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淮北市第一中学2025~2026学年度第一学期八年级联考
数学试题
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 点A(﹣3，6)所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2．下列图象中，表示是的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示（ ）
A． B．
C． D．
4. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 内错角相等 B. 对顶角相等
C. 若，则 D. 若，则
5. 如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
6．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离y（）与甲所用时间x（）之间的函数关系如图所示，有下列说法：①A、B之间的距离为；②乙行走的速度是甲的1.5倍；③；④．以上结论正确的有（ ）
A．①④ B．①②③ C．①③④ D．①②④
7. 如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则△ABE的面积是（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
8．如图，动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第2025次碰到矩形的边时，点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
9. 在下列条件中：①；②；③；④中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10．（本题4分）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与，小聪根据图象得到如下结论：
①；
②关于x，y的方程组的解为；
③关于x的方程的解为；
④关于x的不等式的解集是．
其中结论正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 点M在第四象限，点M到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则M点坐标是_____．
12．（本题5分）若点在一次函数m的图象上，且，则的大小关系是 ．
13．直线恒过一定点，则该定点的坐标为 ，若该直线不经过第二象限，则k的取值范围为 ．
14. 已知，平面直角坐标系中，点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，分别与直线，直线交于，两点，以为边向右侧作正方形．
（1）若点在第一象限，且正方形的边长为，则的值为_______；
（2）当点在正方形内部（不含边界）时，则的取值范围是_______．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．已知一次函数．
(1)若该函数值随自变量的增大而减小，求的取值范围；
(2)若该函数图象不经过第二象限，求的取值范围．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线相交于点．
(1)求直线的解析式．
(2)求的面积．
(3)在直线上是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是，现将三角形平移，使点变换为点，点分别是的对应点．
（1）请画出平移后的三角形（不写画法），并直接写出点 的坐标：（ ）、（ ）
（2）若三角形 内部一点的坐标为，则点的对应点的坐标是（ ）
18．如图，在中，平分，为线段上一点，交的延长线于点，若，，求的度数．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图所示，根据图中信息．
(1)点P的坐标为 ．
(2)当时，x的取值范围是多少？
(3)求．
20. 已知等腰三角形周长为，若底边长为，一腰长为．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）直接写出自变量x的取值范围__________；
（3）在如图的平面直角坐标系中画出这个函数的图象．
六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）
21. 定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为．
（1）由定义可知，一次函数的“亮点”为___________．
（2）一次函数“亮点”为，求p，q的值．
（3）若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“亮点”，点P在x轴上，使，求满足条件的点P的坐标．
22. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”.
（1）如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），．
①求、的度数．
②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？
（2）如图2，在中，，，D是边上一点（不与点A，B重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数．
七、（本题满分14分）
23. 某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元．
（1）甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？
（2）若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共300个，且甲种型号头盔的购进数量最少为150个，甲种型号头盔的购进数量不超过乙种型号头盔的2倍，已知甲种型号头盔每个售价为65元，乙种型号头盔每个售价为70元，设甲种型号头盔购进了个，全部售出后的利润为元．
①求的最大值．
②受原材料和工艺调整等影响，商场实际采购时，甲种头盔进货单价上调了元，同时乙种头盔进货单价下调了元，该商场决定不调整两种头盔的售价，发现将300个头盔全部卖出获得的最低利润是4400元，求的值．
参考答案
一．选择题
1. B．
2．B．
3．B．
4. B
5. D．
6．D．
7.B．
8．D．
9. D．
10．B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. （3，-2）．
12．．
13．；．
14. （1）；（2）或 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（1）解：一次函数的函数值随自变量的增大而减小，
，
解得：；
（2）解：若一次函数的图象不经过第二象限，
，
解得：．
16．（1）解：∵直线：与直线相交于点，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
（2）解：在中，当时，，
∴，
∴；
（3）解：∵的面积是的面积的，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，，当时，，
∴点M的坐标为或．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. （1）解：如图所示，即为所求，由图可得，，，
故答案为：、；
（2）解：∵点平移后的对应点为，
∴横坐标减，纵坐标减，
∴点的对应点的坐标是，
故答案为：．
18．解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（1）解：把代入中得，解得，
∴，
把代入得，解得，
∴，
联立，解得，
∴；
（2）解：由函数图象可得，当时，；
（3）解：令，则，则，即，
∴，
∴．
20. （1）解：由题意可得：
变形得：
∴y与x函数关系式为：；
（2）解：由三角形的三边关系可知：
即：
解得：
故自变量x的取值范围为：；
（3）解：列表：
x 2 4
y 4 0
函数图象如图：
六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）
21. （1）解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，
即，
解得，
一次函数的“亮点”为；
（2）解：根据定义可得，点在上，
，
解得，
点又在上，
，
又，
，
解得，
∴．
（3）解：∵直线上没有“亮点”，
∴直线与平行，
∴，
∴，
令，则，
令，则，
，
，
设，
∵，
，
∴，
，
即或，
解得或，
∴或．
22. （1）解：①是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），
，
，
，即，解得，
；
②、都是“友爱三角形”，
理由：是中边上的高，
，
，，
，
在中，，，
，
为“友爱三角形”；
在中，，，
为“友爱三角形” ；
（2）解：的度数为或，
是“友爱三角形”，D是边上一点（不与点A，B重合），
或，
当时，；
当时，
，即，
，
综上所述，的度数为或．
七、（本题满分14分）
23. 解：（1）设甲种型号头盔的进货单价是x元，乙种型号头盔的进货单价是y元，
根据题意，得
，解得，
∴甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是45元和60元；
（2）①∵甲种型号头盔购进了x个，甲、乙两种型号头盔共300个，
∴乙种型号头盔购进了个，
∴
，
∵甲种型号头盔的购进数量最少为150个，甲种型号头盔的购进数量不超过乙种型号头盔的2倍，
∴解不等式组得，，
∴，
∵，其中，
∴w随x的增大而增大，
∴当时，w有最大值， (元)；
②∵甲种头盔进货单价上调了元后变为元，乙种头盔进货单价下调了a元后变为元，
∴
，
∵，
∴当，即/时，w随x的增大而增大。
∴当时，w取得最小值4400，
∴，
∴，
当，即号时，w随x增大而减小。
∴当时，w取得最小值4400，
∴，
∴，
又∵时取不符合条件，舍去，
∴a的值为．

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