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江苏省扬州市树人中学2025-2026学年九年级（上）数学期中练习卷
一、选择题
1.在比例尺为的地图上，两处景点的距离为，则这两处景点的实际距离为( )
A. B. C. D.
2.∽，若，，则与的周长比是( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
3.一元二次方程的解为( )
A. ， B. ， C. D.
4.已知的直径为，点在内，则的长可能是( )
A. B. C. D.
5.如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，切点为，若大圆的半径是，小圆的半径是，则的长为 ( )
A. B. C. D.
6.已知关于的一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
7.下列说法正确的是( )
A. 三点确定一个圆 B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 相等的圆心角所对的弦长相等 D. 三角形的外心是三条边垂直平分线的交点
8.如图，在中，，点是边上一点，以为直径的交于点，将沿翻折恰好经过圆心，若，，则的半径为( )
A. B. C. D.
二、填空题
9.某校举办了演讲比赛．已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为分，分，分，若依次按照的比例确定成绩，则该选手的成绩是 分．
10.已知是线段的黄金分割点，，，则 ．
11.将一元二次方程配方为的形式为 ．
12.已知是方程的根，则___________
13.圆是轴对称图形，有 条对称轴．
第14题图 第15题图 第17题图 第18题图
14.如图所示，是的外接圆，是弧上一点，连接，并延长至，连接，若，，则 ．
15.如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为______．
16.已知圆锥的底面直径为，其母线长为，则它的侧面积为 ．
17.如图，圆内接矩形中，点为边的中点若，，则图中阴影部分的面积为 ．
18.如图，正方形的边长为，，为线段上的两个动点，，交对角线于点，连接，交于点，连接，则线段长的最小值为 ．
三、解答题
19.解方程：．
20.已知关于的一元二次方程．
求证：此方程总有两个实数根；
若此方程有一个根为，求方程的另一个根．
21.某校深入开展了以“珍爱生命谨防溺水”为主题的安全教育活动，并在九年级举办了防溺水知识竞赛，从两班各随机抽取了名学生的成绩，整理如下：成绩得分用表示，共分成四组：，，，
九年级班名学生的成绩是：，，，，，，，，，．
九年级班名学生的成绩在组中的数据是：，，．
通过数据分析，结果如下：
九年级班、班抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
九年级班
九年级班
根据以上信息，解答下列问题：
直接写出上述、、的值： ______， ______， ______；
学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由．
九年级两个班共有人参加了此次活动，估计两个班参加此次活动成绩优秀的学生总人数是多少？
22.今年某电动自行车店的某品牌电动自行车月销售辆，月销售辆．
求该品牌电动自行车销售量的月平均增长率；
若该品牌电动自行车的进价为元，售价为元，则该店月至月共盈利多少元？
23.如图，在中，，以为直径的交边于点，连结，过点作．
请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点不写作法，保留作图痕迹，标明字母．
在的条件下，求证：．
24.“荔枝”是深圳地方名优特产，深受消费者喜爱．某超市购进一批“荔枝”，进价为每千克元．调查发现，当销售单价为每千克元时，平均每天能售出千克，而当销售单价每降价元时，平均每天能多售出千克，设每千克降价元．
当每千克荔枝降价元时，每天销量可达 千克，每天盈利 元；
若超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到元，且让顾客得到实惠，则每千克应降价多少元？
25.如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为．
求证：是的切线；
若，，则阴影部分的面积？
26.某校数学实践社团开展了一次“利用数学知识测量学校操场上旗杆高度”的实践活动，该校九年级学生积极参与．小红和小华决定利用下午活动课的时间，用测量影长的方式求出旗杆高度．经测量，站在旗杆底部的小红落在地面上的影长为米，同一时刻，测得旗杆的影子一部分落在地面上，另一部分影子落在了教学楼上，已知旗杆和教学楼的水平距离为米，影长为米，小红的身高是米，且、、三点在同一条直线上，请根据小红和小华的测量结果，求出旗杆的高度．
27.定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点．
如图，、是的等垂弦，，垂足分别为，．求证：四边形是正方形；
如图，是的弦，作，分别交于，两点，连接分别交、与点、点．求证：，是的等垂弦；
已知的直径为，、是的等垂弦，为等垂点．若求的长．
28.【问题提出】如图，在等腰直角三角形中，，为等边三角形，，则线段的长为 ．
【问题解决】如图，在等腰直角三角形中，，，以为直径作半圆，为上一动点，求点，之间的最大距离．
【问题探究】一次手工制作课程中，老师要求小明和小丽制作一种特殊的部件，部件的要求如图，它由直角三角形以及弓形组成，其中，，，，为的中点，小明和小丽在讨论这个部件，小丽说点到的最大距离是点，之间的距离，小明说不对，你认为谁的说法正确？请说明理由，并求出点到的最大距离．
参考答案
一．选择题
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
二、填空题
9.
10.
11.
12.
13.无数
14.
15.
16.
17.
18.
三、解答题
19.解：将原方程左边分解因式，得
，
或，
，．
20.解：，
方程总有两个实数根；
设方程的另一个根为，
则，
解得，
故另一个根为．
21.解：九年级班名学生的成绩按由小到大的顺序排列为：，，，，，，，，，，
成绩为分的学生有名，最多，
．
九年级班组有人，
扇形统计图中组所占百分比为，
扇形统计图中组所占百分比为，
．
故答案为：，，；
选派九年级班，理由如下：
两个班的平均成绩相同，而九年级班的方差为，九年级班的方差为，
九年级班成绩更平衡，更稳定，
学校会选派九年级班．
九年级班组的人数为人，优秀的总计有人，
九年级班名学生的成绩为优秀的有人．
估计参加此次调查活动成绩优秀的九年级学生人数是．
22.设月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
答：该品牌电动自行车销售量的月平均增长率；
根据题意可知，元，
答：该店月至月共盈利元．
24.（1）解：当每千克荔枝降价元时，销量为千克，
每天盈利为：元
所以，每天销量可达千克，每天盈利元，
故答案为：，；
（2）解：设应降价元，根据题意得，
，
解得或，
为让顾客得到实惠，取，
所以，每千克应降价元．
25.证明：如图所示，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：如图所示，连接，
为直径，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
．
26.解：延长交延长线于点，

由题意知，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
答：旗杆的高度为米．
27.（1）证明：根据题意，得，，，
四边形是矩形，
，
根据垂径定理，得
四边形是正方形．
（2）证明：，，
，
，
，
；
连接，设，交点为，
，
，
，
．
，是的等垂弦．
（3）解：当等垂点位于圆内，如答图所示，过点作，垂足分别为，，
根据题意，得，
四边形是矩形，
，
，
四边形是正方形，
．
，
设，，
，
，
，
连接，
的直径为，
，
根据勾股定理，得，
，
解得舍去，
；
当等垂点位于圆外时，如答图所示，过点作，垂足分别为，，
根据题意，得，
四边形是矩形，
，
，
四边形是正方形，
．
，
设，，
，
，
，
连接，
的直径为，
，
根据勾股定理，得，
，
解得舍去，
．
综上所述，或．
28.解：（1）
（2）如图，连接并延长交于点当点与点重合时，点，之间的距离最大．理由如下：
在上取异于点的点，连接，在中，因为，所以，即在等腰直角三角形中，因为为的中点，所以，所以，所以点，之间的最大距离为．
（3）小明的说法正确．理由如下：
如图，过点作，交的延长线于点因为为的中点，，所以所在圆的圆心在直线上．设的半径为，连接，，连接并延长交于点在中，，且，所以同理可知，当点移动到任意位置且不与点重合时，，所以点到的最大距离为的长，所以小明的说法正确．在中，，，且，所以，解得，所以因为，所以四边形是矩形，，所以在中，所以，所以点到的最大距离为．

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