资源简介

第六章 平行四边形
一、选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确）
1.在 ABCD中，∠A＝50°，则∠B的度数是（　 　）
A.40° B.50° C.130° D.150°
2.下列选项中，平行四边形不一定具有的性质是（　 　）
A.两组对角分别相等 B.对角线相等
C.对角线互相平分 D.两组对边分别相等
3.如图，a∥b，直线a与直线b之间的距离是（　 　）
第3题图
A.线段PA的长度 B.线段PB的长度
C.线段PC的长度 D.线段CD的长度
4.如图，平行四边形ABCD中，AD＝5，DC＝3，以点B为圆心，BA的长为半径画弧，交BC于点E，则CE的长为（　 　）
第4题图
A.2 B.3 C.4 D.5
5.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是BD，BC的中点，已知AD＝6，BC＝12，EF＝4，则梯形ABCD的周长为（　 　）
第5题图
A.26 B.30 C.32 D.34
6.如图，在平面直角坐标系中， MNEF的两条对角线ME，NF交于原点O，MF平行于x轴，点M的坐标是（m，2），点F的坐标是（3，n），则点N的坐标是（　 　）
第6题图
A.（－3，－2） B.（－4，－3） C.（－2，－3） D.（－4，－2）
7.如图，已知 ABCD的面积为48，E为AB的中点，连接DE，则△ODE的面积为（　 　）
第7题图
A.8 B.6 C.4 D.3
8.在 ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角，要在对角线BD上找点M，N，使四边形ANCM为平行四边形，现有图中甲、乙、丙三种方案，其中正确的是（　 　）
第8题图
A.只有甲、乙 B.只有甲、丙
C.只有乙、丙 D.甲、乙、丙
9.如图，过平行四边形ABCD对角线的交点O的一条直线，分别交边AB，DC于点E，F，则下列结论一定正确的是（　 　）
第9题图
A.AE＝BE
B.OE＝DF
C.△AEO与△DFO全等
D.四边形BCOE与四边形DAOF的面积相等
10.如图，点E为 ABCD的对角线AC上一点，AC＝5，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF为（　 　）
第10题图
A. B.3 C. D.4
11.如图，在腰长为8的等腰三角形ABC中，AB＝AC，E，M，F分别是AB，BC，AC上的点，并且ME∥AC，MF∥AB，则四边形MEAF的周长是（　 　）
第11题图
A.8 B.10 C.12 D.16
12.如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，∠BCD＝60°，AD＝2AB，连接OE.下列结论：①S ABCD＝AB·BD；②DB平分∠ADE；③AB＝DE；④S△CDE＝S△BOC，其中正确的有（　 　）
第12题图
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题（每小题4分，共16分）
13.在 ABCD中，AB＝7，BC＝8，则 ABCD的周长是 .
14.如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点.若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为 .
第14题图
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为（5，0），（2，3），若以O，A，P，B为顶点的四边形为平行四边形，则点P的坐标为 .
第15题图
16.如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P在AB上，若四边形ACPD是平行四边形，则CD的最小值是 .
第16题图
三、解答题（本大题共9个小题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）如图，在 ABCD中，点E，F分别在边CD，BA上，DE＝BF，连接AE，CF，求证：AE＝CF.
18.（10分）如图，在 ABCD中，AE⊥BC，交边BC于点E，点F为边CD上一点，且DF＝BE.过点F作FG⊥CD，交边AD于点G.求证：DG＝DC.
19.（10分）如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线AP交BC于点P，∠ABC＝110°.
（1）求∠APB的度数；
（2）若AB＝3，AD＝5，求PC的长.
20.（10分）如图1所示是某校篮球架实物图，如图2所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧AB垂直于地面.八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板AB高度的实践活动，在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图3所示，小组成员将竹竿HE垂直固定在地面CD上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线FB与竹竿HE的夹角∠HFB的度数为48°，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线GA与竹竿HE的夹角∠HGA的度数恰好等于∠HFB的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量GF的长度为1 m，活动分享时，小明说：“GF的长度就是篮板AB的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由.
21.（10分）如图，在四边形ABCD中，E是AD的中点，CE，BD交于点F，DF＝FB，连接AF，若 ，则四边形AFCB是平行四边形.请从（1）AF∥CB；（2）CF＝2EF；（3）AF＝BC这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立.将选择的序号先填写在横线上，再说明理由.
22.（12分）将一把直尺如图放置，与 ABCD的边CD，AB交于点E，F，连接AE，CF分别与DF，BE相交于M，N两点.
（1）求证：四边形MFNE是平行四边形；
（2）若EM为直尺的宽，EM＝DM，且AB＝6，求 ABCD的面积.
23.（12分）如图，直线m∥n，点P，A分别在直线m和直线n上.
淇淇进行了如下操作：
①连接PA，以点A为圆心，AP的长为半径作弧，交直线n于点B，且B点在A点的左侧；
②以点P为圆心，PA的长为半径作弧，交直线m于点C，且C点在P点的右侧，连接PB，AC.
（1）请你帮淇淇完成作图；
（2）四边形ABPC的形状是 ，最直接的判断依据是 ；
（3）若PA＝，直线m和直线n之间的距离为，试求∠PAB的度数.
24.（12分）数学课上，我们探究过三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.以下是对此定理的探究及证明过程：
已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点.
求证：DE∥BC且DE＝BC.
（1）【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙、丁四位同学.他们在思考后说出了添加的辅助线：
甲：延长DE至点F，使EF＝DE，连接CF.
乙：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF.
丙：过点A作AH⊥DE于点H，延长HD，使DG＝HD，延长HE，使EF＝HE，连接BG，CF.
丁：过点E作EG∥AB，交BC于点G，过点A作BC的平行线交GE的延长线于点F.
则四位同学所作的辅助线能证明三角形的中位线定理的是 ；
A.甲、乙、丁 B.乙、丙
C.乙、丁 D.甲、乙、丙、丁
（2）【定理证明】请你按“乙同学”所作的辅助线将证明过程补充完整；
（3）【定理应用】
如图戊，B，C两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离.小颖在地面上选了点A和点D，使AD∥BC，连接AB，DC.并分别找到AB和DC的中点M，N.若测得AD＝a米，MN＝b米，请直接写出B，C两地间的距离 米（用含a，b的代数式表示）.
25.（12分）【课本再现】在学行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分.
【性质应用】（1）如图1，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交DC的延长线于点E，连接BE.若 ABCD的周长为28，△BCE的周长为18，求CE的长；
【拓展提升】（2）如图2，有一个三角形景观花园ABC，现市政府为进一步提升城市绿化景观品质，决定对这个三角形花园进行创意性扩建.规划方案为：延长AB边到点D，使得BD＝AC，同时延长AC边到点E，使得CE＝AB，最后连接DE，打造出全新的三角形景观区域ADE.在原三角形花园ABC里，点P是BC边的中点，从A到P有一条贯穿的小径AP，现需要把BC，AP，BE这三条路线打造为空中观景步道，方便市民从空中俯瞰花园美景.已知∠BAC＝60°，请探究线段BE与线段AP之间存在怎样的数量关系，并说明理由.第六章 平行四边形
一、选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确）
1.在 ABCD中，∠A＝50°，则∠B的度数是（　C　）
A.40° B.50° C.130° D.150°
2.下列选项中，平行四边形不一定具有的性质是（　B　）
A.两组对角分别相等 B.对角线相等
C.对角线互相平分 D.两组对边分别相等
3.如图，a∥b，直线a与直线b之间的距离是（　A　）
第3题图
A.线段PA的长度 B.线段PB的长度
C.线段PC的长度 D.线段CD的长度
4.如图，平行四边形ABCD中，AD＝5，DC＝3，以点B为圆心，BA的长为半径画弧，交BC于点E，则CE的长为（　A　）
第4题图
A.2 B.3 C.4 D.5
5.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是BD，BC的中点，已知AD＝6，BC＝12，EF＝4，则梯形ABCD的周长为（　D　）
第5题图
A.26 B.30 C.32 D.34
6.如图，在平面直角坐标系中， MNEF的两条对角线ME，NF交于原点O，MF平行于x轴，点M的坐标是（m，2），点F的坐标是（3，n），则点N的坐标是（　A　）
第6题图
A.（－3，－2） B.（－4，－3） C.（－2，－3） D.（－4，－2）
7.如图，已知 ABCD的面积为48，E为AB的中点，连接DE，则△ODE的面积为（　B　）
第7题图
A.8 B.6 C.4 D.3
8.在 ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角，要在对角线BD上找点M，N，使四边形ANCM为平行四边形，现有图中甲、乙、丙三种方案，其中正确的是（　D　）
第8题图
A.只有甲、乙 B.只有甲、丙
C.只有乙、丙 D.甲、乙、丙
9.如图，过平行四边形ABCD对角线的交点O的一条直线，分别交边AB，DC于点E，F，则下列结论一定正确的是（　D　）
第9题图
A.AE＝BE
B.OE＝DF
C.△AEO与△DFO全等
D.四边形BCOE与四边形DAOF的面积相等
10.如图，点E为 ABCD的对角线AC上一点，AC＝5，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF为（　B　）
第10题图
A. B.3 C. D.4
11.如图，在腰长为8的等腰三角形ABC中，AB＝AC，E，M，F分别是AB，BC，AC上的点，并且ME∥AC，MF∥AB，则四边形MEAF的周长是（　D　）
第11题图
A.8 B.10 C.12 D.16
12.如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，∠BCD＝60°，AD＝2AB，连接OE.下列结论：①S ABCD＝AB·BD；②DB平分∠ADE；③AB＝DE；④S△CDE＝S△BOC，其中正确的有（　D　）
第12题图
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题（每小题4分，共16分）
13.在 ABCD中，AB＝7，BC＝8，则 ABCD的周长是　30　.
14.如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点.若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为　65°　.
第14题图
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为（5，0），（2，3），若以O，A，P，B为顶点的四边形为平行四边形，则点P的坐标为　（3，－3）或（－3，3）或（7，3）　.
第15题图
16.如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P在AB上，若四边形ACPD是平行四边形，则CD的最小值是　　.
第16题图
三、解答题（本大题共9个小题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）如图，在 ABCD中，点E，F分别在边CD，BA上，DE＝BF，连接AE，CF，求证：AE＝CF.
证明：在 ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∵DE＝BF，∴CD－DE＝AB－BF，即CE＝AF.
∴四边形AFCE是平行四边形.∴AE＝CF.
18.（10分）如图，在 ABCD中，AE⊥BC，交边BC于点E，点F为边CD上一点，且DF＝BE.过点F作FG⊥CD，交边AD于点G.求证：DG＝DC.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B＝∠D，AB＝DC.
∵AE⊥BC，FG⊥CD，∴∠AEB＝∠GFD＝90°.
在△AEB和△GFD中，
∴△AEB≌△GFD（ASA）.
∴AB＝DG.∴DG＝DC.
19.（10分）如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线AP交BC于点P，∠ABC＝110°.
（1）求∠APB的度数；
（2）若AB＝3，AD＝5，求PC的长.
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.
∴∠DAB＝180°－∠ABC＝70°.
∵AP平分∠DAB，∴∠DAP＝∠DAB＝35°.∴∠APB＝∠DAP＝35°.
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝5.
∵AD∥BC，AP平分∠DAB，∴∠BAP＝∠DAP＝∠APB.
∴AB＝PB＝3.∴PC＝BC－BP＝5－3＝2.
20.（10分）如图1所示是某校篮球架实物图，如图2所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧AB垂直于地面.八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板AB高度的实践活动，在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图3所示，小组成员将竹竿HE垂直固定在地面CD上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线FB与竹竿HE的夹角∠HFB的度数为48°，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线GA与竹竿HE的夹角∠HGA的度数恰好等于∠HFB的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量GF的长度为1 m，活动分享时，小明说：“GF的长度就是篮板AB的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由.
解：我认为小明的说法正确.理由如下：
∵HE⊥CD，AB⊥CD，∴∠HEC＝∠AKC＝90°.∴AB∥GF.
∵∠HGA＝∠HFB，
∴AG∥BF.∴四边形AGFB是平行四边形.∴GF＝AB＝1 m.
∴GF的长度就是篮板AB的高度.
21.（10分）如图，在四边形ABCD中，E是AD的中点，CE，BD交于点F，DF＝FB，连接AF，若　（1）或（2）　，则四边形AFCB是平行四边形.请从（1）AF∥CB；（2）CF＝2EF；（3）AF＝BC这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立.将选择的序号先填写在横线上，再说明理由.
解：∵E是AD的中点，DF＝FB，
∴EF是△ABD的中位线.∴EF∥AB，EF＝AB.
选择（1）AF∥CB，又∵AB∥CF，∴四边形AFCB是平行四边形.
故（1）符合题意；
选择（2）CF＝2EF，∵EF＝AB，∴AB＝CF.
又∵AB∥CF，∴四边形AFCB是平行四边形.
故（2）符合题意.
22.（12分）将一把直尺如图放置，与 ABCD的边CD，AB交于点E，F，连接AE，CF分别与DF，BE相交于M，N两点.
（1）求证：四边形MFNE是平行四边形；
（2）若EM为直尺的宽，EM＝DM，且AB＝6，求 ABCD的面积.
解：（1）证明：∵点D，F与点B，E分别在直尺的对边上，∴DF∥BE.
∵四边形ABCD是平行四边形，点F，E分别在AB，CD上，
∴FB∥ED，AB＝CD.∴四边形BEDF是平行四边形.
∴BF＝DE.∴AB－BF＝CD－DE.
∴AF＝CE.∵AF∥CE，∴四边形AFCE是平行四边形.
∵点M，N分别在AE，CF上，∴EM∥FN.
∵FM∥EN，∴四边形MFNE是平行四边形.
（2）∵EM为直尺的宽，∴EM⊥DF.∴∠DME＝∠AEB＝90°.
∵EM＝DM，∴∠EAB＝∠MED＝∠MDE＝45°.∴∠EBA＝∠EAB＝45°.∴AE＝BE.
过点E作EH⊥AB于点H，则AH＝BH.
∵AB＝6，∴EH＝AB＝3.∴S ABCD＝AB·EH＝6×3＝18.
23.（12分）如图，直线m∥n，点P，A分别在直线m和直线n上.
淇淇进行了如下操作：
①连接PA，以点A为圆心，AP的长为半径作弧，交直线n于点B，且B点在A点的左侧；
②以点P为圆心，PA的长为半径作弧，交直线m于点C，且C点在P点的右侧，连接PB，AC.
（1）请你帮淇淇完成作图；
（2）四边形ABPC的形状是　平行四边形　，最直接的判断依据是　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形　；
（3）若PA＝，直线m和直线n之间的距离为，试求∠PAB的度数.
解：（1）依题意，作图如图所示.
（3）过点P作PD⊥AB于点D，由题意，得PD＝.
∵PA＝，∴AD＝＝＝.
∴△PDA是等腰直角三角形.∴∠PAB＝45°.
24.（12分）数学课上，我们探究过三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.以下是对此定理的探究及证明过程：
已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点.
求证：DE∥BC且DE＝BC.
（1）【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙、丁四位同学.他们在思考后说出了添加的辅助线：
甲：延长DE至点F，使EF＝DE，连接CF.
乙：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF.
丙：过点A作AH⊥DE于点H，延长HD，使DG＝HD，延长HE，使EF＝HE，连接BG，CF.
丁：过点E作EG∥AB，交BC于点G，过点A作BC的平行线交GE的延长线于点F.
则四位同学所作的辅助线能证明三角形的中位线定理的是　D　；
A.甲、乙、丁 B.乙、丙
C.乙、丁 D.甲、乙、丙、丁
（2）【定理证明】请你按“乙同学”所作的辅助线将证明过程补充完整；
（3）【定理应用】
如图戊，B，C两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离.小颖在地面上选了点A和点D，使AD∥BC，连接AB，DC.并分别找到AB和DC的中点M，N.若测得AD＝a米，MN＝b米，请直接写出B，C两地间的距离　（2b－a）　米（用含a，b的代数式表示）.
解：（2）证明：∵DE＝EF，AE＝CE，∴四边形ADCF是平行四边形.
∴AD∥CF，AD＝CF.
∵AD＝BD，∴BD＝CF.
∴四边形BCFD是平行四边形.
∴DF∥BC，DF＝BC.∴DE∥BC.
∵DE＝DF，∴DE＝BC.
25.（12分）【课本再现】在学行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分.
【性质应用】（1）如图1，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交DC的延长线于点E，连接BE.若 ABCD的周长为28，△BCE的周长为18，求CE的长；
【拓展提升】（2）如图2，有一个三角形景观花园ABC，现市政府为进一步提升城市绿化景观品质，决定对这个三角形花园进行创意性扩建.规划方案为：延长AB边到点D，使得BD＝AC，同时延长AC边到点E，使得CE＝AB，最后连接DE，打造出全新的三角形景观区域ADE.在原三角形花园ABC里，点P是BC边的中点，从A到P有一条贯穿的小径AP，现需要把BC，AP，BE这三条路线打造为空中观景步道，方便市民从空中俯瞰花园美景.已知∠BAC＝60°，请探究线段BE与线段AP之间存在怎样的数量关系，并说明理由.
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD.
∵平行四边形ABCD的周长为2（BC＋CD）＝28，∴BC＋CD＝14.
∵OE⊥BD，∴OE垂直平分BD.∴DE＝BE.
∵△BCE的周长为BC＋CE＋BE＝BC＋CE＋CE＋CD＝BC＋CD＋2CE＝18，∴CE＝2.
（2）BE＝2AP，理由如下：过点B作BH∥AE交DE于点H，连接PH，CH，AH，
∵∠BAC＝60°，∴∠DBH＝∠BAC＝60°.
∵AB＝CE，AC＝BD，∴AB＋BD＝AC＋CE，即AD＝AE.
∴△ADE是等边三角形.
∴∠D＝60°，DE＝DA.
∴△DBH是等边三角形.
∴BH＝BD＝DH.∴BH＝AC.
∵BH∥AC，∴四边形ABHC是平行四边形.
∴AH，BC互相平分.
∵点P为BC的中点，∴A，P，H三点共线.
∴AH＝2AP.
∴△ADH≌△EDB（SAS）.
∴BE＝AH.∴BE＝2AP.

展开更多......

收起↑