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广东省广州市越秀区执信中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学模拟试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是
4．抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
7．若关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 （ ）
A． B．
C． 且 D．且
8．设、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．2024年7月5日，曲靖市举行避暑旅游新闻发布会，诚邀各地游客来曲靖避暑，体验“的夏天”．随着川渝避暑大军的到来，我市某景区游客人数逐月增加，七月份游客人数为16万人，九月份游客人数为25万人．设八、九两个月该景区游客人数的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
10．二次函数的对称轴是直线，该抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图像如图所示，下列结论：①，②，③，④若点在二次函数的图像上，则关于x的不等式的解集是，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
11．已知是二次函数，则实数 ．
12．已知2是方程的一个根，则另一个根为 ．
13．在平面直角坐标系中，是抛物线两点，则抛物线的对称轴为 ．
14．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 ．
15．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”．若一元二次方程是“倍根方程”，的值为 ．
16．太原市迎泽公园的喷泉以其激动人心的表演和世界级的设计而闻名．图1中的一条水柱可以近似看作一条抛物线，建立平面直角坐标系，如图2所示，喷口为点O，水柱的高度与距喷口的水平距离之间满足（），则该水柱的最大高度为 ．
三、解答题
17．解方程：
(1)；
(2)（配方法） ；
(3)；
(4)
18．已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表：
．．． ．．．
．．． ．．．
(1)求，，的值；
(2)若，两点都在该函数的图象上，试比较与的大小．
19．关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根为非负数，求的取值范围．
20．已知函数．
(1)该抛物线的对称轴是直线____________，顶点坐标是____________
(2)在下面的坐标系中画出该抛物线的图象
(3)根据图象直接写出当时，的取值范围是____________．
(4)根据图象写出当时，的取值范围____________．
21．在人们高度关注我国神舟十七号载人飞船成功发射的时候，某商家看准商机，推出了“神舟”和“天宫”两种航天模型进行销售．已知每个天宫模型的成本比神舟模型低4元，商家购进10个天宫模型和8个神舟模型共花费320元．
(1)每个神舟模型和天宫模型的成本分别是多少元？
(2)该商家计划购进两种模型共100个，每个神舟模型的售价为34元，每个天宫模型的售价为26元．设其中购进的神舟模型为a个，销售这批模型所得利润为w元．
①求w与a之间的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；
②若购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半，则购进神舟模型多少个时，销售完这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
22．如下图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形ABCD为平行四边形．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标．
(2)若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．
23．如图1，是一名运动员在排球场比赛中跳发球的过程，球的飞行路线可以用二次函数如图2刻画，其中轴是球网所在的位置，轴是水平地面，排球飞行的水平距离（米）与其飞行的高度（米）的变化规律如表（排球场地标准：长18米，宽9米）：
… 0 …
… 3 2.92 …
(1)①________；
②求函数的解析式；
(2)①排球的落点是，求点的坐标．
②若排球运动员击球高为2米，请通过计算说明该运动员有没有踩线犯规．（提示：到轴的距离大于9米）
24．如图，已知抛物线交x轴于点，，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式：
(2)若D为直线上方的抛物线上的一点，且的面积为3，求点D的坐标；
(3)将抛物线向右平移个单位长度，设平移后的抛物线中y随x增大而增大的部分记为图象G， 若图象G与直线只有一个交点，求m的取值范围．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当时，y的取值范围是，求t的值；
(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D D A D C D D D
二、填空题
11．
12．3
13．直线
14．15
15．
16．
三、解答题
17．（1）解：∵，
∴，
∴，；
（2）解：移项得，，
配方得，，
即，
∴，
∴，；
（3）解：，，，
∴，
∴，
∴，；
（4）解：移项得，，
因式分解得，，
即，
∴或，
∴，．
18．（1）解：根据题意，当时，；当时，；
解得：，
该二次函数关系式为；
∴当时，．
（2）解：，两点都在函数的图象上，
，
，
①当，即时，；
②当，即时，；
③当，即时，．
19．解：（1）证明：，
，
方程总有两个实数根；
（2）解：，
，
或，
方程有一个根为非负数，
，
．
20．（1）解：∵，
∴该抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，
故答案为：；；
（2）列表得：
x … -1 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
画图得：
（3）由图象可知：当时，的取值范围是，
（4）当时，，
结合图象可得：当时，，当时，，
∴当时，的取值范围是．
21．解：（1）设每个神舟模型的成本为元，每个天宫模型的成本为元．
依题意，得解得
答：每个神舟模型的成本为20元，每个天宫模型的成本为16元．
（2）①购进的神舟模型为个，则购进的天宫模型为个．
，
即．
②购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半，
，解得．
随的增大而增大，为整数，
当时，（元）．
答：购进神舟模型33个时，销售完这批模型可以获得最大利润，最大利润为1132元．
22．（1）解：当时，，即，
当时，，解得
∴．
（2）解：四边形ABCD是平行四边形，，
．
设平移后的抛物线为，则，解得，
平移后抛物线的解析式为．
23．（1）解：①∵，
∴抛物线对称轴为直线，
∴当时的函数值与当时的函数值相等，
∴．
②，
．
把代入得：．
．
函数解析式：；
（2）解：①点在横轴上，
，
．
（舍）
点的坐标．
②
当时，
（舍），
点到轴的距离为米
排球场地长为18米，左半场为9米，
说明该运动员发球时没有踩线犯规．
24．（1）解：将，代入得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：当时，，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
过点D作y轴的平行线，交于点E，
设，则，
∴，
∴，
解得：，
∴或；
（3）解：①当平移后的抛物线顶点在直线左侧时：
∵，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线顶点坐标为，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为，
把代入得：，
解得：，
∵图象G与直线只有一个交点，
∴；
②当平移后的抛物线与直线相切时：
∵抛物线解析式为，
∴平移后的解析式为，
∵图象G与直线只有一个交点，
∴方程方程有两个相同实根，
整理为，
∴，
解得：，
综上：或．
25．（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称，
∴，解得：，
∴；
（2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小，
∵时，，
①当时，则：当时，函数有最大值，即：，
解得：或，均不符合题意，舍去；
②当时，则：当时，函数有最大值，即：，
解得：；
故；
（3）存在；
当时，解得：，当时，，
∴，，
设直线的解析式为，把代入，得：，
∴，
设，则：，
∴，，，
当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：
①当为边时，则：，即，
解得：（舍去）或，
此时菱形的边长为；
②当为对角线时，则：，即：，
解得：或（舍去）
此时菱形的边长为：；
综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2．
答案第1页，共2页
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