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人教版8年级下册培优精做课件数学活动：黄金矩形与剪拼正方形第二十一章四边形授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.1. 理解黄金矩形原理，掌握剪拼正方形的方法.
(重点)
2. 黄金矩形推导、剪拼方案创新. (难点)
3. 体会数学与美学、实践的联系，提升动手与推理能力.
4. 感悟古代数学思想，激发文化探究兴趣.
观察这些图片形中的矩形，有没有发现它们的形状看起来特别和谐、美观？
黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.
活动1：黄金矩形
例1 下面我们做一次折叠活动：
第一步：在一张宽为 2 的矩形纸片的一端，利用图①的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展开.
第二步：如图②，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平.
活动1：黄金矩形
第三步：折出内侧矩形的对角线 AB，并将 AB 折到图③中所示的 AD 处.
第四步：展平纸片，如图④，按照所得的点 D 折出DE，矩形 BCDE 就是黄金矩形，你能说明为什么吗？
活动1：黄金矩形
解：∵正方形 BCNM 的边长为 2，正方形 BCNM 沿 AF 对折，
∴AC = NC = 1.
在△ABC 中，∵BC = 2，AC = 1，
∴AB = = .
∴矩形 BCDE 就是黄金矩形.
∴
F
活动1：黄金矩形
∵AD = AB = ，∴CD = AD－AC = －1.
【归纳总结】
依据勾股定理计算边长，通过比例推导，验证黄金矩形满足宽、长比为 ，理解其美学与数学融合性.
活动1：黄金矩形
刘徽：青朱出入图
以直角三角形的勾、股、弦为边，分别作出正方形
勾自乘为朱方
股自乘为青方
弦2=朱方+青方
弦2=勾2+股2
活动2：剪拼正方形
活动2：剪拼正方形
例2 我国是最早了解勾股定理的国家之一. 魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注中依据割补术而创造了勾股定理的无字证明“青朱出入图”.
a
c
b
a
b
c
a
c
b
a
b
c
解：如图所示，连接大正方形的一条对角线 DE，
可知 S梯形ACDE＝S△ABE＋S△BDE＋S△DBC，
其中，S梯形ACDE＝ (a＋b)(a＋b)
S△ABE＝ ab，S△BDE＝ c2，S△DBC＝ ab，
即 a2＋b2＝c2.
代入可得 (a＋b)2＝ ab＋ c2＋ ab，
【归纳总结】
“出入相补法”是古代数学智慧，借图形变换证明勾股定理，体现数学推导的简洁与巧妙，可迁移用于图形剪拼.
黄金矩形与剪拼正方形
剪拼正方形
黄金矩形
应用:建筑、艺术的美学
比例: 宽∶长=
验证:勾股定理算边长
拓展: 关联勾股定理证明
方法: 出入相补法
(分割+拼接)
原理: 面积不变、边长适配
1. 如图，当以黄金矩形 ABCD 的宽 AB 为边在矩形 ABCD 内部作正方形 ABEF 时，若AF＝－1，则AD的长为（　　）
A. 2 B. 4
C. 2－2 D. 3＋
A
2. 我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取 AB，CD 的中点 E，F，连接 EF；以点E为圆心，以 ED 为半径画弧，交BA的延长线于点G；作 GH⊥CD，交 CD 的延长线于点H，则下列矩形是黄金矩形的是（　　）
A. 矩形 BCHG
B. 矩形EFCB
C. 矩形ADHG
D. 矩形EFHG
C
3. “出入相补”原理是中国古代几何学基本原理之一，由魏晋时期的数学家刘徽提出的，运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就.如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形ABCD，BEFG，AHIG 均为正方形.
(1) 若 S正方形AHIG＝10，AE＝4，则 S△GFI＝( 　 )
A
A. B.14 C.6 D.3
(2) 若AH＝13，BG＝12，则△AJD 与△GIF 的面积之和等于 .

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