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数学　第17章　一元二次方程及其应用
(时间:120分钟　分值:150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
每小题都给出A,B,C,D四个选项,其中只有一个是正确的,请把正确答案的代号填在下表中.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1.下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A.x2-2x+3 B.x(x-1)=x2
C.ax2+2x+1=0 D.-x(x-1)=0
2.将方程4x2+x=5化为一般形式ax2+bx-5=0,其中a,b的值分别为（ ）
A.4,-1 B.1,4
C.4,1 D.4,-5
3.用配方法解方程x2-4x-2=0,变形后为（ ）
A.(x-2)2=6 B.(x-4)2=6
C.(x-2)2=2 D.(x+2)2=6
4.解方程(x-1)2-2(x-1)=0的最适当的方法是（ ）
A.公式法 B.配方法
C.因式分解法 D.直接开平方法
5.已知x=是一元二次方程的根,则该方程可能是（ ）
A.2x2-2x+1=0 B.2x2+2x+1=0
C.x2-2x-2=0 D.x2-2x+1=0
6.在一次宴会上,每两人都只互相握手一次,若一共握手55次,则参加宴会的人数为（ ）
A.11 B.10 C.9 D.12
7.随着全民健身意识的增强,某景区登山步道成为热门打卡地.据统计,2023年该步道全年登山人数为20万人次,2025年该步道全年登山人数达到28.8万人次.若这两年该步道登山人数的年平均增长率保持不变,则年平均增长率为（ ）
A.10% B.14% C.22% D.20%
8.若关于x的方程x2-4x+k+2=0有两个不相等的实数根,则直线y=(k-2)x+1不经过（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
9.如图,一个瓶身部分(不包括瓶颈)是圆柱体的瓶子的容积为100π cm3,瓶内装着水.当瓶子正放时,瓶内水的高度为16 cm;将瓶子倒放时,空余部分的高度为4 cm.则瓶子的底面半径为（ ）
A.3 cm B. cm
C.2 cm D. cm
10.已知m,n是关于x的方程x2-2x-2=0的两个根,则4m2+8n+mn+2 025的值为（ ）
A.2 016 B.2 048
C.2 050 D.2 056
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.已知2是关于x的方程x2-2x+a=0的一个实数根,则实数a的值是　　　　.
12.关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有两个相等的实数根,则k的值为　　　　　　　.
13.为增强学生身体素质,提高学生足球运动竞技水平.某市开展“健身杯”校园足球联赛,赛制为双循环形式(每两个队之间分主场、客场各赛一场),现计划一共安排56场比赛,则应邀请　　　　个足球队参赛.
14.观察下列一元二次方程,并回答问题:
第1个方程:x2+x-2=0.
第2个方程:x2+2x-3=0.
第3个方程:x2+3x-4=0.
第4个方程:x2+4x-5=0.
……
(1)写出第6个方程:　　　　　　　　　　.
(2)第n个方程的解为　　　　　　　　　　　　　.
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.用适当的方法解下列方程:
(1)9(x+1)2-(x-2)2=0.
(2)x2+10x+16=0.
16.关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+m+1=0.
求证:无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.有一个人患了流感,经过两轮传染后共有81人患了流感.(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人
(2)如果按照这样的传染速度,经过三轮传染后共有多少个人会患流感
18.对于实数m,n定义一种新运算“*”:m*n=m2+mn.如3*2=32+3×2=15.
(1)若x*3=0,求x的值.
(2)如果关于x的方程x*2a=-5有两个相等的实数根,求a的值.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.如图,这是一个三角点阵,从上向下数有无数行,其中第一行有1个点,第二行有2个点……第n行有n个点.
(1)尝试探究:前8行的点数和为　　　　.
(2)用含n的式子表示,前n行的点数和为　　　　.
(3)根据(2)的结论,前n行的点数和能是276吗 如果能,求出n的值;如果不能,说明理由.
20.为节省材料,某水产养殖户利用水库堤岸(堤岸足够长)为一边,用总长为120米的围网在水库中围成如图所示的①②③三块矩形区域,且三块区域面积相等.设BC的长度为x m.
(1)求AE的长(用含x的代数式表示).
(2)当矩形ABCD的面积为600 m2时,求BC的长.
六、(本题满分12分)
21.阅读材料,解答问题:
为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们可以将x2-1看作一个整体,然后设x2-1=y,那么原方程可化为y2-5y+4=0①,解得y1=1,y2=4.当y1=1时,x2-1=1,所以x2=2,所以x=±.当y2=4时,x2-1=4,所以x2=5,所以x=±.故原方程的解为x1=,x2=-,x3=,x4=-.上述解题过程,在由原方程得到方程①的过程中,利用换元法达到了降次的目的,体现了转化的数学思想.
(1)已知方程=x2-2x-3,若设x2-2x=a,则原方程可化为　　　　　　　.(结果化成一般式)
(2)请利用以上方法解方程:(x2+2x)2-(x2+2x)-6=0.
七、(本题满分12分)
22.尊老爱幼是中华民族的传统美德,重阳节前夕,某商店为老人推出一款特价商品,每件商品的进价为15元,促销前销售单价为25元,平均每天能售出80件;根据市场调查,销售单价每降低0.5元,平均每天可多售出20件.
(1)若每件商品降价5元,则商店每天的平均销量是　　　　件.(直接填写结果)
(2)不考虑其他因素的影响,若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1 280元,则每件商品的定价应为多少元
(3)在(2)的前提下,若商店平均每天至少要销售200件该商品,求商品的销售单价.
八、(本题满分14分)
23.如图,在矩形ABCD中,AB=16 cm,BC=6 cm,动点P,Q分别以3 cm/s,2 cm/s的速度从点A,C同时出发,沿规定路线移动.
(1)若点P从点A移动到点B停止,点Q随点P的停止而停止移动,问经过多长时间P,Q两点之间的距离是10 cm
(2)若点P沿着AB→BC→CD移动,点Q从点C移动到点D停止时,点P随点Q的停止而停止移动,试探究经过多长时间△PBQ的面积为12 cm2
参考答案
1.D　2.C　3.A　4.C　5.C　6.A　7.D　8.C　9.B　10.B
11.0　12.　13.8
14.(1)x2+6x-7=0　(2)x1=1,x2=-n-1
15.解:(1)[3(x+1)+(x-2)]·[3(x+1)-(x-2)]=0,
(4x+1)(2x+5)=0,
解得x1=-,x2=-. 4分
(2)(x+2)(x+8)=0,
解得x1=-2,x2=-8. 8分
16.证明:∵b2-4ac=[-(m+3)]2-4×1·(m+1)
=m2+2m+5
=(m+1)2+4>0,
∴无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根. 8分
17.解:(1)设每轮传染中平均一个人传染x个人,根据题意得1+x+x(x+1)=81,整理得x2+2x-80=0,解得x1=8,x2=-10(不合题意,舍去). 3分
答:每轮传染中平均一个人传染8个人. 4分
(2)81+81×8=729(人). 7分
答:经过三轮传染后共有729人会患流感. 8分
18.解:(1)∵x*3=0,
∴x2+3x=0, 1分
∴x(x+3)=0,
解得x1=0,x2=-3,
因此x的值为0或-3. 4分
(2)∵关于x的方程x*2a=-5有两个相等的实数根,
∴x2+2ax+5=0有两个相等的实数根, 5分
∴(2a)2-4×1×5=0,
解得a1=,a2=-, 7分
∴a的值为±. 8分
19.解:(1)36. 2分
(2). 5分
(3)能. 6分
设前n行的点数和是276,
则=276, 8分
∴n2+n-552=0,
解得n1=23,n2=-24(不合题意,舍去),
∴前23行的点数和是276. 10分
20.解:(1)设BE=a m,则AE=2a m,AB=3a m,
依题意得2×3a+2a+2x=120,
∴a=-x+15,
∴AE=2a=-x+30,
∴AE的长为-x+30m. 4分
(2)依题意得3a·x=600,
即3-x+15x=600,
整理得x2-60x+800=0,
解得x1=20,x2=40. 9分
答:BC的长为20 m或40 m. 10分
21.解:(1)a2-3a-1=0. 3分
提示:根据题意,得=a-3,∴1=a2-3a,即a2-3a-1=0.
(2)设x2+2x=y,原方程化为y2-y-6=0,
整理,得(y-3)(y+2)=0,
解得y=3或y=-2. 6分
当y=3时,即x2+2x=3,解得x=1或x=-3; 8分
当y=-2时,即x2+2x=-2,此方程无解. 10分
综上所述,原方程的解为x1=1,x2=-3. 12分
22.解:(1)280. 3分
(2)设每件商品降价x元,则销售每件商品的利润为(25-15-x)元,平均每天可售出80+×20=(40x+80)件,
依题意,得(25-15-x)(40x+80)=1 280,
整理,得x2-8x+12=0,
解得x1=2,x2=6,
∴25-x=23或19.
答:每件商品的定价应为23元或19元. 8分
(3)当x=2时,40x+80=160<200,不合题意,舍去;
当x=6时,40x+80=320>200,符合题意,
∴25-x=19.
答:商品的销售单价为19元. 12分
23.解:(1)如图,过点P作PE⊥CD于点E,设x秒后,点P和点Q的距离是10 cm.
由题意可得(16-2x-3x)2+62=102,∴x1=,x2=,
∴经过 s或 s,P,Q两点之间的距离是10 cm. 6分
(2)如图,连接BQ.设经过y s后△PBQ的面积为12 cm2.
①当0≤y<时,PB=16-3y,∴PB·BC=12,即×(16-3y)×6=12,解得y=4; 8分
②当≤y<时,BP=3y-16,QC=2y,则BP·CQ=(3y-16)×2y=12,解得y1=6,y2=-(舍去); 10分
③≤y≤8时,QP=CQ-PC=22-y,则QP·CB=(22-y)×6=12,解得y=18(舍去). 12分
综上所述,经过4 s或6 s,△PBQ的面积为12 cm2. 14分

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