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数学　第二十一章　四边形
(时间:120分钟　分值:120分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
1.将多边形的边数由n条增加到(n+x)条后,内角和增加了540°,则x的值为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E为边BC的中点,连接OE.若AC=6,BD=8,则OE的长为 (　　)
A.2 B. C.3 D.4
3.如图,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,然后向左扭动框架,观察所得四边形的变化,下面判断错误的是 (　　)
A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B.对角线BD的长度减小
C.四边形ABCD的面积不变
D.四边形ABCD的周长不变
4.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OC,OB=OD,下列说法错误的是 (　　)
A.若AC⊥BD,则四边形ABCD是菱形
B.若AC=BD,则四边形ABCD是矩形
C.若AC⊥BD且AC=BD,则四边形ABCD是正方形
D.若∠ABC=90°,则四边形ABCD是正方形
5.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,有一点P从点B沿着BD往点D移动,若过点P作AB的垂线交AB于点E,过点P作AD的垂线交AD于点F,则EF的长度最小为(　　)
A. B. C.5 D.7
6.如图1,在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形.甲、乙两人的作法如下:
甲:如图2,连接AC,作AC的垂直平分线MN分别交AD,AC,BC于点M,O,N,连接AN,CM,则四边形ANCM是菱形.
乙:如图3,分别作∠DAB,∠ABC的平分线AE,BF,分别交BC,AD于点E,F,连接EF,则四边形ABEF是菱形.
根据两人的作法可判断 (　　)
　　　　　　　 　　　　　　　图1　　　　　　　　　图2　　　　　　　　图3
A.甲正确,乙错误 B.乙正确,甲错误
C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
7.如图,在四边形ABCD中,∠A=100°,∠B与∠D互补,则∠C的度数为　　　　.
8.如图,在 ABCD中,已知AD⊥DB,AC=10,AD=4,则BD的长是　　　　.
9.如图,P是正方形ABCD的对角线AC上的一点,PE⊥AD于点E,PE=3,则点P到直线AB的距离为　　　　.
10.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,在边AD上取一点E,使BE=BC,过点C作CF⊥BE,垂足为F,则BF的长为　　　　.
11.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,P为BC边上一动点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,连接EF,M为EF的中点,则AM的最小值为　　　　.
12.已知平面直角坐标系中有四个点A(1,1),B(3,1),C(2,3),D,若以它们为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标为　　　　　.
三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)
13.(1)如图,四边形ABCD是菱形,过点A作AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.求证:BE=DF.
(2)如图,在四边形ABCD中,∠BAC=90°,E是BC的中点,AD∥BC,AE∥DC.请判断四边形AECD的形状,并说明理由.
14.如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在AD,BC边上,且∠ABE=∠CDF.求证:四边形BFDE是平行四边形.
15.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,E是AD的中点,连接OE.若OE=3,AD=8,求对角线AC的长.
16.如图,已知正方形ABCD和等边三角形CDE.请按要求完成下列画图,要求:①仅用无刻度直尺,②保留必要的画图痕迹.
(1)在图1中画出对称轴.
(2)在图2中作出△ADE中的AE边上的高.
17.如图,在 ABCD中,∠D=100°,∠DAB的平分线AE交DC于点E,连接BE,若AE=AB,求∠EBC的度数.
四、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
18.已知一个多边形的内角和是外角和的3倍.
(1)求这个多边形的边数.
(2)若这个多边形是正多边形,求该正多边形一个内角的度数.
(3)直接写出这个多边形对角线的总条数.
19.如图,在△ABC中,AB=AC,AE是∠BAC的平分线,O为AB的中点,延长EO交△ABC的外角平分线于点F.
(1)求证:EO=OF.
(2)连接BF,试判断四边形AEBF的形状,并证明你的结论.
20.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,O是AC的中点,延长BO至点D,使OD=OB.连接AD,CD.记AB=a,BC=b,△AOB的周长为C1,△BOC的周长为C2,四边形ABCD的周长为C3.
(1)求证:四边形ABCD是矩形.
(2)若C2-C1=2,C3=28,求AC的长.
五、解答题(本大题共2小题,每小题9分,共18分)
21.如图,E,F是 ABCD的对角线AC上的两点,且AE=CF,连接BE,BF,DE,DF.
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形.
(2)若AB⊥BF,AB=4,BF=3,AC=8.
①线段EF的长为　　　　.
②求四边形BEDF的面积.
22.如图,四边形ABCD为菱形,E为对角线AC上的一个动点,连接DE并延长交射线AB于点F,连接BE.
(1)如图1,求证:∠AFD=∠EBC.
(2)如图2,若DE=EC,且BE⊥AF,求∠DAB的度数.
(3)若∠DAB=90°且当△BEF为等腰三角形时,求∠EFB的度数.(只写出条件与对应的结果)
六、解答题(本大题共12分)
23.如图1,在正方形ABCD的外侧,作两个等边三角形ADE和DCF,连接AF,BE.
(1)请判断:AF与BE的数量关系是　　　　,位置关系是　　　　.
(2)如图2,若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF,且EA=ED=FD=FC”,第(1)问中的结论是否仍然成立 请作出判断并给予证明.
(3)若三角形ADE和DCF为一般三角形,且AE=DF,ED=FC,第(1)问中的结论都能成立吗 请直接作出判断,不必说明理由.
参考答案
1.C　2.B　3.C　4.D　5.B　6.C
7.80°　8.6　9.3　10.2　11.
12.(4,3)或(0,3)或(2,-1)　提示:如图,分三种情况:
①当BC为对角线时,点D的坐标为(4,3);
②当AC为对角线时,点D的坐标为(0,3);
③当AB为对角线时,点D的坐标为(2,-1).
综上所述,点D的坐标为(4,3)或(0,3)或(2,-1).
13.(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∠B=∠D.
∵AE⊥BC,AF⊥CD,
∴∠AEB=∠AFD=90°. 1分
在△ABE和△ADF中,
∴△ABE≌△ADF(AAS), 2分
∴BE=DF. 3分
(2)解:四边形AECD是菱形. 1分
理由:∵AD∥BC,AE∥DC,
∴四边形AECD是平行四边形.
∵∠BAC=90°,E是BC的中点,
∴AE=BC=EC,
∴平行四边形AECD是菱形. 3分
14.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,AB=CD. 1分
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(ASA), 3分
∴AE=CF,BE=DF. 4分
∵AD=CB,
∴AD-AE=BC-CF,
即DE=BF,
∴四边形BFDE是平行四边形. 6分
15.解:∵四边形ABCD为矩形,∴OB=OD.
∵E是AD的中点,∴AE=DE,
∴OE=AB. 2分
∵OE=3,∴AB=6. 4分
∵AD=8,∠DAB=90°,∴BD=10.
∵矩形ABCD,∴AC=BD=10. 6分
16.解:(1)如图1,直线OE就是所求的对称轴. 3分
(2)如图2,线段DF就是所求的高(提示:连接以AE为底边的两个等腰三角形的顶点,交AE于点F). 6分
17.解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,∠ABC=∠D, 1分
∴∠DAB+∠D=180°. 2分
∵∠D=100°,
∴∠DAB=80°,∠ABC=100°. 3分
又∵∠DAB的平分线交DC于点E,
∴∠EAD=∠EAB=40°.
∵AE=AB,
∴∠ABE=×(180°-40°)=70°, 5分
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=100°-70°=30°. 6分
18.解:(1)设这个多边形为n边形.
由题意得(n-2)×180°=360°×3,解得n=8,
∴这个多边形是八边形. 3分
(2)正八边形的每一个内角为=135°. 6分
(3)八边形对角线的总条数为=20. 8分
19.解:(1)证明:∵AB=AC,AE是∠BAC的平分线,
∴CE=BE,∠AEB=90°.
∵O是AB的中点,
∴EO是△ABC的中位线,EO=AO=BO,∴∠EBO=∠BEO.
又∵∠EBO=∠BCA,∴∠BEO=∠BCA,
∴EO∥AC,
∴∠EFA=∠FAD.
∵AF平分∠BAD,
∴∠FAD=∠FAB,
∴∠FAB=∠EFA,
∴OF=AO,
∴EO=OF. 5分
(2)四边形AEBF是矩形. 6分
证明:∵AO=BO,EO=FO,
∴四边形AEBF是平行四边形.
又∵∠AEB=90°,
∴四边形AEBF是矩形. 8分
20.解:(1)证明:∵O是AC的中点,
∴OA=OC.
∵OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形. 2分
∵∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形. 4分
(2)∵记AB=a,BC=b,△AOB的周长为C1,△BOC的周长为C2,四边形ABCD的周长为C3,
∴C2-C1=BC-AB=b-a=2,C3=2(AB+BC)=2(a+b)=28,
∴
∴
∴AB=6,BC=8, 7分
∴AC==10. 8分
图1
21.解:(1)证明:如图1,连接BD,交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵AE=CF,
∴OE=OF.
又∵OB=OD,
∴四边形BEDF是平行四边形. 3分
(2)①2. 5分
提示:在Rt△ABF中,AF===5.
∵AC=8,
∴CF=AC-AF=8-5=3.
∵AE=CF=3,
∴EF=AF-AE=2.
图2
②如图2,过点B作BH⊥AF于点H.
∵AB⊥BF,AB=4,BF=3,∴AF=5,
∴S△ABF=AB·BF=AF·BH,
∴3×4=5BH,解得BH=.
∵四边形BEDF是平行四边形,
∴BE=DF,BF=DE.
在△BEF和△DFE中,
∴△BEF≌△DFE(SSS),
∴S△BEF=S△DFE,
∴S四边形BEDF=2S△BEF=2××2×=. 9分
22.解:(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴CD=CB,∠ACD=∠ACB.
在△DCE和△BCE中,
∴△DCE≌△BCE,∴∠CDE=∠CBE. 2分
∵CD∥AB,∴∠CDE=∠AFD,
∴∠EBC=∠AFD. 3分
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=AB,∠DAC=∠BAC.
又∵AC=AC,∴△DAE≌△BAE,
∴∠ADE=∠ABE.
∵BE⊥AF,∴∠ADE=∠ABE=90°.
∵ED=EC,∴∠EDC=∠ECD.
∵AD=CD,∴∠DAC=∠DCA,
∴∠DAC=∠ACD=∠CDE. 5分
设∠DAC=x,
在△ADC中,x+x+90°+x=180°,
解得x=30°,∴∠DAB=2x=60°,
即∠DAB的度数为60°. 6分
(3)分下列两种情况:
①如图1,当点F在AB延长线上时,
∵∠EBF为钝角,
∴只能是BE=BF.
设∠BEF=∠BFE=x°,
由(1)可知∠EBC=∠AFD=x°,
∴∠EBF=(90+x)°.
在△EBF中,有90+x+x+x=180,
解得x=30,∴∠EFB=30°.
②如图2,当点F在线段AB上时,
∵∠EFB为钝角,
∴只能是FE=FB.
设∠BEF=∠EBF=x°,则有∠AFD=2x°.
∵∠EBC=∠AFD,
∠EBC+∠EBF=90°,
∠AFD+∠ADF=90°,
∴∠ADF=∠EBF=x°.
在Rt△ADF中,有x+2x=90,
解得x=30,∴∠EFB=180°-2x°=120°.
综上所述,当F在AB的延长线上时,∠EFB=30°,当F在线段AB上时,∠EFB=120°. 9分
23.解:(1)AF=BE;AF⊥BE. 4分
(2)结论仍然成立. 5分
证明:设AF,BE相交于点M.
∵EA=ED=FD=FC,AD=CD,
∴△ADE≌△DCF(SSS), 6分
∴∠DAE=∠CDF.
∵∠BAD=∠CDA=90°,∴∠BAE=∠ADF.
又∵AB=DA,AE=DF,
∴△ABE≌△DAF(SAS),
∴BE=AF,∠ABM=∠DAF. 8分
又∵∠BAD=∠DAF+∠BAM=90°,
∴∠ABM+∠BAM=90°,
∴∠AMB=180°-(∠ABM+∠BAM)=90°,∴BE⊥AF. 9分
(3)第(1)问中的结论都能成立. 12分

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