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第五章 分式与分式方程
一、选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确）
1.若分式有意义，则x的取值范围为（　C　）
A.x＞2 B.x＜2 C.x≠2 D.x＝2
2.在式子，，，，，2a中，分式有（　B　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.分式，与的最简公分母是（　B　）
A.6abc B.12abc C.24abc D.48abc
4.下列计算正确的是（　D　）
A.＝ B.－＝a－1
C.－÷（）2÷＝－ D.·（－）＝－
5.把分式中的x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（　D　）
A.不变 B.扩大为原来的2倍
C.扩大为原来的4倍 D.缩小为原来的一半
6.化简－的结果是（　C　）
A. B. C. D.
7.解分式方程＋＝，以下四步，其中错误的一步是（　D　）
A.分式方程中各分母的最简公分母是（x－1）（x＋1）
B.方程两边乘（x－1）（x＋1），得2（x－1）＋3（x＋1）＝6
C.解这个整式方程，解得x＝1
D.原分式方程的解为x＝1
8.关于x的分式方程＋3＝有增根，则m的值为（　A　）
A.2 B.3 C.4 D.5
9.为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施，如图，y1，y2分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用y（单位：元）与行驶路程s（单位：千米）的关系.已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为（　D　）
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
10.÷化简的结果为整式，其中M是含有x的一次二项式，则M不可能是（　A　）
A.x＋2 B.x－2 C.x＋3 D.x－3
11.在求3x的倒数的值时，嘉淇同学误将3x看成了8x，她求得的值比正确答案小5.下列说法正确的是（　D　）
A.依题意＝8x＋5 B.依题意＝8x－5
C.x的值为1 D.3x的倒数的值为8
12.已知关于x的一元一次不等式组的解集为x＞2，且关于y的分式方程＋＝1的解为正整数，则所有满足条件的整数a的积为（　A　）
A.8 B.24 C.14 D.28
二、填空题（每小题4分，共16分）
13.计算：－＝　x　.
14.王老师驾车出行，在加油站加了a升汽油，经估算可行驶m天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油　　升.（写出化简后的结果）
15.若关于x的分式方程＝2＋的解为负数，则m的取值范围是　m＜－4且m≠－5　.
16.数学家们在研究15，12，10这三个数的倒数时发现：－＝－.因此就将具有这样性质的三个数称之为调和数，如6，3，2也是一组调和数.现有一组调和数：x，5，3（x＞5），则x的值是　15　.
三、解答题（本大题共9个小题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）化简下列各式：
（1）（ab3）2·÷（）4；
解：原式＝a2b6··
＝a4b3.
（2）＋.
解：原式＝－
＝－
＝.
18.（10分）解下列方程：
（1）＝； 解：去分母，得30x＋30＝10x.
解得x＝－1.5.
经检验x＝－1.5是分式方程的解.
∴原分式方程的解为x＝－1.5.
（2）＝－3.
解：去分母，得1＝x－1－3x＋6.
解得x＝2.
经检验x＝2是分式方程的增根.
∴原分式方程无解.
19.（12分）先化简，再求值：
（1）（＋1）·，其中a＝2；
解：原式＝·
＝·
＝a（a－3）
＝a2－3a.
当a＝2时，原式＝22－3×2＝4－6＝－2.
（2）（a＋1＋）÷，其中a满足a2－4＝0.
解：原式＝（＋）·
＝·
＝.
∵a2－4＝0，a－2≠0，∴a＝－2.
∴原式＝＝.
20.（8分）某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个.求这两款书签的单价.
解：设乙款书签的单价是x元，则甲款书签的单价是x元，
根据题意，得－＝3，解得x＝16.
经检验，x＝16是所列方程的解，且符合题意.
∴x＝×16＝20.
答：甲款书签的单价是20元，乙款书签的单价是16元.
21.（10分）如果分式M与分式N的差为常数k，且k为正整数，则称M为N的“差整分式”，常数k称为“差整值”.如分式M＝，N＝，M－N＝＝2，故M为N的“差整分式”，“差整值”为2.
（1）以下各组分式中，A为B的“差整分式”的是　②　（填序号）；
①A＝，B＝；②A＝，B＝－；③A＝，B＝.
（2）已知分式C＝，D＝，C为D的“差整分式”，且“差整值”为2，求G所代表的代数式.
解：（2）∵C为D的“差整分式”，且“差整值”为2，∴C－D＝2，
即－＝2，
两边都乘（x＋2）（x－2），得（3x－4）（x＋2）－G＝2x2－8，
∴G＝（3x－4）（x＋2）－2x2＋8，即G＝x2＋2x.
22.（12分）阅读理解：
已知x＋＝3，求分式的值.
解：∵x＋＝3，∴＝x－4＋＝x＋－4＝3－4＝－1.
∴＝＝＝－1.
根据材料，解答下面问题：
（1）已知a＋＝3，则分式的值为　　，分式的值为　　；
（2）已知x＋＝，求分式的值.
解：（2）∵x＋＝，
∴＝＝＝x＋＋1＝＋1＝，
∴＝＝＝.
23.（12分）【提出问题】
已知m＞n＞0，a＞0，分式的分子、分母都加上a后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？
【观察发现】
观察下列式子：＜，＜，＜，＜，…对于真分数（分子比分母小的分数）.当分子、分母同时加上一个正数a时，所得分数的值变大，即＜.
【探究验证】
（1）对于＜，我们可以用“作差法”进行证明：
解：－＝＝.
∵a＞0，∴－a＜0.
∴＜0，即－＜0.
∴＜.
（2）由（1）我们可猜想：若q＞p＞0，c＞0，则与的大小关系是　＜　 （填“＞”或“＜”），请用“作差法”证明你的结论；
【拓展思考】
（3）若p＞q＞0，c＞0时，（2）中的不等式是否仍然成立？若不成立，请写出正确的式子.
解：（2）证明：－＝＝＝.
∵q＞p＞0，
∴p－q＜0.
∵c＞0，c（p－q）＜0.
∴＜0，即－＜0.
∴若q＞p＞0，c＞0，则与的大小关系是＜.
（3）若p＞q＞0，c＞0时，（2）中的不等式不成立.
∵p＞q＞0，c＞0，
∴p－q＞0，p＋c＞0.
∴＞0，即－＞0.
∴＞.
∴正确的式子为＞.
24.（12分）小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为.利用此净水装置，小明进行了进一步的探究：
现有杂质含量为1的水.
（1）用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为　　；
（2）小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤.三种方案的具体操作及相关数据如下表所示：
方案 编号 第一次过滤用净 水材料的单位量 水中杂 质含量 第二次过滤用净 水材料的单位量 第二次过滤后 水中杂质含量
A 6a / /
B 5a a
C 4a 2a
①请将表格中方案C的数据填写完整；
②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？
（3）当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为　3a　（用含a的代数式表示）.
解：（2）②－＝，
∵a＞0，∴5a2＞0，（1＋6a）（1＋5a）（1＋a）＞0，
∴＞.
同理，得＞.
∴＜＜.
∴方案C的最终过滤效果最好.
25.（12分）在某市的中考体育考试中，新增了三个可选的专项技能项目（足球、篮球、排球），其中篮球项目包括运球绕杆往返.为了有效提升学生的篮球专项技能，该校为学生们制定了以下训练计划：首先，要求每位学生完成活动一和活动二的训练，随后进行活动三.
活动一：篮球单手运球往返跑动.
活动二：篮球双手交替运球往返跑动.
活动规则如下：请参照图1，从起跑线l开始运球，抵达折返线m后返回起跑线.在此过程中，若篮球不慎掉落，参与者必须捡起篮球并返回至掉落点继续进行运球跑.
小红在活动一中的速度是在活动二中的速度的1.4倍，设小红在活动二中的速度为 x米/秒.　
（1）假设小红在两项活动中均未掉落球，那么小红在这两项活动中的用时相差多少秒？（用含x的式子表示）
（2）假设小红在活动一中球未掉落，但在进行活动二时，由于双手交替运球技巧不够熟练导致球掉落，不得不返回至掉落点，这额外花费了4秒.最终，完成两项活动的总时间为28秒.请计算小红在活动一中的速度.
活动三：篮球运球绕杆往返跑动.
活动规则如下：沿图2规定路线A→B→C→…→M运球绕杆往返跑.
（3）假设这条路线的总长度为36米，小红和小强依次完成活动三.小强表示：“我们两个一共用了42秒.”小红则说：“如果我用和你一样多的时间，我只能跑完20米.”请计算这两位同学各自用了多少秒来完成他们的跑步部分.
解：（1）－＝－＝－＝.
答：小红在两项活动中的用时相差秒.
（2）根据题意，得＋＋4＝28，解得x＝.
经检验，当x＝是原分式方程的解，且符合题意.
∴1.4x＝1.4×＝4.
答：小红在活动一中的速度为4米/秒.
（3）设小红跑了x秒，则小强跑了（42－x）秒，根据题意，得
＝，解得x＝27.
经检验，x＝27是原分式方程的解，且符合题意.
∴42－x＝42－17＝15.
答：小红同学用了27秒，小强同学用了15秒.第五章 分式与分式方程
一、选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确）
1.若分式有意义，则x的取值范围为（　 　）
A.x＞2 B.x＜2 C.x≠2 D.x＝2
2.在式子，，，，，2a中，分式有（　 　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.分式，与的最简公分母是（　 　）
A.6abc B.12abc C.24abc D.48abc
4.下列计算正确的是（　 　）
A.＝ B.－＝a－1
C.－÷（）2÷＝－ D.·（－）＝－
5.把分式中的x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（　 　）
A.不变 B.扩大为原来的2倍
C.扩大为原来的4倍 D.缩小为原来的一半
6.化简－的结果是（　 　）
A. B. C. D.
7.解分式方程＋＝，以下四步，其中错误的一步是（　 　）
A.分式方程中各分母的最简公分母是（x－1）（x＋1）
B.方程两边乘（x－1）（x＋1），得2（x－1）＋3（x＋1）＝6
C.解这个整式方程，解得x＝1
D.原分式方程的解为x＝1
8.关于x的分式方程＋3＝有增根，则m的值为（　 　）
A.2 B.3 C.4 D.5
9.为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施，如图，y1，y2分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用y（单位：元）与行驶路程s（单位：千米）的关系.已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为（　 　）
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
10.÷化简的结果为整式，其中M是含有x的一次二项式，则M不可能是（　 　）
A.x＋2 B.x－2 C.x＋3 D.x－3
11.在求3x的倒数的值时，嘉淇同学误将3x看成了8x，她求得的值比正确答案小5.下列说法正确的是（　 　）
A.依题意＝8x＋5 B.依题意＝8x－5
C.x的值为1 D.3x的倒数的值为8
12.已知关于x的一元一次不等式组的解集为x＞2，且关于y的分式方程＋＝1的解为正整数，则所有满足条件的整数a的积为（　 　）
A.8 B.24 C.14 D.28
二、填空题（每小题4分，共16分）
13.计算：－＝ .
14.王老师驾车出行，在加油站加了a升汽油，经估算可行驶m天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油 升.（写出化简后的结果）
15.若关于x的分式方程＝2＋的解为负数，则m的取值范围是 .
16.数学家们在研究15，12，10这三个数的倒数时发现：－＝－.因此就将具有这样性质的三个数称之为调和数，如6，3，2也是一组调和数.现有一组调和数：x，5，3（x＞5），则x的值是 .
三、解答题（本大题共9个小题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）化简下列各式：
（1）（ab3）2·÷（）4；
（2）＋.
18.（10分）解下列方程：
（1）＝；
（2）＝－3.
19.（12分）先化简，再求值：
（1）（＋1）·，其中a＝2；
（2）（a＋1＋）÷，其中a满足a2－4＝0.
20.（8分）某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个.求这两款书签的单价.
21.（10分）如果分式M与分式N的差为常数k，且k为正整数，则称M为N的“差整分式”，常数k称为“差整值”.如分式M＝，N＝，M－N＝＝2，故M为N的“差整分式”，“差整值”为2.
（1）以下各组分式中，A为B的“差整分式”的是 （填序号）；
①A＝，B＝；②A＝，B＝－；③A＝，B＝.
（2）已知分式C＝，D＝，C为D的“差整分式”，且“差整值”为2，求G所代表的代数式.
22.（12分）阅读理解：
已知x＋＝3，求分式的值.
解：∵x＋＝3，∴＝x－4＋＝x＋－4＝3－4＝－1.
∴＝＝＝－1.
根据材料，解答下面问题：
（1）已知a＋＝3，则分式的值为 ，分式的值为 ；
（2）已知x＋＝，求分式的值.
23.（12分）【提出问题】
已知m＞n＞0，a＞0，分式的分子、分母都加上a后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？
【观察发现】
观察下列式子：＜，＜，＜，＜，…对于真分数（分子比分母小的分数）.当分子、分母同时加上一个正数a时，所得分数的值变大，即＜.
【探究验证】
（1）对于＜，我们可以用“作差法”进行证明：
解：－＝＝.
∵a＞0，∴－a＜0.
∴＜0，即－＜0.
∴＜.
（2）由（1）我们可猜想：若q＞p＞0，c＞0，则与的大小关系是 （填“＞”或“＜”），请用“作差法”证明你的结论；
【拓展思考】
（3）若p＞q＞0，c＞0时，（2）中的不等式是否仍然成立？若不成立，请写出正确的式子.
24.（12分）小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为.利用此净水装置，小明进行了进一步的探究：
现有杂质含量为1的水.
（1）用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为 ；
（2）小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤.三种方案的具体操作及相关数据如下表所示：
方案 编号 第一次过滤用净 水材料的单位量 水中杂 质含量 第二次过滤用净 水材料的单位量 第二次过滤后 水中杂质含量
A 6a / /
B 5a a
C 4a 2a
①请将表格中方案C的数据填写完整；
②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？
（3）当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为 （用含a的代数式表示）.
25.（12分）在某市的中考体育考试中，新增了三个可选的专项技能项目（足球、篮球、排球），其中篮球项目包括运球绕杆往返.为了有效提升学生的篮球专项技能，该校为学生们制定了以下训练计划：首先，要求每位学生完成活动一和活动二的训练，随后进行活动三.
活动一：篮球单手运球往返跑动.
活动二：篮球双手交替运球往返跑动.
活动规则如下：请参照图1，从起跑线l开始运球，抵达折返线m后返回起跑线.在此过程中，若篮球不慎掉落，参与者必须捡起篮球并返回至掉落点继续进行运球跑.
小红在活动一中的速度是在活动二中的速度的1.4倍，设小红在活动二中的速度为 x米/秒.　
（1）假设小红在两项活动中均未掉落球，那么小红在这两项活动中的用时相差多少秒？（用含x的式子表示）
（2）假设小红在活动一中球未掉落，但在进行活动二时，由于双手交替运球技巧不够熟练导致球掉落，不得不返回至掉落点，这额外花费了4秒.最终，完成两项活动的总时间为28秒.请计算小红在活动一中的速度.
活动三：篮球运球绕杆往返跑动.
活动规则如下：沿图2规定路线A→B→C→…→M运球绕杆往返跑.
（3）假设这条路线的总长度为36米，小红和小强依次完成活动三.小强表示：“我们两个一共用了42秒.”小红则说：“如果我用和你一样多的时间，我只能跑完20米.”请计算这两位同学各自用了多少秒来完成他们的跑步部分.

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