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第四章因式分解 综合评价
一、选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确）
1.下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　C　）
A.x2－9＋6x＝（x＋3）（x－3）＋6x
B.x2－4y2＝（x＋4y）（x－4y）
C.x3－x＝x（x＋1）（x－1）
D.6ab＝2a·3b
2.多项式12ab2－8a2bc的公因式是（　A　）
A.4ab B.4a2b2 C.2ab D.2abc
3.下列各式能用平方差公式分解因式的有（　B　）
①x2＋y2；②x2－y2；③－x2＋y2；
④－x2－y2；⑤1－a2b2；⑥x2＋4.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
4.若多项式p2＋1＋Δ能直接用完全平方公式进行因式分解，则“Δ”所代表的单项式不可以是（　D　）
A.2p B.－2p C. D.－
5.下列因式分解正确的是（　C　）
A.a（a－b）－b（a－b）＝ （a－b）（a＋b）
B.a2－9b2＝（a－3b）2
C.a2＋4ab＋4b2＝（a＋2b）2
D.a2－ab＋a＝a（a－b）
6.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a＋1的是（　D　）
A.a2－1 B.a2＋a
C.（a＋2）2－2（a＋2）＋1 D.a2－2a＋1
7.若58－1可以被20到30之间的某两个整数整除，则这两个整数是（　A　）
A.24，26 B.25，27 C.26，28 D.27，29
8.如果多项式mx2－nx－2能因式分解为（3x＋2）（x＋p），那么下列结论正确的是（　B　）
A.m＝6 B.n＝1 C.p＝－2 D.mnp＝3
9.已知a，b，c是△ABC的三条边，则代数式（a－c）2－b2的值（　B　）
A.一定是正数 B.一定是负数
C.正、负数都有可能 D.有可能为零
10.已知m＝5，x＝y－3，则代数式mx2－2mxy＋my2的值为（　D　）
A.－15 B.25 C.－45 D.45
11.如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a的正方形卡片4张，边长为b的正方形卡片1张，长、宽分别为a，b的长方形卡片4张.现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（　B　）
A.4a＋b B.2a＋b C.a＋2b D.a＋3b
12.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，若ab－bc＝0，则△ABC为等腰三角形.理由如下：方程整理为b（a－c）＝0，因为b≠0，a＝c，所以△ABC是等腰三角形.对于a，b，c满足的条件给出下列说法：
①若ab＋bc＝b2＋ac，那么这个三角形是等腰三角形；
②若a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝0，那么这个三角形是等边三角形；
③若a3－a2b＋ab2－ac2－b3＋bc2＝0，那么这个三角形是直角三角形.
以上说法中正确的有（　C　）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
二、填空题（每小题4分，共16分）
13.因式分解：2x2－x3－x＝　－x（x－1）2　.
14.若2a＋b＝－1，则4a2＋2ab－b的值为　1　.
15.若将（2x）n－625分解成（4x2＋25）（2x＋5）（2x－5），则n的值是　4　.
16.已知a＝2 024x＋2 024，b＝2 024x＋2 025，c＝2 024x＋2 026，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是　3　.
三、解答题（本大题共9个小题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）分解因式：
（1）ax2－16ay2；
解：原式＝a（x2－16y2）
＝a（x＋4y）（x－4y）.
（2）－2a3＋12a2－18a.
解：原式＝－2a（a2－6a＋9）
＝－2a（a－3）2.
18.（10分）用简便方法计算：
（1）1.992＋1.99×0.01；
解：原式＝1.99×（1.99＋0.01）
　　　　＝1.99×2
　　　　＝3.98.
（2）842－28×84＋142.
解：原式＝842－2×14×84＋142
　　　　＝（84－14）2
　　　　＝702
　　　　＝4 900.
19.（10分）先因式分解，再计算求值.
（1）4x（m－2）－3x（m－2），其中x＝15，m＝6；
（2）（a－2）2－5（2－a），其中a＝－2.
解：（1）原式＝（m－2）（4x－3x）＝x（m－2），
当x＝15，m＝6时，原式＝15×（6－2）＝60.
（2）原式＝（a－2）2＋5（a－2）＝（a－2）（a－2＋5）＝（a－2）（a＋3），
当a＝－2时，原式＝（－2－2）×（－2＋3）＝－4.
20.（10分）分解因式及其应用.
（1）将整式y2（a－b）＋2y（b－a）＋a－b进行因式分解；
（2）如图，在半径为R的圆形钢板上，剪去四个半径为r的小圆.当R＝7.8 cm，r＝1.1 cm时，利用因式分解的知识，计算剩余部分的面积.（π取3.14）
解：（1）原式＝y2（a－b）－2y（a－b）＋a－b
＝（a－b）（y2－2y＋1）
＝（a－b）（y－1）2.
（2）由题意，得剩余部分的面积为πR2－4πr2＝π（R2－4r2）＝π（R＋2r）（R－2r）.
∵R＝7.8 cm，r＝1.1 cm，
∴原式＝3.14×（7.8＋2×1.1）×（7.8－1.1×2）
＝3.14×10×5.6
＝175.84（cm2）.
答：剩余部分的面积是175.84 cm2.
21.（10分）在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务.
题目：将（2x＋y）2－（x＋2y）2分解因式
小彬： 原式＝（4x2＋4xy＋y2）－（x2＋4xy＋4y2） ……第1步 ＝3x2－3y2……第2步 ＝3（x＋y）（x－y）.……第3步 小颖： 原式＝（2x＋y＋x＋2y）（2x＋y－x＋2y） ……第1步 ＝（3x＋3y）（x＋3y）……第2步 ＝3（x＋y）（x＋3y）.……第3步
任务：
（1）经过讨论，他们发现小彬的解答正确，他第1步依据的乘法公式用字母表示为　（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2　，小颖的解答错误，从第　1　步开始出错，错误的原因是　去括号时没有变号　；
（2）按照小颖的思路，写出正确的解答过程.
解：（2）原式＝（2x＋y＋x＋2y）（2x＋y－x－2y）
＝（3x＋3y）（x－y）
＝3（x＋y）（x－y）.
22.（12分）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a cm的大正方形，2块是边长为b cm的小正方形，5块是长为a cm，宽为b cm的相同的小长方形，且a＞b.
（1）观察图形，可以发现代数式2a2＋5ab＋2b2可以因式分解为 　（a＋2b）（b＋2a）　；
（2）若图中阴影部分的面积为34 cm2，大长方形纸板的周长为30 cm.
①求a＋b的值；
②求图中空白部分的面积.
解：（2）①根据长方形的周长为30 cm，得2（2a＋b＋a＋2b）＝30，
∴a＋b＝5.
②由题意，得空白部分的面积为5ab cm2.
由①，得a＋b＝5.
∵阴影部分的面积为34 cm2，且阴影部分的面积表示为（2a2＋2b2）cm2，
∴a2＋b2＝17.
∵（a＋b）2－2ab＝a2＋b2，∴52－2ab＝17.∴ab＝4.
∴5ab＝20.
∴空白部分的面积为20 cm2.
23.（12分）人们通过数字了解世界，制定礼法，也给数字增添了神秘的色彩.数学上的数字也有神秘色彩，如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们把它称为“神秘数”.如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“神秘数”.
请根据以上材料，解答下列问题：
（1）直接写出大于20的最小神秘数　28　；
（2）32是神秘数吗？为什么？
（3）小明说：任何一个神秘数一定是4的倍数但不可能是8的倍数.小华说：有的神秘数不仅是4的倍数，而且是8的倍数.我们用2k＋2和2k表示两个连续偶数（其中k取非负整数），请你通过推理，判断小明和小华谁的说法是正确的.
解：（2）32不是神秘数，理由：设两个连续偶数为2k＋2和2k（k为非负整数），
则（2k＋2）2－（2k）2＝（2k＋2＋2k）（2k＋2－2k）＝2（4k＋2）＝4（2k＋1）.
若4（2k＋1）＝32，则k＝3.5（k为非负整数，故舍去）.
所以32不是神秘数.
（3）由题意，得（2k＋2）2－（2k）2＝（2k＋2＋2k）（2k＋2－2k）＝2（4k＋2）＝4（2k＋1）.
∵4（2k＋1）是4的倍数，但不是8的倍数，
∴小明的说法是正确的.
24.（12分）阅读下列材料：
利用公式法，可以将一些形如ax2＋bx＋c（a≠0）的多项式变形为a（x＋m）2＋n的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式ax2＋bx＋c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题.比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解.
例：x2＋4x－5＝x2＋4x＋（）2－（）2－5
＝x2＋4x＋4－9
＝（x＋2）2－9
＝（x＋2－3）（x＋2＋3）
＝（x－1）（x＋5）.
根据以上材料，利用多项式的配方法解答下列问题：
（1）分解因式：x2＋2x－3；
（2）求多项式x2＋6x－9的最小值；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，求△ABC的周长.
解：（1）原式＝x2＋2x＋1－1－3
＝（x2＋2x＋1）－4
＝（x＋1）2－22
＝（x＋1＋2）（x＋1－2）
＝（x＋3）（x－1）.
（2）原式＝x2＋6x＋－－9，
＝（x＋3）2－9－9，
＝（x＋3）2－18，
∵（x＋3）2≥0，∴（x＋3）2－18≥－18.
∴多项式x2＋6x－9的最小值为－18.
（3）a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c可变为a2－6a＋9－9＋b2－8b＋16－16＋c2－10c＋25－25＋50＝0.
∴（a－3）2＋（b－4）2＋（c－5）2＝0.
∴a＝3，b＝4，c＝5.
∴△ABC的周长为a＋b＋c＝12.
25.（12分）在现在的信息化时代，密码为保护我们的个人隐私起到了不可或缺的作用.诸如“1234”或生日等简单密码非常容易被破解，因此利用数学产生一组容易记忆又不好破解的密码十分有必要.有一种“因式分解”法可以获得便于记忆的密码，其原理就是：将多项式分解因式，如多项式x2－4就可以分解成（x＋2）（x－2），再对因式赋值生成正整数或0的因式码，比如某人的年龄为16，取x＝16，那么x＋2＝18，x－2＝14，14和18就是因式码，将因式码进行排列就形成密码1418或密码1814，如果分解因式的结果有单项式，如x2（x＋2），我们取x2和（x＋2）的值作为两个因式码.
（1）根据上述方法，若多项式为x2－16，当x＝15时，请直接写出密码为　1911或1119　；
（2）若王老师想用年龄生成锁屏密码，选取的多项式为x3－x，已知王老师手机的锁屏密码是6位数字313032，请尝试分析王老师当前年龄是多少岁，并说明理由；
（3）已知多项式4x4－x2，当x取正整数时，用上述方法生成密码，若密码中最小的因式码为15，你能求出其他两个因式码吗？并说明理由.
解：（2）31岁，理由如下：
x3－x＝x（x＋1）（x－1）.
∵x－1＜x＜x＋1，
∴x＝31.
即王老师当前年龄是31岁.
（3）4x4－x2＝x2（2x＋1）（2x－1）.
显然2x＋1＞2x－1.
∵x2－（2x－1）＝x2－2x＋1＝（x－1）2，
当x＝1时，不合题意；
当x≠1时，x2＞2x－1，∴2x－1是最小的因式.
∴x＝8.
∴其他两个因式码是17和64.第四章因式分解 综合评价
一、选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确）
1.下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　 　）
A.x2－9＋6x＝（x＋3）（x－3）＋6x
B.x2－4y2＝（x＋4y）（x－4y）
C.x3－x＝x（x＋1）（x－1）
D.6ab＝2a·3b
2.多项式12ab2－8a2bc的公因式是（　 　）
A.4ab B.4a2b2 C.2ab D.2abc
3.下列各式能用平方差公式分解因式的有（　 　）
①x2＋y2；②x2－y2；③－x2＋y2；
④－x2－y2；⑤1－a2b2；⑥x2＋4.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
4.若多项式p2＋1＋Δ能直接用完全平方公式进行因式分解，则“Δ”所代表的单项式不可以是（　 　）
A.2p B.－2p C. D.－
5.下列因式分解正确的是（　 　）
A.a（a－b）－b（a－b）＝ （a－b）（a＋b）
B.a2－9b2＝（a－3b）2
C.a2＋4ab＋4b2＝（a＋2b）2
D.a2－ab＋a＝a（a－b）
6.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a＋1的是（　 　）
A.a2－1 B.a2＋a
C.（a＋2）2－2（a＋2）＋1 D.a2－2a＋1
7.若58－1可以被20到30之间的某两个整数整除，则这两个整数是（　 　）
A.24，26 B.25，27 C.26，28 D.27，29
8.如果多项式mx2－nx－2能因式分解为（3x＋2）（x＋p），那么下列结论正确的是（　 　）
A.m＝6 B.n＝1 C.p＝－2 D.mnp＝3
9.已知a，b，c是△ABC的三条边，则代数式（a－c）2－b2的值（　 　）
A.一定是正数 B.一定是负数
C.正、负数都有可能 D.有可能为零
10.已知m＝5，x＝y－3，则代数式mx2－2mxy＋my2的值为（　 　）
A.－15 B.25 C.－45 D.45
11.如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a的正方形卡片4张，边长为b的正方形卡片1张，长、宽分别为a，b的长方形卡片4张.现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（　 　）
A.4a＋b B.2a＋b C.a＋2b D.a＋3b
12.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，若ab－bc＝0，则△ABC为等腰三角形.理由如下：方程整理为b（a－c）＝0，因为b≠0，a＝c，所以△ABC是等腰三角形.对于a，b，c满足的条件给出下列说法：
①若ab＋bc＝b2＋ac，那么这个三角形是等腰三角形；
②若a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝0，那么这个三角形是等边三角形；
③若a3－a2b＋ab2－ac2－b3＋bc2＝0，那么这个三角形是直角三角形.
以上说法中正确的有（　 　）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
二、填空题（每小题4分，共16分）
13.因式分解：2x2－x3－x＝ .
14.若2a＋b＝－1，则4a2＋2ab－b的值为 .
15.若将（2x）n－625分解成（4x2＋25）（2x＋5）（2x－5），则n的值是 .
16.已知a＝2 024x＋2 024，b＝2 024x＋2 025，c＝2 024x＋2 026，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是 .
三、解答题（本大题共9个小题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）分解因式：
（1）ax2－16ay2；
（2）－2a3＋12a2－18a.
18.（10分）用简便方法计算：
（1）1.992＋1.99×0.01；
（2）842－28×84＋142.
19.（10分）先因式分解，再计算求值.
（1）4x（m－2）－3x（m－2），其中x＝15，m＝6；
（2）（a－2）2－5（2－a），其中a＝－2.
20.（10分）分解因式及其应用.
（1）将整式y2（a－b）＋2y（b－a）＋a－b进行因式分解；
（2）如图，在半径为R的圆形钢板上，剪去四个半径为r的小圆.当R＝7.8 cm，r＝1.1 cm时，利用因式分解的知识，计算剩余部分的面积.（π取3.14）
21.（10分）在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务.
题目：将（2x＋y）2－（x＋2y）2分解因式
小彬： 原式＝（4x2＋4xy＋y2）－（x2＋4xy＋4y2） ……第1步 ＝3x2－3y2……第2步 ＝3（x＋y）（x－y）.……第3步 小颖： 原式＝（2x＋y＋x＋2y）（2x＋y－x＋2y） ……第1步 ＝（3x＋3y）（x＋3y）……第2步 ＝3（x＋y）（x＋3y）.……第3步
任务：
（1）经过讨论，他们发现小彬的解答正确，他第1步依据的乘法公式用字母表示为 ，小颖的解答错误，从第 步开始出错，错误的原因是 ；
（2）按照小颖的思路，写出正确的解答过程.
22.（12分）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a cm的大正方形，2块是边长为b cm的小正方形，5块是长为a cm，宽为b cm的相同的小长方形，且a＞b.
（1）观察图形，可以发现代数式2a2＋5ab＋2b2可以因式分解为 ；
（2）若图中阴影部分的面积为34 cm2，大长方形纸板的周长为30 cm.
①求a＋b的值；
②求图中空白部分的面积.
23.（12分）人们通过数字了解世界，制定礼法，也给数字增添了神秘的色彩.数学上的数字也有神秘色彩，如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们把它称为“神秘数”.如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“神秘数”.
请根据以上材料，解答下列问题：
（1）直接写出大于20的最小神秘数 ；
（2）32是神秘数吗？为什么？
（3）小明说：任何一个神秘数一定是4的倍数但不可能是8的倍数.小华说：有的神秘数不仅是4的倍数，而且是8的倍数.我们用2k＋2和2k表示两个连续偶数（其中k取非负整数），请你通过推理，判断小明和小华谁的说法是正确的.
24.（12分）阅读下列材料：
利用公式法，可以将一些形如ax2＋bx＋c（a≠0）的多项式变形为a（x＋m）2＋n的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式ax2＋bx＋c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题.比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解.
例：x2＋4x－5＝x2＋4x＋（）2－（）2－5
＝x2＋4x＋4－9
＝（x＋2）2－9
＝（x＋2－3）（x＋2＋3）
＝（x－1）（x＋5）.
根据以上材料，利用多项式的配方法解答下列问题：
（1）分解因式：x2＋2x－3；
（2）求多项式x2＋6x－9的最小值；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，求△ABC的周长.
25.（12分）在现在的信息化时代，密码为保护我们的个人隐私起到了不可或缺的作用.诸如“1234”或生日等简单密码非常容易被破解，因此利用数学产生一组容易记忆又不好破解的密码十分有必要.有一种“因式分解”法可以获得便于记忆的密码，其原理就是：将多项式分解因式，如多项式x2－4就可以分解成（x＋2）（x－2），再对因式赋值生成正整数或0的因式码，比如某人的年龄为16，取x＝16，那么x＋2＝18，x－2＝14，14和18就是因式码，将因式码进行排列就形成密码1418或密码1814，如果分解因式的结果有单项式，如x2（x＋2），我们取x2和（x＋2）的值作为两个因式码.
（1）根据上述方法，若多项式为x2－16，当x＝15时，请直接写出密码为 ；
（2）若王老师想用年龄生成锁屏密码，选取的多项式为x3－x，已知王老师手机的锁屏密码是6位数字313032，请尝试分析王老师当前年龄是多少岁，并说明理由；
（3）已知多项式4x4－x2，当x取正整数时，用上述方法生成密码，若密码中最小的因式码为15，你能求出其他两个因式码吗？并说明理由.

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