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2025年上海市中考预测模拟数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若有理数a，b互为相反数，则下列等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．x为任意实数
3．某餐饮公司为一所学校提供午餐，有 元， 元， 元三种价格的盒饭供师生选择，每人选一份，该校师生某一天购买的这三种价格的盒饭数依次占 ，，．那么这一天该校师生购买盒饭费用的平均数和中位数分别是（ ）
A． 元， 元 B． 元， 元 C． 元， 元 D． 元， 元
4．现有五张纸片，这五张纸片上的几何图形分别是等边三角形、矩形、等腰梯形、正五边形、圆，从这五张纸片中任意抽取一张恰好是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心为（ ）
A．点O B．点P C．点Q D．点M
6．在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．若，．则的值为 ．
8．已知，那么 ．
9．在实数范围内分解因式： ．
10．方程的根是 ．
11．世界上最大的沙漠撒哈拉沙漠，位于非洲北部，面积约 906万平方千米，该地区气候条件非常恶劣，是地球上最不适合生物生存的地方之一．数据906万用科学记数法表示为
12．如果关于的方程有两个实数根，那么的取值范围是 ．
13．点在线段上，设，，那么用向量、表示为 ．
14．如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，则到的距离是 （结果保留根号）．
15．虹吸现象描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程．如图1，是利用虹吸现象的原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高．设甲容器中的液面高为（单位：），乙容器中的液面高为（单位：），小明绘制了，关于虹吸时间x（单位：）的函数图象，如图2所示．当甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，x的值为 ．

16．如图，在矩形中，在上取点，连接，在上取点，连接将沿翻折，使得点刚好落在边的处．若，，，则的长是 ．
17．如图，在边长为 2 的正六边形中，G为的中点，点Q为正六边形边上任意一点，以为半径的与以为半径的相交时，那么的半径 r 的取值范围是 ．
18．如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在上（点E，F不与点C重合），半径，分别与，相交于点G，H，则阴影部分的面积为 ．
三、解答题
19．先化简，再求值：，其中
20．解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解．
21．在中，点C是弧的中点，交弦于点D，且D是的中点．
(1)求的度数；
(2)延长交于点E，连接，交于点F，如果，求的长度．
22．近年来，某校积极响应“全民阅读活动”，致力打造“书香校园”，每年划拨专项经费用于图书馆购置图书，确保图书种类齐全、数量充足．该校2022年至2024年图书馆购进新书总支出如图所示：
(1)该校图书馆2024年购进新书总支出比2023年提高了，2022年图书馆购进的图书中，社会科学类图书的支出占购进总支出的，那么2024年与2022年相比，社会科学类图书在购进支出上的增长率为多少？
(2)为了更好地满足师生的阅读需求，该校经过问卷调查和借阅数据的综合分析，2025年新书购进计划在2024年基础上做如下调整：将自然科学类图书的购书金额提高，同时购书的数量增加80册，这样调整后，自然科学类图书的每册均价可比2024年降低20元，那么学校计划2025年购进自然科学类图书多少册？
23．如图，已知平行四边形中，点F是对角线上一点，，延长交边于点E．
(1)求证：；
(2)当时，求证：四边形是菱形．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点，顶点为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点是抛物线上一点，在直线下方的抛物线上有一动点P．连接，求的面积最大值与此时点P的横坐标；
(3)如图2，若点M是抛物线对称轴上的一个动点，且在点C的上方，将点C绕点M逆时针旋转得到对应点H，直线交抛物线于点N（点N与点D不重合）．随着点M的运动，判断点N的坐标是否可求？如能，直接写出点N的坐标、如不能，说明理由．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为边CB上的一个动点（点D不与点B重合），过D作DO⊥AB，垂足为O，点B′在边AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DB′，AD．

（1）求证：△DOB∽△ACB；
（2）若AD平分∠CAB，求线段BD的长；
（3）当△AB′D为等腰三角形时，求线段BD的长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B B D B B B
二、填空题
7．
8．
9．
10．
11．
12．/
13．
14．/
15．
16．
17．
18．
三、解答题
19．解：
，
∵，
∴原式．
20．解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴该不等式组的解集为．
该解集在数轴上表示为：
∴该不等式组的整数解为．
21．（1）解：连接
∵在中，点C是弧的中点，
∴，
∵D是的中点，且，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，且是的直径，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∵在中，点C是弧的中点，
∴，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．（1）解：2024年购进新书总支出：元，
2022年购进社会科学类图书支出：元，
2024年购进社会科学类图书支出：元，
2024年与2022年相比，社会科学类图书支出的增长率：；
（2）解：2024年购进自然科学类图书支出：元，
设2024年购进自然科学类图书x册，那么2025年计划购进此类图书为册，
由题意得 ，
整理得，，
解得，
经检验，是原方程的根，但不符题意，应舍去，
∴，
答：2025年计划购入自然科学类图书180册．
23．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
又∵，，
∴．
又∵，
∴．
∴
∴
∴
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
24．（1）解：∵抛物线的顶点为
∴设抛物线的解析式为，
∵与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点，
∴把代入，
得出，
解得，
∴；
（2）解：过点P作轴交于点H，如图
设直线的解析式为，
把，代入，
得出，
解得，
∴直线的解析式为；
∵点P在抛物线上，
∴设，
∵点H在直线上
∴
∴
，
∵，
∴，
∵，
∴有最大值，
当时，则（最大值），
此时点P的横坐标为；
（3）解：能求出点N的坐标，过程如下：
设点N的坐标为
依题意，点M是抛物线对称轴上的一个动点，且在点C的上方，将点C绕点M逆时针旋转得到对应点H，直线交抛物线于点N（点N与点D不重合）
则过点M作轴的平行线，交轴于一点Q，过点H作轴的平行线交直线于一点F，如图：
∴，，
则，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点H的坐标为，
即，
设直线的解析式为
∵，
∴把，代入，
得
解得
∴直线的解析式为，
依题意，得出，
即，
∴，
解得（舍去，因为点N不与点D重合），
∴．
25．（1）证明:∵DO⊥AB，∴∠DOB＝90°，
∴∠ACB＝∠DOB＝90°,
又∵∠B＝∠B．∴△DOB∽△ACB．
（2）∵AD 平分∠CAB，DC⊥AC,DO⊥AB,
∴DO＝DC,
在 Rt△ABC 中，AC＝6，BC＝,8，∴AB＝10,
∵△DOB∽△ACB,
∴DO∶BO∶BD＝AC∶BC∶AB＝3∶4∶5,
设BD＝x，则DO＝DC＝x，BO＝x,
∵CD＋BD＝8，∴x＋x＝8，解得x＝,5，即：BD＝5．
（3）∵点B 与点B′关于直线DO 对称，∴∠B＝∠OB′D，
BO＝B′O＝x，BD＝B′D＝x,
∵∠B 为锐角，∴∠OB′D 也为锐角，∴∠AB′D 为钝角,
∴当△AB′D 是等腰三角形时，AB′＝DB′,
∵AB′＋B′O＋BO＝10，
∴x＋x＋x＝10，解得x＝，即BD＝，
∴当△AB′D 为等腰三角形时，BD＝.
点睛：角平分线问题的辅助线添加及其解题模型.
①垂两边：如图（1），已知平分，过点作，，则.
②截两边：如图（2），已知平分，点上，在上截取，则≌.
③角平分线+平行线→等腰三角形：
如图（3），已知平分，，则；
如图（4），已知平分，，则.
④三线合一（利用角平分线+垂线→等腰三角形）：
如图（5），已知平分，且，则，.

(5)
答案第1页，共2页
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