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2025年上海市初中学业水平考试考前模拟练习 数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列实数中，属于有理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．2025年被称为“平方年”，那么2025的算术平方根是（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
3．数据33，34，36，39，38，37，33的中位数和众数是（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．在锐角中，边上的高的长为h，设，则下列数据中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列说法中，错误的是（ ）
A．顶角为的等腰三角形，底角的正切值为
B．顶角为的等腰三角形，底角的正切值为
C．所有内角含的等腰梯形，对角线一定和下底相等
D．平行四边形对角线分得的四个小三角形面积相等
6．在中，点D、E分别在边上，且，那么下列说法中，正确的个数有（ ）
（1）若以点D为圆心，为半径的圆和线段没有第二个公共点，则；
（2）若点D是线段的中点，则；
（3）若是直角三角形，则；
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
7．计算的结果是 ．
8．因式分解的结果是 ．
9．电影《哪吒之魔童闹海》的票房突破150亿元，将“150亿”用科学记数法表示为 ．
10．正十五边形其中一个内角的度数为 ．
11．抛物线的图象不经过第一、二象限，那么a的取值范围是 ．
12．直线向左平移3个单位得到直线，那么b的值为 ．
13．徐家汇地铁站共有19个连续编号的出口（如1号口、2号口），小明从徐家汇地铁站出站时，恰好发现该出口所对应的号码为素数的概率为 ．
14．平行四边形中，点O是对角线、的交点，设，，那么用和表示的结果是 ．
15．我们知道凸透镜的焦距公式为，其中f是凸透镜的焦距，u表示物距，v表示像距． 若凸透镜和物体距离时，凸透镜另一侧的光屏上成了一个清晰的像，仅移动凸透镜，将像距减小，光屏上又成了一个清晰的像，那么该凸透镜的焦距是 ．
16．如图，等腰直角中，且，连接交于点，点是边上一点，，则的长为 ．
17．对于任意二次函数，它的“子函数”形如，若一个二次函数的“子函数”过点，则当两函数的函数值相等时，对应的x的值为 ．
18．如图，矩形中，，以点C为圆心，为半径作． 直线和都和相切（E在F上方），连接，则的值为 ．
三、解答题
19．计算：．
20．解方程：
21．如图，线段的中点是点，以点为圆心，为半径作，点是上一点（不在直线上），连接、、．
(1)求证：．
(2)若，求的值．
22．小明所在的数学学习小组对“分割等腰三角形”产生兴趣，并设计了如下问题，请你帮助他们完成：
探究过等腰三角形顶点的直线对该等腰三角形的分割
任务一 对于一个锐角等腰三角形，若分割得的两个三角形都是直角三角形，那么该等腰三角形的_____（选填“高”“中线”“角平分线”）一定在该直线上．
任务二 若分割得的两个三角形中，有一个三角形是直角三角形，另一个三角形是等腰三角形．现给出如下三种等腰三角形，判断它们是否能符合上述条件，若可以，请直接写出两小三角形的面积比． （1）顶角为60°的等腰三角形； （2）顶角为90°的等腰三角形； （3）顶角为120°的等腰三角形．
任务三 若分割得的两个三角形都是等腰三角形．现给出如下三种等腰三角形，判断它们是否能符合上述条件，若可以，请直接写出两小三角形的面积比． （1）顶角为36°的等腰三角形； （2）顶角为90°的等腰三角形； （3）顶角为108°的等腰三角形． 若还有其他三角形符合上述条件，请直接写出该三角形的顶角．
23．正方形中，是边上一点，连接，过点作，垂足为点，且，连接．
(1)求证：．
(2)设直线交于点．连接，若，求证：．
24．
定义 平面直角坐标系中，抛物线的顶点和图像上两点、组成一个等腰直角三角形，且直线平行于轴，那么称为抛物线的“特征三角形”，线段的长称为抛物线的“特征值”．
根据定义完成下列问题．
(1)已知平面直角坐标系中，抛物线的顶点是点，且经过点．
①求抛物线的表达式，并求“特征三角形”的面积（在的左侧）．
②若抛物线的顶点为点，其“特征三角形”另外两个顶点为、（在的左侧），若以点、、、组成的四边形是正方形，求抛物线的表达式．
(2)现对定义提出以下命题：
命题一 若两抛物线二次项系数绝对值相同，它们的“特征值”一定相等．
命题二 若两抛物线二次项系数比设为，它们的“特征值”比值一定为．
以上命题中，成立的是 （填写命题序号），尝试通过举例证明你的选择．
25．已知中，，，，点是射线上一点，以点为圆心，为半径的交线段的延长线于点，过点作，和的另一个交点记作点． 连接．
(1)若直线和相切，求线段的长．
(2)请在答题纸相应位置内，仅用无刻度直尺和圆规作图，使得是等腰三角形（标明每种情况下相等的边），并求出各个情况下的面积．
(3)连接． 将沿直线翻折，得到（点对应点为点），若和的一边平行，求的长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C C B B C B
二、填空题
7．225
8．
9．
10．
11．
12．0
13．
14．
15．
16．
17．1或2
18．
三、解答题
19．解：原式．
20解：方程两边同时乘以得，，
整理，得 ，
化简，得，
解得，，
经检验、都是原方程的根，
所以原方程的根为，．
21．（1）证明：∵，
，
在与中，
，
∴．
（2）解：过点作，垂足为点．过点作，垂足为点．
∴是等腰直角三角形，
根据勾股定理可知，
设，
则，
在中，∵，
．
22．解：①任务一
过等腰三角形顶点的直线将等腰三角形分割成两个三角形，分割成的两个三角形均为直角三角形，则三角形的一条高一定在这条直线上，
故答案为：高；
②任务二
（1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，过等边三角形的顶点分割等边三角形，分割成的两个三角形若其中一个为直角三角形，则另外一个也是和它全等的直角三角形，这两个直角三角形的内角从小到大为30°、60°、90°，如图：
故（1）中三角形不符合条件；
（2）可以，两小三角形面积比为．如图虚线（顶角角平分线所在直线）可将等腰直角三角形分为两个全等的小等腰直角三角形：
（3）可以，面积比为或，如图中直线（将顶角分为90°和30°的直线）即为所求直线：
设，则，
过A作于E，则，
∴．
③任务三
（1）可以，面积比为或，如图中（底角角平分线所在直线）即为所求直线：
设，
∵，
∴，
∴，即，即，解得，
∵，∴，
∴，或；
（2）可以，面积比为，如图中虚线（等腰直角三角形斜边上的高所在直线）即为所求直线：
（3）可以，面积比为或，如图中（将顶角平分为36°角和72°角的直线即为所求：
由任务三（1）解答过程可知顶角为的等腰三角形的底和腰的比，即本题的为，
故可设，
∴，或；
其他三角形的顶角：，如图：
由图得，即．
则顶角为
23．（1）证明：过点作，垂足为点．
∵四边形是正方形，
在与中，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴由勾股定理可知，
∴．
24．（1）解：（1）①∵抛物线的顶点是点，且经过点，
设抛物线的表达式为，
∴，
解得：，
∴，
即抛物线的表达式为，
如图，设直线与抛物线：交于点，（在的左侧），
∴轴，
联立，解得：或，
∴，，
∴，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
又∵轴，
∴称为抛物线的“特征三角形”，
此时，
∴抛物线的表达式为，“特征三角形”的面积为；
②由①知：轴，
∵以点、、、组成的四边形是正方形（在的左侧），
∴，，
如图，
当在下方时，则，，
当在上方时，
∵为的“特征三角形”（在的左侧），
∴，
设的表达式为，过点，
∴，得：，
∴，
此时抛物线的表达式为；
当在下方时，，
设的表达式为，过点，
∴，得：，
∴，
此时抛物线的表达式为；
当在上方时，则，，
当在上方时，，
设的表达式为，过点，
∴，得：，
∴，
此时抛物线的表达式为；
当在下方时，，
设的表达式为，过点，
∴，得：，
∴，
此时抛物线的表达式为；
综上所述，抛物线的表达式为或或或；
（2）解：命题一和命题二都成立，
故答案为：一，二；
证明：
命题一：设两抛物线的表达式为和，
它们的二次项系数分别和，且
即两抛物线二次项系数绝对值相同，
设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（在的左侧），则轴，如下图，
联立，解得：或，
∴，，
∴，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
又∵轴，
∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为；
设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（在的左侧），则轴，
联立，解得：或，
∴，，
∴，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
又∵轴，
∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为，
∴这两个抛物线的“特征值”相等，
∴若两抛物线二次项系数绝对值相同，它们的“特征值”一定相等；
命题二：设两抛物线的表达式为和，
它们的二次项系数分别和，比值为，
设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（在的左侧），则轴，如上图，
联立，解得：或，
∴，，
∴，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
又∵轴，
∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为；
设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（左的左侧），则轴，
联立，解得：或，
∴，，
∴，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
又∵轴，
∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为，
∴，
∴若两抛物线二次项系数绝对值相同，它们的“特征值”一定相等；
和，命题一的证明可以基于第（1）②小题）
∴若两抛物线二次项系数比设为，它们的“特征值”比值一定为．
25．（1）解：如下图所示，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，
，
，
在中，，
，
设，，
在中，，
，
在中，，
弦，
，
，
在中，，
，
解得：
，
，
在中，，，
∴，
，且，
；
（2）解：如下图所示，当时，以点为圆心，为半径画圆，
此时，
，
∵
∴
∴，
∴
∴
∴
∴
；
如下图所示，当时，以点为圆心，为半径画圆，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设
∴，
∵，则，
∴
如图，在上取点，使得，
∴
设，则，
在中，
∴
解得：
∴，，
∴，，
如图，过点作于点，
∴
∴
，
；
如下图所示，当时，
作线段的垂直平分线，
同理可得，
，，
；
（3）解：如下图所示，若，
又∵
∴四边形是平行四边形，则，
∵，
∴，
∴，
②，
过点作，垂足为点．过点作，垂足为点．连接，交于，
设，
由（2）②可得：，
则，，
∵
∴
∴
∴，
则，
在中，，，
，，
，
③，如图，
过点作，垂足为点．过点作，垂足为点．过点作，垂足为点．
∵
∴
如图，在上取点，使得，则，作，
∴
∴，
根据角平分线的性质可得到的距离相等，设到的距离为
∴
∴
由（2）②可得，,，
∴
∴，
又∵
在中，，
∴
解得：或（舍去）
∴
∴
∴，
设，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴
则，
，
解得：（舍去）
则，
综上所述，或或
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