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2025年广东省深圳市中考数学模拟卷2
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．电影《哪吒2》上映21天便登顶全球动画票房榜榜首，它的票房已超130亿，还在不断刷新着各项纪录，其中130亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．李伟同学购买两张高铁车票，从如图所示的个座位中随机选择两个，则“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为钱，乙持钱数为钱，列出关于、的二元一次方程组（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．连接并延长交于点，若，则点到直线的距离是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
7．如图，将一副三角板按如图所示方式摆放在一组平行线内，，则的度数是（　　）

A． B． C． D．
8．如图，在观测站处测得船和灯塔分别位于正东方向和北偏东方向，灯塔位于船的北偏东方向海里处，若船向正东航行，则船离灯塔的最近距离是（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．4海里
二、填空题
9．已知方程有实数根，则a的取值范围是 ．
10．图1是某区域的监控警示图标，图2是抽象出的几何模型，已知为直角，若段长，段比段长，则段的长度为 ．
11．如图，在边长为4的菱形中，，以点D为圆心，菱形的高为半径画弧，交于点E，交于点G，则图中阴影部分的面积是 ．
12．如图，点是轴正半轴上任意一点，过点作平行轴交反比例函数的图象于点，交反比例函数的图象于点，连接，若点坐标为，则的值为 ．
13．中，，，点D为射线上一点，以为直角边在的右侧作等腰，使．当时，点E到边的距离为 ．

三、解答题
14．计算：
15．先化简：，再从，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
16．某校举办“环保知识竞赛”，评估学生对垃圾分类、资源回收等环保主题的知识掌握情况．现从七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（得分用表示，分及以上为优秀，共分成四组：，，，）．已知部分信息如下：
七年级抽取的学生竞赛成绩中，在组中的数据为：，，，；
八年级抽取的学生竞赛成绩为：，，，，，，，，，；
七年级抽取的学生竞赛成绩统计图
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级
八年级
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中_____，_____，_____；
(2)根据以上数据，你认为哪个年级的学生对环保主题的知识掌握情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)该校七、八年级共有人参加了此次环保知识竞赛，估计这些学生中成绩达到优秀的总人数约为多少人？
17．某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多元，用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同．
(1)求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．
(2)若商店将甲种商品每件的售价定为元，乙种商品每件的售价定为元．商店计划用不超过元的资金购进甲、乙两种商品共件，当购进的甲、乙两种商品全部售出后，甲种商品购进多少件，该商店获得利润最大，最大利润是多少？
18．如图，是的内接三角形，，，连接，并延长交于点，过点作的切线，与的延长线交于点．
(1)求证：；
(2)若，求线段的长．
19．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)某学习小组发现，将抛物线在直线上方的部分沿翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含A、B两点），如图2，现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积
①组员小聪想到了方案一：如图3所示，矩形的边与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点C______（填坐标），边与心形图右边缘相切于点D，点D与点C关于直线对称；请你帮小聪计算出矩形的面积；
②组员小颖提出了方案二：如图4所示，矩形的边过点A，边与心形图的左边缘相切，边与心形图的右边缘相切，边与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形的面积为______；请你判断以上两个方案哪个方案的矩形面积更小．
20．下面是某数学兴趣小组“利用角的对称性构造全等模型”开展的微专题探究活动，请仔细阅读，并完成相应任务．
活动1：用直尺和圆规作已知角的平分线，如图1所示，则由，可得．
活动2：如图2，在中，，是的角平分线，在上截取，连接，则．
任务：
(1)在活动1、活动2中，判定三角形全等的依据依次是 ， (填序号)．
①；②；③；④；⑤．
(2)如图3，在中，，是的两条角平分线，且交于点．试猜想与之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图4，在四边形中，，的平分线和的平分线恰好交于边上的点，若，，当有一个内角是时，直接写出的长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C C B C A A
二、填空题
9．
10．8
11．/
12．
13．
三、解答题
14．
解：
．
15．解：
，
，
，
当时，．
16．（1）解：根据题意，七年级组中有人，七年级组中有人，
故七年级组中有人，
即；
将七年级的竞赛成绩从大到小排列后，处在中间位置的两个数分别是，，故中位数为，
即；
八年级抽取的学生竞赛成绩出现次数最多的是，共出现次，因此众数是，
即；
故答案为：，，．
（2）解：根据八年级对环保主题的知识掌握情况更好，理由如下（写出一条理由即可）：
①因为八年级学生竞赛成绩的中位数大于七年级学生竞赛成绩的中位数；
②因为八年级学生竞赛成绩的众数大于七年级学生竞赛成绩的众数；……
（3）解：（人）．
故这些学生成绩达到优秀的总人数约为人．
17．（1）解：甲种商品每件进价x元，则乙种商品的进价为元，
由题意可得：，解得：，
则．
答：甲、乙两种商品每件的进价各是50元，30元．
（2）解：设购进甲种商品m件，则购买乙种商品件，商品所获总利润为w元，
∵，
∴．
根据题意可知，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，W可取得最大值，此时W的最大值为：（元）．
∴最大利润w为780元．
答：当甲种商品购进12件，该商店获得利润最大，最大利润是780元．
18．（1）证明：连接，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴；
（2）解：过作于点，如图所示：
∴，
由（）得：，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴由勾股定理得：，
∴．
19．（1）解：将点和代入抛物线，
则，解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：①，
顶点C的坐标为；
抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点，
联立，解得：或（舍），
，
分别过点、作轴、轴的平行线相交于点，
当时，，则，
，
，
点D与点C关于直线对称，
，
，
，，
矩形的面积；
②如图，作直线分别交、于点、，令直线与的交点为，则，
由①可知，
，
由题意可知，，
则，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
边与心形图的左、右边缘各相切于一点，
即直线与抛物线只有一个交点，
联立，
整理得：，
，
解得：，
直线的解析式为，
联立，解得：，
，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，
边与心形图的左边缘相切，即直线与抛物线只有一个交点，联立，
整理得：，
，
解得：，
直线的解析式为，
同理可求，
，
矩形的面积为，
，
方案二的矩形面积更小．
20．（1）解：在活动1、活动2中，判定三角形全等的依据依次是，．
故答案为：④，①；
（2），理由如下：
过点分别作的垂线，垂足依次为，如图1，
∵，
∴，
∵是的两条角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）在上截取，连接，如图3，4所示，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴
∵，
∴，，
分情况讨论：①若，则，
∴，这与矛盾，故；
②若，则，过点作于点，如图3所示，
在中，，
设，，则，，
∴，
∴；
③若时，则，
过点作，交的延长线于点，如图4所示，
在中，，
设，，则，，
∴，
∴．
综上所述，线段的长为15或12．
答案第1页，共2页
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