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人教版8年级下册培优精做课件20.1.1勾股定理第二十章勾股定理授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.1. 了解勾股定理，探索勾股定理的证明过程，学会利用几何图形的截、割、补证明勾股定理.(重点)
2. 掌握勾股定理，并能应用它进行简单的计算.(重点)
3. 过拼图活动，体会数形结合的思想方法，培养动手实践和创新能力.(难点)
思考：直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余，对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢
探索新知
勾
股
弦
3
4
5
并指出“两矩共长二十有五”.
在《周髀算经》的开篇，商高构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，
S1=9
三个正方形面积的数量关系是:
9 + 16 = 25
S2=16
S3=25
所得正方形的面积分别为
____，____，____.
9
16
25
三个正方形面积的数量关系是:
9 + 16 = 25
这个直角三角形的三边满足：
两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.
其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？
勾
股
弦
3
4
5
S2=16
S3=25
S1=9
如图，每个小方格的面积均为 1，图中正方形 A1，B1，C1 的
面积之间有什么关系？A2，B2，C2 呢？
A3，B3，C3 呢？
C1，C2，C3 的面积你会求吗？
以直角三角形斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去 4 个直角三角形的面积.
面积 A1 面积 B1 面积 C1
面积 A2 面积 B2 面积 C2
面积 A3 面积 B3 面积 C3
面积 A,B,C 之间的关系 1
4
5
4
9
13
9
25
34
任意画一个直角三角形，也会有这种关系吗？
自己动手试一试：
1.任意画一个直角三角形，并以各边为边向外作出正方形.
2.数一数，算一算，三个正方形的面积有什么关系？
3.小组讨论，互相说一说总结你们的发现，并猜想直角三角形的三边可能有怎样的数量关系？
以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积.
猜想：
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，
那么 a2 + b2 = c2 .
B
A
C
b
a
c
返回
B
返回
2．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列说法错误的是(　　)
A．a2＋c2＝b2 B．c2＝2a2
C．a＝b D．∠C＝90°
A
a
b
c
黄实
朱实
朱实
朱实
这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．
赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）.
赵爽拼图证明法
a
b
c
b
a2 + b2
c2
a
证法 1:
a
b
c
=
赵爽拼图证明法
a
b
c
b－a
证法 2:
= c2，
= (b－a)2，
= 4S三角形 + S小正方形，
c2 = 4×ab + (b－a)2 = a2 + b2.
这样就证明了前面的猜想. 它表明了直角三角形三边之间的关系，我国把它称为勾股定理.
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
勾
股
此结论被称为“勾股定理”.
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2.
几何语言：
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴a2+b2=c2.
勾股定理
赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”.“赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲.
2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的.
例 1
如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.
A
C
B
8
6
(1)
解：(1)在Rt△ABC 中，根据勾股定理，
AB2 = AC2 + BC2 = 82 + 62 = 100，
所以 AB = 10.
已知两直角边长，求斜边长.
17
15
D
E
F
(2)
已知斜边长与一直角边长，求另一直角边长.
(2)在 Rt△DEF 中，根据勾股定理，
DE2 + EF2 = DF2，
从而 DE2 = DF2－EF2 = 172－152 = 64，
所以 DE = 8.
1. 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，
则AC的长为(　B　)
A. 10 B. 12
C. 13 D. 24
2. 长方形的相邻两边长分别是3和5，则它的对角线
长是(　C　)
A. 6 B. 7
D. 8
B
C
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
第3题图
(1)若a＝3，b＝4，则c＝ ；
(2)若a＝8，c＝17，则b＝ ；
(3)若a＝b＝1，则c＝ .
5　
15　
　
4. [教材变式]如图，以Rt△ABC的三边为边，分别
向外作正方形，它们的面积分别为S1，S2，S3，若
S2＝4，S3＝9，则S1＝ .
第4题图
13　
5. 如图是由四个全等的直角三角形拼接而成的一个
正方形，其中直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，a＞b.利用等面积法验证勾股定理.
解：∵S大正方形＝c2，S大正方形＝4S小三角形＋S小正方形
＝4× ab＋(a－b)2，
∴c2＝4× ab＋(a－b)2.
整理，得2ab＋a2－2ab＋b2＝c2.
∴c2＝a2＋b2.
6. 求图中的Rt△ABC的面积.
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得(x＋4)2＝36＋
x2，
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得(x＋4)2＝36＋x2，
解得x＝ .
所以S△ABC＝ ×6× ＝7.5.
解得x＝ .
所以S△ABC＝ ×6× ＝7.5.
返回
B
返回
返回
5．如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1. “马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为_______.
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6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2．以点A为圆心，以AB长为半径作弧；再以点C为圆心，以BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D，连接BD，则BD的长为________．
课堂小结
这节课有什么收获呢？
勾股定理
内容
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c， 那么 a2 + b2 = c2 .
证法
变式
多种：截、割、补
a2 = c2－b2
b2 = c2－a2
B
A
C
b
a
c

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