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第四章　因式分解
本章知识总结
@考点巩固
　考点1　因式分解的概念
1.下列从左到右的变形是因式分解的是（　C　）
A.（x－1）（x－2）＝（1－x）（2－x）
B.x2＋xy－1＝x（x－y）－1
C.a（x－3）＋b（3－x）＝（x－3）（a－b）
D.（a－1）（a＋1）＝a2－1
2.若多项式x2＋mx＋n分解因式后的结果为（x＋2）（x＋3），则m－n的值为　－1　.
　考点2　因式分解
3.多项式x2－4y2与x2＋4xy＋4y2的公因式是（　D　）
A.x－4y B.x＋4y
C.x－2y D.x＋2y
4.下列因式分解正确的是（　D　）
A.m2－mn＋m＝m（m－n）
B.－x2＋y2＝（－x＋y）（－x－y）
C.16x2－y2＝（4x－y）2
D.ab2－a＝a（b－1）（b＋1）
5.（浙江中考）一个多项式把它因式分解后有一个因式为x＋1，请你写出一个符合条件的多项式：　x2－1（答案不唯一）　.
6.若＝8×10×12，则k＝（　B　）
A.12 B.10 C.8 D.6
7.若9x2＋2（m＋1）x＋4是完全平方式，则m的值为　－7或5　.
8.因式分解x2＋mx＋n时，甲看错了m的值，分解的结果是（x－6）（x＋2），乙看错了n的值，分解的结果为（x＋8）（x－4），那么x2＋mx＋n分解因式正确的结果为　（x＋6）·（x－2）　.
9.将边长为m的大正方形，长为m、宽为n的长方形以及边长为n的小正方形卡片拼成如图所示的长方形，请根据图形写出一个多项式的因式分解：　m2＋4mn＋3n2＝（m＋3n）·（m＋n）　.
10.因式分解：
（1）（x2＋4）2－16x2；
解：原式＝（x2＋4＋4x）（x2＋4－4x）
＝（x＋2）2（x－2）2.
（2）－4x3＋16x2－16x；
解：原式＝－4x（x2－4x＋4）
＝－4x（x－2）2.
（3）a2（x－y）＋4b2（y－x）.
解：原式＝a2（x－y）－4b2（x－y）
＝（x－y）（a2－4b2）
＝（x－y）（a＋2b）（a－2b）.
11.【整体思想】已知x＝y＋4，求代数式2x2－4xy＋2y2－25的值.
解：∵x＝y＋4，∴x－y＝4.
∴原式＝2（x2－2xy＋y2）－25
＝2（x－y）2－25
＝2×42－25
＝7.
　考点3　因式分解的应用
12.取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是：如对于多项式x4－y4，因式分解的结果是（x－y）（x＋y）（x2＋y2），当x＝9，y＝9时，各个因式的值是x－y＝0，x＋y＝18，x2＋y2＝162，于是就可以把“018162”作为六位数的密码，对于多项式4x3－xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码可以是（　A　）
A.101030 B.010103
C.100130 D.301001
13.小颖说：“对于任意自然数n，（n＋7）2－（n－5）2都能被24整除.”你同意他的说法吗？理由是什么？
解：同意小颖的说法，理由如下：
∵原式＝（n＋7＋n－5）（n＋7－n＋5）
＝（2n＋2）×12
＝24（n＋1）.
∴（n＋7）2－（n－5）2能被24整除.
14.已知△ABC的三边长a，b，c满足条件：a4－b4＋（b2c2－a2c2）＝0.试判断△ABC的形状.
解：a4－b4＋（b2c2－a2c2）
＝（a2－b2）（a2＋b2）－c2（a2－b2）
＝（a2－b2）（a2＋b2－c2）
＝（a－b）（a＋b）（a2＋b2－c2）＝0，
则a－b＝0或a2＋b2＝c2.
当a－b＝0时，△ABC为等腰三角形；
当a2＋b2＝c2时，△ABC为直角三角形.
综上所述，△ABC为等腰三角形或直角三角形.
@素养专练
15.对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式.
（1）图1中大正方形的面积用两种方法可分别表示为　（a＋b）2　，　a2＋2ab＋b2　；从而得到的因式分解的等式是：　a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2　；
（2）观察图2，可以发现代数式2a2＋5ab＋2b2可以因式分解为　（a＋2b）（b＋2a）　；
（3）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式.如图3是棱长为（a＋b）的正方体，被如图所示的分割线分成8块.
①用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个因式分解的等式，这个因式分解的等式是：　a3＋b3＋3a2b＋3ab2＝（a＋b）3　；
②已知a＋b＝5，ab＝2，利用上面的规律求a3＋b3的值；
③根据题（3）①得到的等式，请直接写出因式分解的结果：
a3－6a2b＋12ab2－8b3＝　（a－2b）3　.
解：（3）②由①知，a3＋b3＋3a2b＋3ab2＝（a＋b）3，
∴a3＋b3＝（a＋b）3－3a2b－3ab2.
∴a3＋b3＝（a＋b）3－3ab（a＋b）.
∵a＋b＝5，ab＝2，
∴a3＋b3＝53－3×2×5＝95.第四章　因式分解
本章知识总结
@考点巩固
　考点1　因式分解的概念
1.下列从左到右的变形是因式分解的是（　 　）
A.（x－1）（x－2）＝（1－x）（2－x）
B.x2＋xy－1＝x（x－y）－1
C.a（x－3）＋b（3－x）＝（x－3）（a－b）
D.（a－1）（a＋1）＝a2－1
2.若多项式x2＋mx＋n分解因式后的结果为（x＋2）（x＋3），则m－n的值为 .
　考点2　因式分解
3.多项式x2－4y2与x2＋4xy＋4y2的公因式是（　 　）
A.x－4y B.x＋4y
C.x－2y D.x＋2y
4.下列因式分解正确的是（　 　）
A.m2－mn＋m＝m（m－n）
B.－x2＋y2＝（－x＋y）（－x－y）
C.16x2－y2＝（4x－y）2
D.ab2－a＝a（b－1）（b＋1）
5.（浙江中考）一个多项式把它因式分解后有一个因式为x＋1，请你写出一个符合条件的多项式： .
6.若＝8×10×12，则k＝（　 　）
A.12 B.10 C.8 D.6
7.若9x2＋2（m＋1）x＋4是完全平方式，则m的值为 .
8.因式分解x2＋mx＋n时，甲看错了m的值，分解的结果是（x－6）（x＋2），乙看错了n的值，分解的结果为（x＋8）（x－4），那么x2＋mx＋n分解因式正确的结果为 .
9.将边长为m的大正方形，长为m、宽为n的长方形以及边长为n的小正方形卡片拼成如图所示的长方形，请根据图形写出一个多项式的因式分解： .
10.因式分解：
（1）（x2＋4）2－16x2；
（2）－4x3＋16x2－16x；
（3）a2（x－y）＋4b2（y－x）.
11.【整体思想】已知x＝y＋4，求代数式2x2－4xy＋2y2－25的值.
　考点3　因式分解的应用
12.取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是：如对于多项式x4－y4，因式分解的结果是（x－y）（x＋y）（x2＋y2），当x＝9，y＝9时，各个因式的值是x－y＝0，x＋y＝18，x2＋y2＝162，于是就可以把“018162”作为六位数的密码，对于多项式4x3－xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码可以是（　 　）
A.101030 B.010103
C.100130 D.301001
13.小颖说：“对于任意自然数n，（n＋7）2－（n－5）2都能被24整除.”你同意他的说法吗？理由是什么？
14.已知△ABC的三边长a，b，c满足条件：a4－b4＋（b2c2－a2c2）＝0.试判断△ABC的形状.
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15.对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式.
（1）图1中大正方形的面积用两种方法可分别表示为 ， ；从而得到的因式分解的等式是： ；
（2）观察图2，可以发现代数式2a2＋5ab＋2b2可以因式分解为 ；
（3）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式.如图3是棱长为（a＋b）的正方体，被如图所示的分割线分成8块.
①用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个因式分解的等式，这个因式分解的等式是： ；
②已知a＋b＝5，ab＝2，利用上面的规律求a3＋b3的值；
③根据题（3）①得到的等式，请直接写出因式分解的结果：
a3－6a2b＋12ab2－8b3＝ .

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