AAS）.∴OE＝OF.
∴四边形BEDF是平行四边形.
（2）过点D作DH⊥CB于点H，则∠BHD＝90°，
∵∠CBD＝45°，∴∠HDB＝∠CBD＝45°.
∵DE＝DC＝6，CE＝4，DH⊥EC，
∴EH＝CH＝CE＝2.
∴BH＝DH＝＝＝4.
∴BE＝BH－EH＝4－2.
7.【生活情境】如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得AC＝EF＝CG＝50 cm，BD＝20 cm，GF＝80 cm，∠ABD＝127°，∠GFE＝53°，已知BD∥CE∥GF.
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）求椅子最高点A到地面GF的距离.
解：（1）证明：∵BD∥CE∥GF，∠ABD＝127°，∠GFE＝53°，
∴∠ACE＝∠ABD＝127°，∠DEC＝∠GFE＝53°.
∴∠ACE＋∠DEC＝180°.∴BC∥DE.
∴四边形BCED是平行四边形.
（2）∵四边形BCED是平行四边形，
∴CE＝BD＝20 cm.
延长AC交GF于点H，连接AG，
由（1）可知，CH∥EF，CE∥HF，
∴四边形CHFE是平行四边形.
∴CH＝EF＝50 cm，HF＝CE＝20 cm.
则AH＝AC＋CH＝100 cm，
GH＝GF－HF＝60 cm.
∵AC＝EF＝CG＝CH，
∴∠CAG＝∠CGA，∠CGH＝∠CHG.
∴∠CAG＋∠AGH＋∠CHG＝2（∠CGA＋∠CGH）＝180°.
∴∠AGF＝90°.
∴AG＝＝80 cm.
故椅子最高点A到地面GF的距离为80 cm.

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