资源简介

数学　第18章　勾股定理及其逆定理
(时间:120分钟　分值:150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
每小题都给出A,B,C,D四个选项,其中只有一个是正确的,请把正确答案的代号填在下表中.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1.在直角三角形中,若直角边的长分别为3和4,则斜边的长为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.7
2.下列各组数中,属于勾股数的一组是（ ）
A.1,2, B.,,
C.0.3,0.4,0.5 D.5,12,13
3.如图,在数轴上点A'表示的实数是（ ）
A.- B.- C.-2 D.
4.如图,正方形ABCD由9个边长为1的小正方形组成,每个小正方形的顶点都叫格点,连接AE,AF,则∠EAF的度数为（ ）
A.30° B.45° C.60° D.35°
5.如果△ABC的三个顶点A,B,C所对的边分别为a,b,c,那么下列条件能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A.a=6,b=10,c=12
B.∠A=25°,∠B=75°
C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
D.a=,b=,c=
6.如图,某时刻海上点P处有一客轮,测得灯塔A位于点P的北偏东30°方向,且与点P相距40海里.客轮以60海里/时的速度沿北偏西60°方向航行0.5小时后到达B处,那么AB之间的距离为（ ）
A.40海里 B.30海里 C.50海里 D.60海里
7.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AC=9,BC=4,则正方形ABDE的面积为（ ）
A.18 B.36 C.65 D.72
8.如图,有一张直角三角形纸片,∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,现将△ABC折叠,使边AC与AB重合,折痕为AE,则CE的长为（ ）
A.1 cm B.2 cm
C. cm D. cm
9.如图,BC是Rt△ABC和Rt△DBC公共的斜边,AB=AC=a,BD=3b,CD=b,则a,b之间的数量关系为（ ）
A.a=b B.a=2b
C.a=b D.a=b
10.“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽提出的,我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就.如图,这是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”,其中四边形ABCD,BEFG,AHIG均为正方形.若S正方形AHIG=10,AE=4,则S△GFI的值为（ ）
A. B.14
C.6 D.3
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.如图,以一直角三角形的三边分别向外作正方形,其中两个正方形的面积如图所示,则B所代表的正方形的面积为　　　　.
12.如图,长2.5 m的梯子靠在墙上,梯子的底端离墙脚线的距离为1.5 m,则梯子顶端距地面的高度h为　　　　m.
13.母亲节前,小敏准备制作一个如图1所示的正方体礼品盒包装好礼物后送给妈妈.她在如图2所示的正方形纸板上设计出正方体纸盒的平面展开图,再进行裁剪折叠即可完成.已知正方形纸板的边长为10分米,则这个礼品盒的边长　　　　分米.
14.勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系,并标示了A,B,C三地的坐标,数据(单位:km)如图所示,已知笔直铁路经过A,B两地.
(1)A,B间的距离为　　　　km.
(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l,并在l上建一个维修站D,使D到A,C的距离相等,则C,D间的距离为　　　　km.
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.已知△ABC的三边长为a=9 cm,b=40 cm,c=41 cm.求△ABC的面积.
16.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别用a,b,c来表示,且a,b,c满足关系式+|b-a+1|+(c-5)2=0,试判断△ABC的形状,并说明理由.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.《九章算术》卷九“勾股”中记载:今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何 大意如下:如图,水池底面的宽AB=1丈,芦苇OC生长在AB的中点O处,高出水面的部分CD=1尺,将芦苇向池岸牵引,芦苇尖端达到岸边时恰好与水面平齐,即OC=OE,求水池的深度和芦苇的高度(1丈等于10尺).
18.如图,正方形网格中每个小正方形的边长都是1,小正方形的顶点称为格点,在正方形网格中分别画出下列图形.
(1)在网格中画出长为的线段AB.
(2)在网格中画出一个腰长为,面积为3的等腰△DEF.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.1876年,美国总统加菲尔德利用下图验证了勾股定理.
(1)请用含a,b,c的代数式通过两种不同的方法表示直角梯形的面积(不需要化简):
方法1:　　　　　　　　　　　　　　.
方法2:　　　　　　　　　　　　　　.
(2)利用“等面积法”,推导a,b,c之间满足的数量关系,完成勾股定理的验证.
20.如图所示的长方体玻璃缸,缸高AB为36 cm,紧贴内壁G处有一食物(缸壁厚度忽略不计),点G到棱AB的距离EG为36 cm,点G到棱AD的距离FG为12 cm.蚂蚁想从缸外的点B处沿缸壁爬到缸内G处吃食物.
(1)蚂蚁应该走怎样的路线才使爬行的路程最短 请画出它的爬行路线,并用箭头标注.
(2)试求蚂蚁爬行的最短路程.
六、(本题满分12分)
21.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F.若AC=12,AB=20.
(1)求证:CE=CF.
(2)求线段CE的长.
七、(本题满分12分)
22.细心观察图形,认真分析各式,然后回答问题.
　　O=1,
O=()2+12=2,
O=()2+12=3,
O=()2+12=4,
…S1=,
S2=,
S3=,
…
(1)试推算出OA10的长和S10的值.
(2)直接用含n(n为正整数)的式子表示OAn的长和Sn的值.
(3)求+++…+的值.
八、(本题满分14分)
23.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=16,D是AC上的一点,CD=3,点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位长度的速度向右运动.设点P的运动时间为t秒.连接AP.
(1)当t=3时,求AP的长度(结果保留根号).
(2)当△ABP为等腰三角形时,求t的值.
(3)过点D作DE⊥AP于点E.在点P的运动过程中,当t为何值时,能使DE=CD
参考答案
1.C　2.D　3.A　4.B　5.D　6.C　7.C　8.C　9.A　10.A
11.144　12.2　13.2
14.(1)20　(2)13
提示:(1)由A,B两点的纵坐标相同可知AB∥x轴,
∴AB=12-(-8)=20.
(2)如图,过点C作l⊥AB于点E,连接AC,作AC的垂直平分线交直线l于点D,
由(1)可知CE=1-(-17)=18,
AE=12,
设CD=x,
∴AD=CD=x,DE=CE-CD=18-x,
在Rt△ADE中,由勾股定理可知x2=(18-x)2+122,
解得x=13,
∴CD=13.
15.解:∵在△ABC中,a=9 cm,b=40 cm,c=41 cm,
且92+402=81+1 600=1 681,412=1 681,
∴92+402=412,
∴△ABC为直角三角形,
则S△ABC=×9×40=180(cm2). 8分
16.解:△ABC是直角三角形. 1分
理由:据题意得a-13=0,b-a+1=0,c-5=0,
解得a=13,c=5,b=12.
∵b2+c2=122+52=169=132=a2,
∴△ABC是直角三角形. 8分
17.解:设水池的深度为x尺,则芦苇的高度为OC=OD+CD=(x+1)尺,
由题意得OE=OC=(x+1)尺.
∵O为AB的中点,且AB=1丈=10尺,
∴OA=AB=×10=5(尺). 2分
在Rt△EAO中,由勾股定理得AE2+OA2=OE2,
即x2+52=(x+1)2, 4分
解得x=12, 6分
OC=12+1=13(尺), 7分
∴水池的深度为12尺,芦苇的高度为13尺. 8分
18.
解:(1)如图1,线段AB即所求.(画法不唯一) 4分
(2)如图2,△DEF即所求.(画法不唯一) 8分
19.解:(1)(a+b)2;ab+c2. 4分
(2)由题意知,(a+b)2=ab+c2,
∴a2+2ab+b2=2ab+c2,
∴a2+b2=c2. 10分
20.解:(1)如图,作点B关于AD的对称点B',连接GB'交AD于点P.
蚂蚁从点B爬行至点P再爬行至点G(箭头所指的路线),这条爬行路线的路程最短. 4分
(2)依题意,AB=AB'=36 cm,AE=FG=12 cm,
∴B'E=36+12=48(cm).
在Rt△B'EG中,由勾股定理得
B'G===60(cm).
∵B'P=BP,
∴BP+PG=B'P+PG=B'G=60(cm).
故蚂蚁爬行的最短路程为60 cm. 10分
21.解:(1)证明:∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠CAF+∠CFA=90°,∠FAD+∠AED=90°.
∵AF平分∠CAB,
∴∠CAF=∠FAD,
∴∠CFA=∠AED.
∵∠AED=∠CEF,
∴∠CFA=∠CEF,
∴CE=CF. 5分
(2)如图,过点F作FG⊥AB于点G.
∵AF平分∠CAB,
∴∠CAF=∠GAF.
在△ACF和△AGF中,
∴△ACF≌△AGF(AAS),
∴AC=AG=12,CF=GF,
∴BG=AB-AG=20-12=8.
∵∠ACB=90°,
∴BC===16.
设CE=CF=x,则GF=x,BF=BC-CF=16-x.
在Rt△BFG中,由勾股定理得BF2=BG2+FG2,
即(16-x)2=82+x2,
解得x=6,
∴线段CE的长为6. 12分
22.解:(1)∵O=()2+1=2,
O=()2+12=3,
O=()2+12=4,
……
∴O=10,
∴OA10=. 2分
∵S1=,S2=,S3=,…
∴S10=. 4分
(2)由(1)可知OAn=,Sn=. 8分
(3)+++…+
=+++…+
=×(1+2+3+…+10)
=×
=. 12分
23.解:(1)根据题意,得BP=2t,PC=16-2t=16-2×3=10,AC=8,
在Rt△APC中,根据勾股定理,得AP===2. 3分
(2)在Rt△ABC中,AC=8,BC=16,
根据勾股定理,得AB===8.
若BA=BP,则2t=8,解得t=4; 4分
若AB=AP,则BP=32,2t=32,解得t=16; 5分
若PA=PB,则(2t)2=(16-2t)2+82,解得t=5. 6分
综上所述,当△ABP为等腰三角形时,t的值为4或16或5. 7分
(3)①当点P在线段BC上时,如图1所示,
则∠AED=∠PED=90°,
∴∠PED=∠ACB=90°.
∵DE=CD,
∴PD平分∠APC,
∴∠EPD=∠CPD. 9分
又∵PD=PD,
∴△PDE≌△PDC(AAS),
∴ED=CD=3,PE=PC=16-2t,
∴AD=AC-CD=8-3=5,
∴AE=4,
∴AP=AE+PE=4+16-2t=20-2t,
在Rt△APC中,由勾股定理得82+(16-2t)2=(20-2t)2,
解得t=5. 11分
②当点P在线段BC的延长线上时,如图2所示,
同①得△PDE≌△PDC(AAS),
∴ED=CD=3,PE=PC=2t-16,
∴AD=AC-CD=8-3=5,
∴AE=4, 12分
∴AP=AE+PE=4+2t-16=2t-12,
在Rt△APC中,由勾股定理得82+(2t-16)2=(2t-12)2,
解得t=11.
综上所述,在点P的运动过程中,当t的值为5或11时,能使DE=CD. 14分

展开更多......

收起↑