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数学　第二十章　勾股定理
(时间:120分钟　分值:120分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
1.下列几组数中,不是勾股数的是 (　　)
A.3,4,5 B.6,8,10 C.5,12,13 D.,,
2.△ABC的三条边分别为a,b,c,下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是 (　　)
A.b2=(a+c)(a-c) B.∠A=∠B+∠C
C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 D.a=6,b=8,c=10
3.“折竹抵地”问题:“今有竹高二十五尺,末折抵地,去本五尺,问折者高几何 ”大意:现有竹子高25尺,折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺,问折处高几尺 如图,AB+AC=25尺,BC=5尺,则AC的长为 (　　)
A.5尺 B.10尺 C.12尺 D.13尺
4.将一副直角三角板和一把宽度为2 cm的直尺按如图所示的方式摆放:先把60°和45°角的顶点及它们的一条直角边重合,再将此直角边垂直于直尺的上沿,重合的顶点落在直尺下沿上,这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A,B两点,则AB的长是 (　　)
A.(2-)cm B.(2-2)cm C.2 cm D.2 cm
5.如图,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,直线MN分别与边BC,AC相交于点D,E,连接AD.若BD=DC,AE=4,AD=5,则AB的长为 (　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
6.如图,“羊头”形图案全部由正方形与等腰直角三角形构成,其作法是从正方形①开始,以它的一条边为斜边,向外作等腰直角三角形,然后再以其直角边为边,分别向外作正方形②和②',再分别以正方形②和②'的一条边为斜边,向外作等腰直角三角形……若正方形⑤的面积为2 cm2,则正方形①的面积为 (　　)
A.8 cm2 B.16 cm2 C.32 cm2 D.64 cm2
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
7.在Rt△ABC中,斜边BC=1,则AB2+AC2+BC2=　　　　.
8.如图,学校有一块长方形花圃,有极少数同学为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,他们仅仅少走了　　　　m,却踩伤了花草.
9.如图,厂房屋顶的人字架是等腰三角形,AB=AC,AD⊥BC,若跨度BC=16 m,上弦长AB=10 m,则中柱AD的长为　　　　m.
10.如图,在边长为1的正方形组成的方格中,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的度数为　　　　.
11.勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系,并标示了A,B,C三地的坐标,数据(单位: km)如图所示.笔直铁路经过A,B两地.计划修一条从C到铁路AB的最短公路l,并在l上建一个维修站D,使D到A,C的距离相等,则C,D间的距离为　　　　km.
12.在△ABC中,AB=10,AC=2,BC边上的高AD=6,则另一边BC等于　　　　　　　.
三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)
13.(1)已知△ABC的两边长a,b满足|a+b-17|+=0,另一边长c=13,试判断这个三角形的形状.
(2)如图,为修铁路需要通隧道AC,测得∠A+∠B=90°,AB=5 km,BC=4 km.若每天凿0.2 km,则需要几天才能把隧道AC凿通
14.如图,在△ABC中,D是BC边的中点,BC=12,AD=8,AB=10.求证:AB=AC.
15.如图,一块四边形木板,其中AB=16 cm,BC=24 cm,CD=9 cm,AD=25 cm,∠B=∠C=90°.李师傅找到边BC的中点P,连接AP,DP,发现△APD是直角三角形,请通过计算说明理由.
16.某工厂计划生产一批自行车,图1为自行车的实物图,图2为其车架部分示意图,经测量,上管AB=64 cm,下管AD=80 cm,∠BDC=90°,后下叉CD=55 cm,后上叉BC=73 cm.根据设计要求需保证AB∥CD,请判断该车架是否符合设计要求,并说明理由.
17.如图,正方形网格中每个小正方形边长都是1,小正方形的顶点称为格点,按下列要求作图.
(1)在图1中画出长为的线段AB.
(2)在图2中画出一个腰长为,面积为3的等腰△DEF.
四、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
18.如图,某学校为开展劳动教育在校园农场中开垦了一块四边形菜地ABCD,测得∠ABC=90°,AB=9 m,BC=12 m,CD=8 m,AD=17 m,求这块菜地的面积.
19.如图,一只小鸟旋停在空中A点处,A点到地面的高度AB=20米,A点到地面C点的距离AC=25米.
(1)求BC的长.
(2)若小鸟竖直下降到达D点,此时小鸟到地面C点的距离与下降的高度相同,求小鸟下降的高度AD.
20.如图,已知 A,B两点的坐标分别是(0,2),(4,3),在x轴上找一点P,使线段PA+PB的值最小.
(1)在x轴上画出点P的位置.
(2)求出线段PA+PB的最小值.
五、解答题(本大题共2小题,每小题9分,共18分)
21.如图,在△ABC中,AC=5,D为BC边上一点,且CD=1,AD=,BD=4,E是AB边上的动点,连接DE.
(1)求AB的长.
(2)当△BDE是直角三角形时,求AE的长.
22.如图,某港口O位于东西方向的海岸线上,“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.
(1)如图1,若它们离开港口一个半小时后分别位于点A,B处,且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,那么能知道“海天”号沿哪个方向航行吗 说明理由.
(2)如图2,若“远航”号沿北偏东60°方向航行,经过两个小时后位于点F处,此时船上有一名乘客需要紧急回到PE海岸线上,若他从点F处出发,乘坐的快艇的速度是每小时40海里.他能在半小时内回到海岸线吗 说明理由.
六、解答题(本大题共12分)
23.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小明灵感,当两个全等的直角三角形如图1所示摆放时,∠DAB=90°,过点D作BC边上的高DF.四边形ABCD的面积可以等于△ACD,△ABC的面积之和,也可以等于△ADB,△BCD的面积之和.
(1)试利用图1中四边形ABCD的面积,求证:a2+b2=c2.
(2)将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中∠DAB=90°.试参照(1)的方法,求证:a2+b2=c2.
参考答案
1.D　2.C　3.C　4.B　5.A　6.C　
7.2　8.2　9.6　10.45°　11.13　12.6或10
13.(1)解:由题意知解得 1分
∵b2+a2=52+122=169=c2,∴b2+a2=c2, 2分
∴△ABC是直角三角形. 3分
(2)解:∵∠A+∠B=90°,
∴∠ACB=90°. 1分
又∵在Rt△ABC中,AC2=AB2-BC2=9,
∴AC=3 km, 2分
需要的时间为=15天. 3分
14.证明:∵D是BC边的中点,BC=12,∴BD=6. 1分
∵AD=8,AB=10,
∴在△ABD中,BD2+AD2=62+82=102=AB2,
∴△ABD是直角三角形,∠ADB=90°,
∴AD⊥BC. 4分
∵D是BC边的中点,
∴AD是BC的垂直平分线,
∴AB=AC. 6分
15.解:∵P为BC的中点,
∴BP=CP=BC=12 cm. 1分
∵∠B=90°,
∴在Rt△ABP中,根据勾股定理可得AB2+BP2=AP2,
162+122=AP2,
解得AP=20 cm, 3分
同理可得DP=15 cm.
∵152+202=252,
∴AP2+DP2=AD2, 5分
∴△APD是直角三角形. 6分
16.解:该车架符合设计要求. 1分
理由:∵∠BDC=90°,CD=55 cm,BC=73 cm,
∴BD===48 cm. 3分
∵AB=64 cm,AD=80 cm,
∴AB2+BD2=6 400=AD2,
∴△ABD是直角三角形,∠ABD=90°,
∴∠ABD=∠BDC,∴AB∥CD. 6分
17.解:(1)(画法不唯一)如图1,线段AB即所求. 3分
(2)(画法不唯一)如图2,△DEF即所求. 6分
18.解:如图,连接AC.
∵∠ABC=90°,AB=9 m,BC=12 m,
∴AC===15 m. 2分
∵CD=8 m,AD=17 m,
∴AC2+CD2=152+82=289,AD2=172=289,
∴AC2+CD2=AD2,
∴△ACD是直角三角形,
∴∠ACD=90°, 5分
∴四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积
=AB·BC+AC·CD
=×9×12+×15×8
=54+60=114(m2),
∴这块菜地的面积为114 m2. 8分
19.解:(1)由题意知∠B=90°.
∵AB=20米,AC=25米,
∴BC===15米. 3分
(2)设AD=x,则CD=x,BD=20-x,
在Rt△BDC中,DC2=BD2+BC2,
∴x2=(20-x)2+152,
解得x=,
∴小鸟下降的高度AD为米. 8分
20.解:(1)点P的位置如图所示.
3分
(2)根据对称性可知,x轴是CB的垂直平分线,
∴PB=PC,
∴PA+PB=AC.
∵A(0,2),B(4,3),
∴C(4,-3).
如图,过点C作CD⊥y轴于点D,
∴AD=5,CD=4. 5分
在Rt△ADC中,由勾股定理得AC==,
∴PA+PB的最小值为. 8分
21.解:(1)在△ACD中,
∵AC2=25,CD2=1,AD2=26,
∴AC2+CD2=AD2,
∴△ACD是直角三角形,且∠C=90°.
∵BD=4,
∴BC=4+1=5,
∴在Rt△ACB中,AB==5,∴AB=5. 3分
(2)∵AC=BC=5,∠C=90°,
∴∠B=45°, 4分
∴△BDE是直角三角形需分两种情况分析:
①当∠BDE=90°时,BD=DE=4,
∴在Rt△BDE中,BE==4,
∴AE=AB-BE=5-4=. 6分
②当∠BED=90°时,S△ABD=AB·DE=BD·AC,即5·DE=4×5,
解得DE=2,
∴BE=DE=2,
∴AE=AB-BE=5-2=3. 8分
综上所述,AE的长为或3. 9分
22.解:(1)∵OA=16×1.5=24,OB=12×1.5=18,AB=30,
∴OA2+OB2=AB2,
∴△AOB是直角三角形,
∴∠AOB=90°. 2分
∵“远航”号沿东北方向航行,
∴∠AON=45°,
∴∠BON=90°-45°=45°, 4分
∴“海天”号沿西北方向航行. 5分
(2)如图,过点F作FD⊥PE于点D,
OF=16×2=32.
∵∠NOF=60°,
∴∠FOD=90°-60°=30°, 6分
∴FD=OF=×32=16,
∴16÷40=0.4(小时). 7分
∵0.4<0.5, 8分
∴他能在半小时内回到海岸线. 9分
23.证明:(1)由题意可知DF=EC=b-a.
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab,
S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a(b-a), 3分
∴b2+ab=c2+a(b-a),
∴a2+b2=c2. 6分
(2)如图,连接BD,过点B作DE边上的高BF,连接EF,则BF=b-a.
∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab,
S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a(b-a), 9分
∴ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a),
∴a2+b2=c2. 12分

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