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人教版8年级下册培优精做课件章末复习第二十章勾股定理授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.知识结构图
勾股定理
勾股定理的逆定理
直角三角形边长的数量关系
直角三角形的判定
互逆定理
复习回顾
回顾思考：
1.直角三角形三边的长有什么特殊的关系
2.赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法
3.已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三角形
4. 勾股定理的逆定理是如何证明的
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2.
A
C
B
b
a
c
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
几何语言：
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴a2+b2=c2.
勾股定理
1.有一个内角为直角的三角形是直角三角形.
2.两个内角互余的三角形是直角三角形.
3.如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
b
a
c
勾股定理的逆定理
几何语言：∵a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形.
如何判定一个三角形是直角三角形
勾股定理
题设：一个三角形是直角三角形.
结论：两条直角边的平方和等于斜边的平方.
(a2+b2=c2)
勾股定理
的逆定理
题设：一个三角形的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2.
结论：这个三角形是直角三角形.
证明方法：构造相同边长度的直角三角形，证全等（SSS）.
勾股定理逆定理
1. Rt△ABC 中，斜边 BC = 2，则 AB2 + AC2 + BC2 的值为
（　　）
A. 8 B. 4 C. 6 D. 无法计算
A
3. 一直角三角形的三边分别为 2、3、x，那么以 x 为边长的正方形的面积为___________.
2. 如图，∠C =∠ABD = 90°，AC = 4，BC = 3，BD = 12，则 AD 的长为____．
13 或 5
13
【练一练】
4．已知 Rt△ABC 中，∠C = 90°，若 a + b = 14 cm，
c = 10 cm，求△ABC 的面积.
解：∵ a + b = 14，
∴ (a + b)2 = 196.
又∵ a2 + b2 = c2 = 100，
∴ 2ab = 196 - (a2 + b2) = 96.
∴ ab = 24.
∴△ABC 的面积为 24．
例2 在 O 处的某海防哨所发现在它的北偏东 60° 方向相距 1000 米的 A 处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的 B 处.
(1) 此时快艇航行了多少米？
分析：将实际问题转化为几何问题
已知： OA = 1000 米，∠AOC = 30°，∠COB = 45° ，AB⊥OC.
求解： AB 的长.
北
东
O
A
B
60°
45°
C
30°
解：根据题意得∠AOC = 30°，∠COB = 45°，AO = 1000 米.
∴ AC = 500 米，BC = OC.
在 Rt△AOC 中，由勾股定理得
∴ BC = OC = (米).
北
东
O
A
B
60°
45°
C
已知： OA = 1000 米，∠AOC = 30°，
∠COB = 45° ，AB⊥OC.
求解： AB 的长.
30°
∴ AB = AC + BC = (米).
(2) 此时快艇距离哨所多少米？
解：在 Rt△BOC 中，由勾股定理得
北
东
O
A
B
60°
45°
C
分析：将实际问题转化为几何问题，即求 OB 的长.
例3 如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 C1 处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
解析：蚂蚁由 A 点沿长方体的表面爬行到 C1 点，有三种方式：
①沿 ABB1A1 和 A1 B1C1D1 面；②沿 ABB1A1 和 BCC1B1面；③沿 AA1D1D 和 A1B1C1D1 面，把三种方式分别展成平面图形，如下：
①
②
③
解：① 在 Rt△ABC1中，
②在 Rt△ACC1 中，
③在 Rt△AB1C1中，
∴沿路径①走路径最短，最短路径长为5.
①
②
③
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1．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题．对这个问题稍作改编，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＋AC＝9，BC＝3，则AC的长为________．
4
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2．[2025东营]如图所示，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，……按照此规律继续下去，则S2 025的值为________．
3．如图①是浙江某高科技公司生产的一款高清球机，它能进行360°全方位监控与拍摄，夜间的监控距离为150 m．图②中，射线OM，ON是两条相交的公路，∠MON＝30°，将图①的球机安装在公路ON上的A处，OA＝240 m．求该球机夜间
在公路OM上所能监控到的
部分的长度．
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返回
4．如图，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝4，BD＝7，DC＝9，则∠DBA＝________．
45°
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A
6．2025年是“全运年”，第十五届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是
A→B→D和A→C→D．已知AB＝160 m，
AC＝200 m，点C在点B的正东方120 m处，
点D在点C的正北方50 m处．
(1)试判断AB与BC的位置关系，并说明理由；
【解】AB⊥BC.理由如下：
由题知AB＝160 m，AC＝200 m，点C在点B的正东方120 m处，即BC＝120 m.
∵AB2＋BC2＝1602＋1202＝2002＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°.
∴AB⊥BC.
(2)如果小亮沿着A→C→D的路线跑，爸爸沿着A→B→D的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短．

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