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数学　第十九章　二次根式
(时间:120分钟　分值:120分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
1.下列二次根式中,可以与合并的是 (　　)
A. B. C. D.
2.若在实数范围内有意义,则a的值可以是 (　　)
A.-1 B.0 C.2 D.6
3.若在实数范围内有意义,则x的取值范围在数轴上表示为 (　　)
A.
B.
C.
D.
4.下列运算正确的是 (　　)
A.+= B.=-5
C.(3-)2=11-6 D.6÷×=3
5.若等腰三角形的两边长分别为和,则这个三角形的周长为 (　　)
A.4+5 B.2+10
C.4+10 D.4+5或2+10
6.如图,在一个长方形中无重叠地放入两张面积分别为9 cm2和8 cm2的正方形纸片,则图中空白部分的面积为 (　　)
A.(2+1)cm2
B.1 cm2
C.(8-6)cm2
D.(6-8)cm2
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
7.把化为最简二次根式,结果是　　　　.
8.已知y=++1,则xy=　　　　.
9.符号“*”表示一种新的运算,规定a*b=·-,则6*2的值为　　　　.
10.若3-的整数部分为a,小数部分为b,则代数式(2+a) b的值是　　　　.
11.从-,,中任意选择两个数,分别填在算式(□+〇)2÷里面的“□”与“〇”中,计算该算式的结果是　　　　.(只需写出一种结果)
12.已知|a|=,=7,c=,且|a+b|=a+b,则a-b+c=　　　　.
三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)
13.(1)计算:+2-(-).
(2)已知一个正数的两个平方根分别是x-1和x-3,求这个数.
14.已知a与互为倒数,b的相反数是-,求(a+b)-2(a-b)的值.
15.如图,这是一个面积为48 cm2的正方形,四个角是面积为3 cm2的小正方形,现将四个角剪掉,制作一个无盖的长方体盒子,求这个长方体盒子的体积.
16.已知a=3-,b=-3-,求下列各式的值.
(1)a2-b2.
(2)a2-ab+b2.
17.交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度,所用的经验公式是v=16,其中v表示车速(单位:km/h),d表示刹车后车轮滑过的距离(单位:m),f表示摩擦因数.在某次交通事故调查中,测得d=20 m,f=0.6.若该路段限速60 km/h,则该汽车超速了吗 请判断 ,并说明理由.(参考数据:≈1.4,≈1.7)
四、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
18.当a=2 026时,求a+的值.下图是小亮和小芳的解答过程:
小亮 解:原式=a+ =a+1-a=1.
　　　
小芳 解:原式=a+a-1=2a-1. 当a=2 026时,原式=4 051.
(1)　　　　的解法是错误的.
(2)当a=2时,求+11-a的值.
19.阅读材料:如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,记p=,那么这个三角形的面积S=.这个公式叫“海伦公式”,它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式.中国的秦九韶也得出了类似的公式,称“三斜求积术”,故这个公式又被称为“海伦-秦九韶公式”.请回答下列问题:
如图,在△ABC中,a=9,b=7,c=8.
(1)求△ABC的面积.
(2)设AB边上的高为h1,AC边上的高为h2,求h1+h2的值.
20.王老师在小结时总结了这样一句话:“对于任意两个正数a,b,如果a>b,那么>.”然后讲解了一道例题:比较和2的大小.
解:2=×200=8,(2)2=4×3=12.∵8<12,∴<2.
参考上面例题的解法,解答下列问题:
(1)比较-5与-6的大小.
(2)比较+1与+的大小.
五、解答题(本大题共2小题,每小题9分,共18分)
21.高空抛物极其危险,是我们必须杜绝的行为.经研究,高空抛出的物体下落的时间t(单位:s)和高度h(单位:m)近似满足t=(不考虑风速的影响).
(1)从50 m高空抛出的物体到落地所需的时间t1是　　　　s,从100 m高空抛出的物体到落地所需的时间t2是　　　　s.
(2)t2是t1的多少倍
(3)从高空抛出的物体经过2.5 s落地,该物体下落的高度是多少
22.先来看一个有趣的现象:===2.这个根号里的因数2经过适当的演变,竟“跑”到了根号的外面,我们不妨把这种现象称为“穿墙”,具有这一性质的数还有许多,如=3、=4等等.
(1)猜想:=　　　　,并验证你的猜想.
(2)请只用一个正整数n(n≥2)来表示含有上述规律的等式.
(3)证明(2)中的等式.
(4)请你另外再写出1个具有“穿墙”性质的数.
六、解答题(本大题共12分)
23.阅读材料:小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2=(1+)2.善于思考的小明进行了以下探索:
设a+b=(m+n)2(其中a,b,m,n均为整数),则有a+b=m2+2n2+2mn,
所以a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题.
(1)当a,b,m,n均为正整数时,若a+b=(m+n)2,用含m,n的式子分别表示a,b,则a=　　　　,b=　　　　.
(2)利用所探索的结论,找一组正整数a,b,m,n填空:　　　　+　　　 =(　　　　+　　　 )2.
(3)若a+4=(m+n)2,且a,m,n均为正整数,求a的值.
参考答案
1.C　2.D　3.C　4.C　5.B　6.D
7.　8.2 026　9.　10.2　11.-2(答案不唯一)　12.4-7或2-7
13.(1)解:原式=3+2-3+ 2分
=4-. 3分
(2)解:根据题意知x-1+x-3=0,
解得x=, 1分
则(x-1)2=(×-1)2=1,
所以这个数为1. 3分
14.解:由题意得a=,b=. 2分
(a+b)-2(a-b)
=(+)-2(-)
=3+-2+4
=7-. 6分
15.解:∵大正方形的面积为48 cm2,
∴大正方形的边长为=4 cm. 2分
∵小正方形的面积为3 cm2,
∴小正方形的边长为 cm, 4分
∴长方体盒子的体积=(4-2)2×=12 cm3. 6分
16.解:(1)当a=3-,b=-3-时,
a2-b2=(a+b)(a-b)
=(3--3-)(3-+3+)
=-2×6
=-12. 3分
(2)原式=(a+b)2-3ab
=(-2)2-3×(-7)
=8+21
=29. 6分
17.解:该汽车没有超速,理由如下:
依题意,v=16=16×2=32≈32×1.7=54.4(km/h).
∵54.4<60,
∴该汽车没有超速. 6分
18.解:(1)小亮. 3分
(2)∵a=2,
∴a-3<0,
∴+11-a
=+11-a
=3-a+11-a
=14-2a. 6分
当a=2时,原式=14-2×2=14-4=10. 8分
19.解:(1)根据题意知,p===12,
∴S===12,
∴△ABC的面积为12. 3分
(2)∵S=ch1=bh2=12,
∴×8h1=×7h2=12, 5分
∴h1=3,h2=, 7分
∴h1+h2=. 8分
20.解:(1)(-5)2=25×6=150,(-6)2=36×5=180.
∵150<180,
∴-5>-6. 4分
(2)(+1)2=7+2+1=8+2=8+,(+)2=5+2+3=8+2=8+.
∵<,
∴+1<+. 8分
21.解:(1);2. 4分
提示:当h=50时,t1==;
当h=100时,t2===2.
(2)∵==,
∴t2是t1的倍. 7分
(3)当t=2.5时,2.5=,
解得h=31.25,
∴该物体下落的高度是31.25米. 9分
22.解:(1)=5.证明:===5. 2分
(2)=n . 4分
(3)证明:===n . 7分
(4)=6. 9分
23.解:(1)m2+3n2;2mn. 3分
(2)答案不唯一,如4,2,1,1. 7分
(3)由题意得a=m2+3n2,b=2mn.
∵4=2mn,且m,n为正整数,
∴m=2,n=1或m=1,n=2,
∴a=22+3×12=7或a=12+3×22=13. 12分

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