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人教版8年级下册培优精做课件19.1.2二次根式的性质第十九章二次根式授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.1. 理解二次根式的三个性质 (a≥0)， (a≥0) 和 (a≥0) . 会运用二次根式的性质进行有关计算和化简. (重点)
2. 通过对 的化简，了解分类讨论的思想；利用乘方与开方互为逆运算推导结论 (a≥0)，感受数学知识的内在联系 . (难点)
3. 经历对二次根式性质的探究活动，感受数学的探索性和创造性，体验发现的快乐.
≥0
＝
＝
＝
复习回顾
二次根式的定义
一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫作二次根式，二次根式也是代数式.
a叫作被开方数.
探索新知
我们知道，二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，必须满足以下两条：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0.
性质1：二次根式的双重非负性
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
1.已知实数m，n满足|m+3|+ =0，则m=_____，n=_____.
2.已知(x 2)2+ =0，则 xy 的值为_____.
3
1
问题1：如图，一块正方形的方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？
正方形的边长为 .
用边长表示正方形的面积为 .
又因为面积为a.
所以 =a.
这个式子对所有的二次根式都成立吗？
问题2：验证问题1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？
a(a≥0)
0
0.5
3
…
0
…
( )2
0
0.5
3
…
算术平方根
平方运算
根据问题2直接写出结果，然后根据问题2的探究过程说明理由：
=____；
=____；
=____；
=____.
3
0.5
0
把上述计算结论推广到一般，并用字母表示：
一般地， .
性质2：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
例2 计算：
（1）( )2； （2）( )2.
解：（1）( )2=1.5；
（2）( )2
积的乘方：(ab)2=a2b2
=22×( )2
=4×5=20.
1.计算.
【选自教材第4页 练习 第1题】
（1）( )2； （2）( )2.
解：（1）( )2=3；
（2）( )2=32×( )2=9×2=18.
2.在实数范围内分解因式：
（1）x2-7； （2）x4-4x2+4.
解：（1）x2-7=(x+ )(x- )；
（2）x4-4x2+4=(x2-2)2=[x2-( )2]2=(x+ )2(x- )2.
这里逆用了( )2=a(a≥0)在实数范围内分解因式.在实数范围内分解因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.
问题3：填一填，你发现了什么？
a(a≥0)
2
0.1
0
…
a2
4
0.01
0
…
2
0.1
0
…
平方运算
算术平方根
观察两者有什么关系？
思考：当a＜0时，问题3中的结论还成立吗？
a(a＜0)
2
0.1
3
…
a2
4
0.01
3
…
2
0.1
3
…
平方运算
算术平方根
归纳小结
把得到的结论推广到一般，并用含字母的二次根式表示：
性质3：任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
例3 化简：
（1） ； （2） .
解：（1）
=
=4；
（2）
=
=5.
化简：
【选自教材第4页 练习 第2题】
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
0.3
﹣π
讨论：如何区别 与 ？
运算顺序 先开方，后平方 先平方，后开方
取值范围 a≥0 a取任何实数
运算结果 a ｜a｜
表示意义 表示一个非负数a的算术平方根的平方 表示一个实数a的平方的算术平方根
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复习巩固
1. 当 a 满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
解：（1）a + 2 ≥ 0，a ≥ －2.
（2）3－a ≥ 0，a ≤ 3.
（3）5a2 ≥ 0，a 为全体实数.
（4）2a + 1 ≥ 0，a ≥ .
－
2. 计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
解：（1）
= 5；
（2） ；
= 0.2
（3） .
（6） ；
（4） ；
（5） ；
（4） ；
= 52× 5 = 125
（5） ；
= 72 ×
（6） = 10 ；
（7） ；
（8） .
－
（7） ；
（8） .
－= －
3. 用代数式表示：
（1）面积为 S 的圆的半径；
（2）面积为 S 且两条邻边的比为 1 ∶ 2 的长方形的两邻边长.
解：（1）
r2，r =
（2）设宽为 x，长为 2x；
2x · x = S
2x2 = S
x =
2x =
4. 利用 ，把下列非负数分别
写成一个非负数的平方的形式：
a = (a ≥ 0)
（1）5；（2）2.5；（3） ；（4）0.
解：（1）
5 = ()
（2）
2.5 = ()
（3）
=
（4）
0 = ()
综合运用
5. 已知一个大圆的面积是两个小圆的面积之和. 如果大圆
的半径为 r，两个小圆的半径分别为 2 和 3，求 r 的值.
解：π×22 + π×32 = πr2，所以 r2 = 13，
所以 r =
6. △ABC 的面积为 12，AB 边上的高是 AB 边长的 4 倍.
求 AB 的长.
A
B
C
解：设 AB 的长为 x，
则 AB 边上的高为 4x，
则 x · 4x = 12，
即 x = （负值舍去），
所以 AB 的长为 .
7. 当 x 满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） ；
（2） ；
解：（1）因为 x2 + 1 > 0，
所以 x 为任意实数， 在实数范围内都有意义；
（2）因为 (x－1)2 ≥ 0，
所以 x 为任意实数， 在实数范围内都有意义；
（3） ；
（4） .
（3）由 ≥ 0 得，x > 0，
所以当 x > 0时， 在实数范围内有意义；
（4）由 x + 1 > 0 得，x > －1，
所以当 x > －1 时， 在实数范围内有意义.
8. 小球从离地面为 h（单位：m）的高处自由下落，落到地面所用的时间为 t（单位：s）.经过实验，发现 h 与 t2 成正比例关系，而且当 h = 20 时，t = 2. 试用含 h 的代数式表示 t，并分别求当 h = 10 和 h = 25 时，小球落地所用的时间.
解：因为 h 与 t2 成正比例关系，所以设 h = kt2（k ≠ 0）.
因为当 h = 20 时，t = 2，即 20 = k×22，所以 k = 5.
所以 h = 5t2，则 t = （负值舍去）.
当 h = 10 时，t = = ；当 h = 25 时，t = = .
所以当 h = 10 和 25 时，小球落地所用的时间分别为 s， s.
拓广探索
9.（1）已知 是整数，求自然数 n 所有可能的值；
（2）已知 是整数，求正整数 n 的最小值.
解：（1）由二次根式的意义可知 18－n ≥ 0，所以 n ≤ 18.
因为 n 是自然数，所以 0 ≤ n ≤ 18. 又 是整数，
= = =
= = =
= = =
拓广探索
9.（1）已知 是整数，求自然数 n 所有可能的值；
（2）已知 是整数，求正整数 n 的最小值.
= = =
= = = 0
综上所述，自然数 n 所有可能的值是 2，9，14，17，18.
拓广探索
9.（1）已知 是整数，求自然数 n 所有可能的值；
（2）已知 是整数，求正整数 n 的最小值.
（2）因为 是整数，且 n 是正整数，易知 n = 1，2，3，4，5 均不符合题意，而当 n = 6 时， = = = 12，
所以正整数 n 的最小值是 6.
10. 一个圆柱的高为 10，体积为 V. 求它的底面半径（r 用含
V 的代数式表示），并分别求当 V = 10π 和 20π 时，底面
半径 r 的大小.
解：由圆柱体积公式 V = πr2h 知 r = (负值舍去)，即 r = .
当 =
当 =
课堂小结
二次根式的性质
拓展
a为全体实数
【双重非负性】

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