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第21章 四边形
一．选择题（共10小题）
1．（2025秋?成都期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB的中点，菱形ABCD的周长为16，则EO的长为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
2．（2026秋?门头沟区校级期末）若一个正多边形的中心角的度数为72°，则这个多边形的边数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2025秋?中宁县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，若点A的坐标为(22，3)，则C点的坐标为（　　）
A．（0，﹣1） B．（0，﹣1.5） C．（0，﹣2） D．（﹣2，0）
4．（2025秋?宣城期末）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比时（如图），可以敲击出音符“sol”的声音．若AB＝10cm，且敲击时发出音符“sol”的声音，则液面高度AC为（　　）
A．5?12 B．55+5 C．55?5 D．125?6
5．（2025秋?漳州期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝8，BC＝20，△EFM的周长是（　　）
A．26 B．28 C．30 D．32
6．（2025秋?宁波期末）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB＝2，则AP为（　　）
A．5+1 B．5?1 C．5?12 D．3?5
7．（2025秋?龙凤区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论不一定正确的是（　　）
A．AC⊥BD B．∠BAD+∠ABC＝180°
C．AD＝BC D．OA＝OC
8．（2025秋?龙凤区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝120cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．当四边形AEFD是菱形时，t的值为（　　）
A．20秒 B．18秒 C．12秒 D．6秒
9．（2025秋?白银期末）如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　）
A．3 B．22 C．10 D．4
10．（2025秋?朝阳区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应添加的条件是（　　）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AO＝DO D．AO＝CO
二．填空题（共5小题）
11．（2025秋?东河区期末）如图，菱形ABCD中，BD＝6，AC＝8，直线EF⊥AB交两对边于点E，F，则EF的长为　 　 ．
12．（2025秋?滨海新区校级期末）如图，已知正方形ABCD的边长为2，以顶点C，D为圆心，2为半径的两弧交于点E，点F为AB边的中点．
（1）连接DE，则DE长为　 　 ；
（2）连接EF，则EF的长为　 　 ．
13．（2025秋?丹东期末）黄金分割在生活中处处可见，如图，银杏叶的主脉可看作线段AB．若点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），银杏叶主脉AB的长度为10cm，则AP的长为　 　 cm．
14．（2025秋?双流区校级期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，BD＝4，则AB的长为　 　 ．
15．（2025秋?青羊区校级期末）黄金分割是汉字结构最基本的规律，借助如图的正方形田字格书写的汉字“蓉”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在田字格的边MN，PQ上，且AB∥NQ，“蓉”字笔画的第八笔“、”经过AB的黄金分割点C，且AC＞CB．若NQ＝4cm，则AC的长为　 　 cm．（结果保留根号）
三．解答题（共5小题）
16．（2025秋?米脂县期末）如图，点E为矩形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，DE，且EA＝EB．求证：ED＝EC．
17．（2025秋?中宁县期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC边于点E，点F在边AD上，且DF＝BE．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）若BF平分∠ABC，且BE＝3，AB＝7，求线段BF的长．
18．（2025秋?遵义校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点B作AC的平行线，两直线相交于点E．
（1）求证：四边形OBEC是矩形．
（2）若BE=33，CE＝3，求菱形ABCD的面积．
19．（2025秋?榆林期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E、F分别在OB，OC上，连接AE，DF，AE＝DF，求证：∠AEO＝∠DFO．
20．（2025秋?昆都仑区校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）连接AE，交CD于点F，当∠ADB＝60°，AD＝23时，直接写出EA的长．
第21章 四边形
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025秋?成都期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB的中点，菱形ABCD的周长为16，则EO的长为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】D
根据菱形的性质可得∠AOB＝90°以及AB＝4，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
【解答】解：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠AOB＝90°，
∵菱形ABCD的周长为16，
∴AB+BC+CD+AD＝16，
∴AB＝4，
∵E是AB的中点，
∴EO=12AB=12×4＝2，
故选：D．
本题主要考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键要明确：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
2．（2026秋?门头沟区校级期末）若一个正多边形的中心角的度数为72°，则这个多边形的边数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
根据正多边形中心角的计算方法列方程求解即可．
【解答】解：设这个正多边形为正n边形，由题意得，
360°n=72°，
解得n＝5，
经检验n＝5是原方程的解，
即正多边形为正五边形，
故选：B．
本题考查多边形的内角与外角，掌握正多边形中心角的计算方法是正确解答的关键．
3．（2025秋?中宁县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，若点A的坐标为(22，3)，则C点的坐标为（　　）
A．（0，﹣1） B．（0，﹣1.5） C．（0，﹣2） D．（﹣2，0）
菱形的性质；坐标与图形性质；勾股定理．
三角形；矩形 菱形 正方形．
【答案】C
在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴AD⊥OD，
∵A(22，3)，
∴OD=22，AD＝3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AD＝3，
在Rt△ODC中，OC=CD2?OD2=32?(22)2=1，
∴C（0，﹣1），
故选：C．
本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．
4．（2025秋?宣城期末）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比时（如图），可以敲击出音符“sol”的声音．若AB＝10cm，且敲击时发出音符“sol”的声音，则液面高度AC为（　　）
A．5?12 B．55+5 C．55?5 D．125?6
黄金分割．
图形的相似；运算能力．
【答案】C
根据黄金分割的定义列式计算即可．
【解答】解：由题意可知，C是AB的黄金分割点，AB＝10cm，
∴AC=5?12AB=5?12×10＝（55?5）（cm），
故选：C．
本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握该知识点是解题的关键．
5．（2025秋?漳州期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝8，BC＝20，△EFM的周长是（　　）
A．26 B．28 C．30 D．32
直角三角形斜边上的中线．
等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】B
根据CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM和ME的长，即可求解．
【解答】解：∵CF⊥AB，M为BC的中点，BC＝20，
∴FM=12BC=10，
同理可得：ME=12BC=10，
∵EF＝8，
∴△EFM的周长＝FM+ME+EF＝10+10+8＝28．
故选：B．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，解题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求线段的长．
6．（2025秋?宁波期末）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB＝2，则AP为（　　）
A．5+1 B．5?1 C．5?12 D．3?5
黄金分割．
计算题．
【答案】B
根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；所以AP=5?12AB，代入数据即可得出AP的长度．
【解答】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，
且AP＞BP，
则AP=5?12a=5?12×2=5?1．
故选：B．
理解黄金分割点的概念．要求熟记黄金比的值．
7．（2025秋?龙凤区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论不一定正确的是（　　）
A．AC⊥BD B．∠BAD+∠ABC＝180°
C．AD＝BC D．OA＝OC
平行四边形的性质．
多边形与平行四边形．
【答案】A
根据平行四边形得到AD＝BC，OA＝OC，AD∥BC，再由平行线的性质得到∠BAD+∠ABC＝180°，但是对角线不一定互相垂直，即可判断．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，OA＝OC，AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
故B、C、D正确，不符合题意，A不一定成立，符合题意，
故选：A．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
8．（2025秋?龙凤区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝120cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．当四边形AEFD是菱形时，t的值为（　　）
A．20秒 B．18秒 C．12秒 D．6秒
菱形的性质．
动点型．
【答案】A
首先证明四边形DFEA是平行四边形，再根据AD＝DF，列出方程求出t即可解决问题．
【解答】解：由题意CD＝4t，AE＝2t，
∵DF⊥BC于F，
∴∠DFC＝90°
在Rt△DFC中，∵∠C＝30°，
∴DF=12CD＝2t，
∴DF＝AE，
∵∠CFD＝∠B＝90°，
∴DF∥AE，
∴四边形DFEA是平行四边形，
∴当DF＝AD时，四边形DFEA是菱形．
∴120﹣4t＝2t，
∴t＝20s，
∴t＝20s时，四边形DFEA是菱形．
故选：A．
本题考查菱形的性质、平行四边形的判定，一元一次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
9．（2025秋?白银期末）如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　）
A．3 B．22 C．10 D．4
矩形的判定与性质；坐标与图形性质．
【答案】C
根据勾股定理求得OD=10，然后根据矩形的性质得出CE＝OD=10．
【解答】解：∵四边形COED是矩形，
∴CE＝OD，
∵点D的坐标是（1，3），
∴OD=12+32=10，
∴CE=10，
故选：C．
本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
10．（2025秋?朝阳区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应添加的条件是（　　）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AO＝DO D．AO＝CO
平行四边形的判定；平行线的性质；全等三角形的判定．
多边形与平行四边形．
【答案】D
根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可．
【解答】解：已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，
选项A：仅AD∥BC且AB＝CD，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 A错误；
选项B：AD∥BC且AC＝BD，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 B错误；
选项C：平行四边形要求对角线互相平分，仅AO＝DO不满足，故C错误；
选项D：∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，
在△DAO和△BCO中，
∠DAO=∠BCOAO=CO∠AOD=∠COB，
∴△DAO≌△BCO（ASA），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
故D正确．
故选：D．
本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质，掌握平行四边形的判定条件是解题关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025秋?东河区期末）如图，菱形ABCD中，BD＝6，AC＝8，直线EF⊥AB交两对边于点E，F，则EF的长为　245　 ．
菱形的性质．
矩形 菱形 正方形．
【答案】245．
利用菱形的性质和勾股定理求出AB的长，再利用等面积法列式运算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，BD＝6，AC＝8，
∴BD⊥AC，OB=12BD=12×6=3，OA=12AC=12×8=4，
∴在Rt△AOD中，AB=OB2+OA2=32+42=5，
∴S菱形ABCD=12AC×BD=AB×EF，
∴12×8×6=5×EF，
解得：EF=245，
故答案为：245．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
12．（2025秋?滨海新区校级期末）如图，已知正方形ABCD的边长为2，以顶点C，D为圆心，2为半径的两弧交于点E，点F为AB边的中点．
（1）连接DE，则DE长为　2　 ；
（2）连接EF，则EF的长为　2?3　 ．
正方形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质．
等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）2；
（2）2?3．
（1）连接DE，根据作图刻可知，即可得出结果；
（2）连接CE，过点E作EG⊥CD，连接FG，易得△CDE为等边三角形，三线合一结合勾股定理求出EG的长，证明E，G，F三点共线，四边形AFGD为矩形，得到FG的长，再根据线段的和差关系进行求解即可．
【解答】解：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，以顶点C，D为圆心，2为半径的两弧交于点E，连接DE，
∴DE＝DC＝2，
故答案为：2；
（2）如图2，连接CE，过点E作EG⊥CD，连接FG，
由题意，CD＝DE＝CE＝2，
∴△CDE为等边三角形，
∴CG=DG=12CD=1，
在直角三角形DEG中，由勾股定理得：EG=DE2?DG2=3，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠DAB＝90°，AD＝2，
∵点F为AB边的中点，
∴AF=BF=12AB，
∴AF＝DG，
∵AF∥DG，
∴四边形AFGD为平行四边形，
∵∠DAB＝90°，
∴四边形AFGD为矩形，
∴FG⊥DC，FG＝AD＝2，
∵EG⊥CD，
∴E，F，G三点共线，
∴EF=FG?EG=2?3；
故答案为：2?3．
本题考查正方形的性质，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13．（2025秋?丹东期末）黄金分割在生活中处处可见，如图，银杏叶的主脉可看作线段AB．若点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），银杏叶主脉AB的长度为10cm，则AP的长为　(55?5)　 cm．
黄金分割．
线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】(55?5)．
根据题意可得APAB=5?12，代入AB＝10cm即可求出AP的长度．
【解答】解：若点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），银杏叶主脉AB的长度为10cm，
∵P是AB的黄金分割点，
∴APAB=5?12，
∴AP=AB×5?12=10×5?12=(55?5)cm．
故答案为：(55?5)．
本题考查黄金分割的定义，正确进行计算是解题关键．
14．（2025秋?双流区校级期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，BD＝4，则AB的长为　2　 ．
矩形的性质；等边三角形的判定与性质．
等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】2．
根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA＝OB＝OD＝OC，由∠AOB＝60°，判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AB即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD＝AC＝2，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝2，
故答案为：2．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断出△AOB是等边三角形是解题的关键．
15．（2025秋?青羊区校级期末）黄金分割是汉字结构最基本的规律，借助如图的正方形田字格书写的汉字“蓉”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在田字格的边MN，PQ上，且AB∥NQ，“蓉”字笔画的第八笔“、”经过AB的黄金分割点C，且AC＞CB．若NQ＝4cm，则AC的长为　（25?2）　 cm．（结果保留根号）
黄金分割．
线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（25?2）．
根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：AB＝NQ＝4cm，
∵点C是AB的黄金分割点，且AC＞CB，
∴AC=5?12AB=5?12×4＝（25?2）cm，
故答案为：（25?2）．
本题考查了黄金分割，准确熟练地进行计算是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025秋?米脂县期末）如图，点E为矩形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，DE，且EA＝EB．求证：ED＝EC．
矩形的性质；全等三角形的判定与性质．
三角形；矩形 菱形 正方形．
【答案】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠BAD＝∠ABC＝90°，
∵EA＝EB，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴∠BAD﹣∠EAB＝∠ABC﹣∠EBA，即∠EAD＝∠EBC，
在△EAD和△EBC中，
EA=EB∠EAD=∠EBCAD=BC，
∴△EAD≌EBC（SAS），
∴ED＝EC．
利用矩形的性质得到边和角的关系，结合已知EA＝EB，通过证明三角形全等得出ED＝EC．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠BAD＝∠ABC＝90°，
∵EA＝EB，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴∠BAD﹣∠EAB＝∠ABC﹣∠EBA，即∠EAD＝∠EBC，
在△EAD和△EBC中，
EA=EB∠EAD=∠EBCAD=BC，
∴△EAD≌EBC（SAS），
∴ED＝EC．
本题主要考查了矩形的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质以及全等三角形的判定定理是解题的关键．
17．（2025秋?中宁县期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC边于点E，点F在边AD上，且DF＝BE．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）若BF平分∠ABC，且BE＝3，AB＝7，求线段BF的长．
矩形的判定与性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．
三角形；矩形 菱形 正方形．
【答案】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝DF，
∴AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴四边形AECF是矩形；
（2）BF的长是235．
（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AF＝EC，结合AE⊥BC，由矩形的判定方法即可求证；
（2）根据平行四边形的性质，角平分线的定义得到AB＝AF＝7，则AD＝BC＝10，由勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝DF，
∴AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴四边形AECF是矩形；
（2）解：∵BF平分∠ABC，AD∥BC，
∴∠ABF＝∠CBF＝∠AFB，
∴AB＝AF＝7，
∵AD＝BC，AF＝CE，
∴DF＝BE＝3，
∴AD＝BC＝AF+DF＝10，
∴AE=CF=AB2?BE2=40=210．
在Rt△BFC中，BF=BC2+CF2=140=235，即BF的长是235．
本题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理等知识的综合，掌握矩形的判定方法及性质是关键．
18．（2025秋?遵义校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点B作AC的平行线，两直线相交于点E．
（1）求证：四边形OBEC是矩形．
（2）若BE=33，CE＝3，求菱形ABCD的面积．
菱形的性质；矩形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．
多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）∵在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴∠BOC＝90°，OC=OA=12AC，OB=OD=12BD，
∵BE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∵∠BOC＝90°，
∴四边形OBEC是矩形；
（2）183．
（1）首先可根据BE∥AC，CE∥BD判定四边形OBEC是平行四边形，然后根据菱形的性质，得到∠BOC＝90°，可判定四边形OBEC是矩形；
（2）根据矩形的性质，菱形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴∠BOC＝90°，OC=OA=12AC，OB=OD=12BD，
∵BE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∵∠BOC＝90°，
∴四边形OBEC是矩形；
（2）解：∵四边形OBEC是矩形，BE=33，CE＝3，
∴OC=BE=33，OB＝CE＝3，
∴AC=2OC=63，BD=2OB=6，
∴S菱形ABCD=12AC?BD=12×63×6=183．
本题主要考查菱形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解题的关键是熟记矩形的各种判断方法．
19．（2025秋?榆林期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E、F分别在OB，OC上，连接AE，DF，AE＝DF，求证：∠AEO＝∠DFO．
正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
图形的全等；矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】∵正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E、F分别在OB，OC上，
∴AC＝BD，∠AOE＝∠DOF＝90°，
∴AO=12AC=12BD=DO，
在Rt△OAE和Rt△ODF中，
AO=DOAE=DF，
∴Rt△OAE≌Rt△ODF（HL），
∴∠AEO＝∠DFO．
先根据四边形ABCD是正方形，得AO＝DO，∠AOE＝∠DOF＝90°，又因为AE＝DF，故Rt△OAE≌Rt△ODF（HL），得∠AEO＝∠DFO，即可作答．
【解答】证明：∵正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E、F分别在OB，OC上，
∴AC＝BD，∠AOE＝∠DOF＝90°，
∴AO=12AC=12BD=DO，
在Rt△OAE和Rt△ODF中，
AO=DOAE=DF，
∴Rt△OAE≌Rt△ODF（HL），
∴∠AEO＝∠DFO．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20．（2025秋?昆都仑区校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）连接AE，交CD于点F，当∠ADB＝60°，AD＝23时，直接写出EA的长．
矩形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．
矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）AE=39．
（1）先证四边形ODEC是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到∠DOC＝90°，根据矩形的定义即可判定四边形ODEC是矩形．
（2）根据含30度角直角三角形的性质、勾股定理来求EA的长度即可．
【解答】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形ODEC是平行四边形．
又∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°．
∴四边形ODEC是矩形．
（2）解：∵Rt△ADO中，∠ADO＝60°，
∴∠OAD＝30°，
∴OD=12AD=3，AO＝3，
∴AC＝6，EC=3，
∴AE=39．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．

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