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8.2 立方根
一、选择题
1．有下列说法：①正数都有一个正的平方根；②负数都有一个负的平方根；③正数都有一个正的立方根；④负数都有一个负的立方根．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．有下列命题：
①立方根是它本身的数只有3个；②的立方根是与－；
③－81无立方根；④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数.
其中正确的是(　　)
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
3．下列计算错误的是( )
A．＝－3 B．＝－2 C．－＝ D．＝－4
4．如果一个数的平方根和立方根相同，那么这个数是( )
A．±1 B．0 C．1 D．0或1
5．若≈－0.598 1，≈0.598 1，则x的值约是(　　)
A．0.598 1 B．±0.598 1 C．0.214 D．±0.214
6．若a2＝(－5)2，b3＝(－5)3，则a＋b的值为( )
A．0 B．±10 C．0或10 D．0或－10
7．如图①为一种球形容器，它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图②为其示意图．
现要生产两种容积分别为 m3和 m3的球形容器，则这两种容器的半径差(容器的厚度可忽略)为(　　)
A． m B． m C． m D． m
8．若a，b均为正整数，且a＞，b＞，则a＋b的最小值为(　　)
A．6　　　　B．7　　　　C．8　　　　D．9
9．若＋＝0，则x的值是(　　)
A．－3　 B．－1　 C．　 D．以上都不对
10．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．若每个小立方块的体积为216 cm3，则该几何体的最大高度是(　　)
A．6 cm　　　B．12 cm C．18 cm　　　D．24 cm
11．如图，数轴上A，B，C三点所表示的数分别是－2，a，b，已知AB＝8，a＋b＝8，且b是关于x的方程mx－4x＋16＝0的解，则m的值为(　　)
A．－4 B．4 C．6 D．12
二、填空题
12．已知43＝64，这时我们说4是64的__________；已知(－)3＝－，这时，我们说－是－的___________；若x3＝a，则x叫作a的___________．一个数a的立方根，用符号表示为________．
13．如果一个正数a的两个平方根是2x－2和6－3x，则17＋3a的立方根为 ____．
14．解方程：(x＋3)3＋27＝0，则x＝__________．
15．若x，y满足(x＋3)2＋＝0，则xy的立方根是 ________.
16．若＝－5，＝9，则a＋b＝__________．
17．M是个位数字不为零的两位数，将M的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数N，若M－N恰是某正整数的立方，则这样的数共有________个.
18．(1)已知3a－2的平方根是±5，4a－2b－8的算术平方根是4，则的立方根为________；
(2)已知A＝是n－n＋3的算术平方根，B＝是7m－n的立方根，则B＋A的平方根为________.
19．一般地，如果xn＝a(n为正整数，且n>1)，那么x叫作a的n次方根．例如：因为24＝16，(－2)4＝16，所以16的四次方根是±2.则下列结论：
①3是81的四次方根；
②任何数都有唯一的奇次方根；
③当＋＝4 052 时，整数a的所有可能的二次方根有4 054个.其中正确的有________.
三、解答题
20．求下列各式的值：
(1)－()3；　
(2).
21．求下列各式中x的值：
(1)8x3＋125＝0；　　　
(2)3(x－1)3＋81＝0.
22．已知实数a＋9的一个平方根是－5，2b－a的立方根是－2，求2a＋b的算术平方根.
23．在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中(杯的形状为圆柱体)，并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为216 cm3，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了0.5 cm.
(1)铁块的棱长为多少厘米？
(2)杯内部的底面直径为多少厘米(π取3)？
24．(1)若＝1－a2，求a的值；
(2)若与互为相反数，求1－的值．
25．跟华罗庚学猜数：
据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59 319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39.邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙.
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的步骤试一试.
①∵＝10，＝100，
且1 000＜59 319＜1 000 000，
∴10＜＜100.
∴能确定59 319的立方根是个两位数.
②∵59 319的个位数字是9，93＝729，
∴能确定59 319的立方根的个位数字是9.
③如果划去59 319后面的三位数319得到数59.∵＜＜，∴3＜＜4.∴30＜＜40.∴能确定59 319的立方根的十位数字是3.∴59 319的立方根是39.
(1)现在换一个数46 656，按这种方法求立方根，请完成下列填空：
①它的立方根是个________位数；
②它的立方根的个位数字是________；
③46 656的立方根是________.
(2)求195 112的立方根．(过程可按题目中的步骤写)
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参考答案
一、选择题
1．有下列说法：①正数都有一个正的平方根；②负数都有一个负的平方根；③正数都有一个正的立方根；④负数都有一个负的立方根．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
2．有下列命题：
①立方根是它本身的数只有3个；②的立方根是与－；
③－81无立方根；④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数.
其中正确的是(　　)
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【答案】C
3．下列计算错误的是( )
A．＝－3 B．＝－2 C．－＝ D．＝－4
【答案】B
4．如果一个数的平方根和立方根相同，那么这个数是( )
A．±1 B．0 C．1 D．0或1
【答案】B
5．若≈－0.598 1，≈0.598 1，则x的值约是(　　)
A．0.598 1 B．±0.598 1 C．0.214 D．±0.214
【答案】C
6．若a2＝(－5)2，b3＝(－5)3，则a＋b的值为( )
A．0 B．±10 C．0或10 D．0或－10
【答案】D
7．如图①为一种球形容器，它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图②为其示意图．
现要生产两种容积分别为 m3和 m3的球形容器，则这两种容器的半径差(容器的厚度可忽略)为(　　)
A． m B． m C． m D． m
【答案】A
8．若a，b均为正整数，且a＞，b＞，则a＋b的最小值为(　　)
A．6　　　　B．7　　　　C．8　　　　D．9
【答案】B
9．若＋＝0，则x的值是(　　)
A．－3　 B．－1　 C．　 D．以上都不对
【答案】B
10．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．若每个小立方块的体积为216 cm3，则该几何体的最大高度是(　　)
A．6 cm　　　B．12 cm C．18 cm　　　D．24 cm
【答案】D
11．如图，数轴上A，B，C三点所表示的数分别是－2，a，b，已知AB＝8，a＋b＝8，且b是关于x的方程mx－4x＋16＝0的解，则m的值为(　　)
A．－4 B．4 C．6 D．12
【答案】A
【解析】∵数轴上A，B，C三点所表示的数分别是－2，a，b，AB＝8，∴a＋2＝8，解得a＝6.∵a＋b＝8，∴b＝2.∵b是关于x的方程mx－4x＋16＝0的解，∴2m－8＋16＝0，解得m＝－4.
二、填空题
12．已知43＝64，这时我们说4是64的__________；已知(－)3＝－，这时，我们说－是－的___________；若x3＝a，则x叫作a的___________．一个数a的立方根，用符号表示为________．
【答案】立方根 立方根 立方根
13．如果一个正数a的两个平方根是2x－2和6－3x，则17＋3a的立方根为 ____．
【答案】5
14．解方程：(x＋3)3＋27＝0，则x＝__________．
【答案】－6
15．若x，y满足(x＋3)2＋＝0，则xy的立方根是 ________.
【答案】－3
16．若＝－5，＝9，则a＋b＝__________．
【答案】－14或4
17．M是个位数字不为零的两位数，将M的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数N，若M－N恰是某正整数的立方，则这样的数共有________个.
【答案】6
【解析】设两位数M＝10a＋b，则N＝10b＋a.∵a，b是正整数，且1≤a≤9，1≤b≤9，M－N恰是某正整数的立方，∴设M－N＝(10a＋b)－(10b＋a)＝9(a－b)＝c3.∵c是正整数，且易知0＜c3≤72，∴0＜c≤4.又∵c3是9的倍数，∴c＝3，即a－b＝3，∴满足条件的M有41，52，63，74，85，96，共6个．故答案为6.
18．(1)已知3a－2的平方根是±5，4a－2b－8的算术平方根是4，则的立方根为________；
【答案】
【解析】∵3a－2的平方根是±5，4a－2b－8的算术平方根是4，∴3a－2＝25，4a－2b－8＝16，解得a＝9，b＝6，则＝＝＝3，∴的立方根为.
(2)已知A＝是n－n＋3的算术平方根，B＝是7m－n的立方根，则B＋A的平方根为________.
【答案】±2
【解析】由算术平方根和立方根的概念可得m－2＝2，m－n＋1＝3，∴m＝4，n＝2，∴A＝1，B＝3，∴B＋A＝4，∴B＋A的平方根为±2.
19．一般地，如果xn＝a(n为正整数，且n>1)，那么x叫作a的n次方根．例如：因为24＝16，(－2)4＝16，所以16的四次方根是±2.则下列结论：
①3是81的四次方根；
②任何数都有唯一的奇次方根；
③当＋＝4 052 时，整数a的所有可能的二次方根有4 054个.其中正确的有________.
【答案】①②
【解析】①因为34＝81，所以3是81的四次方根，故①正确；②任何实数都有唯一的奇次方根，②正确；③易知|2 025＋a|＋|a－2 027|＝4 052，∴数轴上数a到数－2 025和数2 027的距离和为4 052.又∵2 027－(－2 025)＝4 052，∴整数a＝－2 025，－2 024，…，－1，0，1，…，2 027，则整数a的所有可能的二次方根有0，1，－1，，－，…，，－，共4 055个，故③不正确，故正确的是①②.
三、解答题
20．求下列各式的值：
(1)－()3；　
解：－()3＝－3＋5＝2.
(2).
解：＝＝－.
21．求下列各式中x的值：
(1)8x3＋125＝0；　　　
解：∵8x3＋125＝0，
∴8x3＝－125.
∴x3＝－.
∴x＝－.
(2)3(x－1)3＋81＝0.
解：∵3(x－1)3＋81＝0，
∴(x－1)3＝－27.
∴x－1＝－3.
∴x＝－2.
22．已知实数a＋9的一个平方根是－5，2b－a的立方根是－2，求2a＋b的算术平方根.
解：由题意得a＋9＝25，2b－a＝－8，
∴a＝16，b＝4，∴2a＋b＝36，
∴2a＋b的算术平方根为6.
23．在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中(杯的形状为圆柱体)，并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为216 cm3，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了0.5 cm.
(1)铁块的棱长为多少厘米？
解：设铁块的棱长为x cm，
则x3＝216，解得x＝6，
∴铁块的棱长为6 cm.
(2)杯内部的底面直径为多少厘米(π取3)？
解：设杯内部的底面直径为d cm，
则3×0.5≈216，解得d≈24(负值已舍去)．
∴杯内部的底面直径约为24 cm.
24．(1)若＝1－a2，求a的值；
(2)若与互为相反数，求1－的值．
解：(1)∵＝1－a2，
∴1－a2＝0或1－a2＝1或1－a2＝－1.
∴a＝±1，0或±.
(2)∵与互为相反数，
∴1－2x＋3x－5＝0.∴x＝4.
∴1－＝1－＝－1.
25．跟华罗庚学猜数：
据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59 319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39.邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙.
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的步骤试一试.
①∵＝10，＝100，
且1 000＜59 319＜1 000 000，
∴10＜＜100.
∴能确定59 319的立方根是个两位数.
②∵59 319的个位数字是9，93＝729，
∴能确定59 319的立方根的个位数字是9.
③如果划去59 319后面的三位数319得到数59.∵＜＜，∴3＜＜4.∴30＜＜40.∴能确定59 319的立方根的十位数字是3.∴59 319的立方根是39.
(1)现在换一个数46 656，按这种方法求立方根，请完成下列填空：
①它的立方根是个________位数；
②它的立方根的个位数字是________；
③46 656的立方根是________.
【答案】两 6 36
(2)求195 112的立方根．(过程可按题目中的步骤写)
解：①∵＝10，＝100，
且1 000＜195 112＜1 000 000，
∴能确定195 112的立方根是个两位数．
②∵195 112的个位数字是2，83＝512，
∴能确定195 112的立方根的个位数字是8.
③如果划去195 112后面的三位数112得到数195.
∵＜＜，∴5<<6.∴50<<60.∴能确定195 112的立方根的十位数字是5.
∴195 112的立方根是58.
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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