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人教版8年级下册培优精做课件20.2.2勾股定理的逆定理的应用第二十章勾股定理授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.1. 理解勾股定理与其逆定理的区别和联系.
2. 灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题，培养应用数学的意识. (重点)
3. 割补思想、转化思想和数形结合思想的应用.
(难点)
A　
B　
C　
a
b
c
勾股定理：
在 Rt△ABC 中，
若∠C = 90°，
则___________
勾股定理的逆定理：
回顾所学，并完成下列框图.
互逆定理
a2 + b2 = c2
在 △ABC 中，若 a2 + b2 = c2，则△ABC 为直角三角形且∠C = 90°.
在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧.
探索新知
如图，港口 P 位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 n mile，“海天”号每小时航行 12 n mile.
它们离开港口 1.5 h 后分别位于点 Q，R 处，且相距 30 n mile. 如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？
例 2
路程 = 速度×时间
远航号
海天号
16×1.5
12×1.5
30
45°
【思考】1.已知哪些条件？
2.需要解决的问题是什么？
也就是求∠2 的度数.
∠2 = 两艘轮船的航向所成的角－45°
远航号
海天号
16×1.5
12×1.5
30
45°
解：根据题意，
PQ = 16 × 1.5 = 24，
PR = 12×1.5 = 18，
QR = 30.
因为 242 + 182 = 302，即 PQ2 + PR2 = QR2，
所以∠QPR = 90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1 = 45°. 因此 ∠2 = 45°，即“海天”号沿西北方向航行.
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1．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于A，B处，且相距20海里，已知甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船的航行方向是(　　)
A．北偏东50° B．北偏东45°
C．南偏东50° D．南偏东60°
A
2．[2025淄博期中]如图，学校在校园围墙边缘开垦了一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9 m，BC＝12 m，CD＝8 m，AD＝17 m，且∠ABC＝90°，则这块菜地的面积是(　　)
A．48 m2 B．114 m2
C．122 m2 D．158 m2
如图，在四边形 ABCD 中，AB = 5，BC = 3，AD = ，DC = . 如果 AC ⊥ BC，判断 AC 与 AD 是否也垂直，并说明理由.
例 3
分析：若能求出 AC 的长，就可以根据勾股定理或其逆定理判断△ACD 是不是直角三角形，从而判断 AC 是否垂直于 AD.
5
3
解：因为 AC ⊥ BC，所以 ∠ACB = 90°.
5
3
在Rt△ABC 中，
AC2 = AB2－BC2 = 52－32 = 16.
所以 AC = 4.
在△ACD 中，
AC2 + AD2 =42 + ，
CD2 =，
所以 AC2 + AD2 = CD2.
因此△ACD 是直角三角形，即 AC ⊥ AD.
应用勾股定理
应用勾股定理的逆定理
复习巩固
1. 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a = 9，b = 40，c = 41；
解:（1）∵ a2 + b2 = 92 + 402 = 81 + 1600 = 1681，
c2 = 412 = 1681，
∴a2 + b2 = c2 . ∴这个三角形是直角三角形.
（2）∵b2 + c2 = 42 + 52 = 16 + 25 = 41，a2 == 41，
∴b2 + c2 = a2 . ∴这个三角形是直角三角形.
（2）a = ，b = 4，c = 5；
（3）a = ，b = 1，c = ；
（4）a = 40，b = 50，c = 60 .
（3）∵b2 + c2 = 12 + = 1 + = ，a2 == ，
∴b2 + c2 = a2 . ∴这个三角形是直角三角形.
（4）∵a2 + b2 = 402 + 502 = 1600 + 2500 = 4100，
c2 = 602 = 3600，
∴a2 + b2 ≠ c2，∴这个三角形不是直角三角形.
2. 已知三条线段的长分别为 6，10，x，以这三条线段为边，
恰好可以构成一个直角三角形，求 x.
解：分两种情况讨论：
①当 x 为直角边时，62 + x2 = 102，∴ x = 8.
②当 x 为斜边时，62 + 102 = x2，∴ x = .
∴ x 为 8 或 .
3. 刘伟先向东走了 80 m，然后换了一个方向走了 60 m，
再换第三个方向走了 100 m，此时恰好回到原地 .
刘伟向哪个方向走了 60 m？请说明理由.
三段路程对应的线段构成三角形.
解：刘伟向北或南走了 60 m. 理由如下：
刘伟的行走路线恰好构成三角形.
∵602 + 802 = 3600 + 6400 = 10000 = 1002 ，
∴ 这个三角形是直角三角形.
∵ 刘伟先向东走了 80 m，∴刘伟向北或南走了 60 m.
综合运用
4. 在△ABC 中，AB = 13，BC = 10，BC 边上的中线 AD = 12.
求 AC 的长.
A
B
C
D
12
13
10
BC = BC = 5
解：在△ABD 中，BD = CD = BC = ×10 = 5，
AD = 12，AB = 13.
∵BD2 + AD2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169，AB2 = 132 = 169，
∴BD2 + AD2 = AB2，∴△ABD 是直角三角形，且∠ADB = 90°.
在△ADC 中，∠ADC = 180°－∠ADB = 90°，
由勾股定理，AC2 = AD2 + CD2 =122 + 52 = 132，∴AC = 13.
5. 如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 是 CD 上一点，
且 CF = CD . 求证 ∠AEF = 90°.
即证△AEF 是直角三角形.
证明: 设 CF = x，易知 DF = 3x，CD = BC = AD = AB = 4x.
∵E是 BC 的中点，∴BE = CE = AB = 2x .
由勾股定理，得 EF2 = CE2 + CF2 = 5x2 ，
AE2 = AB2 + BE2 = 20x2，AF2 = AD2 + DF2 = 25x2，
∴EF2 + AE2 = 25x2 = AF2 .
∴△AEF 是直角三角形，∴∠AEF = 90°.
拓广探索
6. 我们知道 3，4，5 是一组勾股数，那么 3k，4k，5k（k 是正整数）
也是一组勾股数吗？一般地，如果 ɑ，b，c 是一组勾股数，那么
ak，bk，ck（k 是正整数）也是一组勾股数吗？
解：∵(3k)2 + (4k)2 = 9k2 + 16k2 = 25k2，(5k)2 = 25k2，
∴ (3k)2 + (4k)2 = (5k)2 .
又 3k，4k，5k 都是正整数，∴3k，4k，5k 也是一组勾股数.
如果 a，b，c 是一组勾股数，那么 ak，bk，ck 也是一组勾股数.
∵a，b，c 是勾股数，∴a2 + b2 = c2 ，
∴(ak)2 + (bk)2 = a2k2 + b2k2 = (a2 + b2)k2 = c2k2 = (ck)2 ，
故 (ak)2 + (bk)2 = (ck)2 .
又 ak，bk，ck 都是正整数，∴ak，bk，ck 也是一组勾股数.
拓广探索
6. 我们知道 3，4，5 是一组勾股数，那么 3k，4k，5k（k 是正整数）
也是一组勾股数吗？一般地，如果 ɑ，b，c 是一组勾股数，那么
ak，bk，ck（k 是正整数）也是一组勾股数吗？
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【答案】B
3．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是(　　)
A．AB2＝20
B．∠BAC＝90°
C．△ABC的面积为10
D．点A到直线BC的距离是2
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【答案】C
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4．在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是________．

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