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2024-2025学年甘肃省武威市凉州区联片教研九年级12月月考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是方程的一个根则代数式的值是( )
A. B. C. D.
2.若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的边长为( )
A. B. C. D.
3.把二次函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是( )
A. B. C. D.
4.二次函数满足以下三个条件：；；，则它的图象可能是( )
A. B.
C. D.
5.如图，，，在线段上，交于，将绕点顺时旋转得，当点在上时，的长为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，点、、、都在上，，，则( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在正八边形中，连接，，，，与交于点下列结论：；；；，其中正确结论的序号是( )
A. B.
C. D.
9.圆锥的底面半径为，侧面积为，则圆锥的母线长为( )
A. B. C. D.
10.已知内接于，点从圆周上某一点开始沿圆周运动，设点运动的路线长为，的面积为，随变化的图象如图所示，其中．
点在运动的过程中，始终有；
点的纵坐标为；
存在个点的位置，使得．
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为______．
12.将抛物线向下平移个单位，所得抛物线的解析式是______．
13.当或时，代数式与的值相等，则函数与轴的交点为______．
14.如图，点是在正内一点，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，四边形的面积为______．
15.如图，是城市雨水排水管道的横截面，的半径为水的最深处到水面
的距离为，则水面的宽度是______．
16.如图，已知点是直线外一点，于点，且，点，均在直线上，，则的最小值为______．
17.等边的边长为，点、、分别为边，，的中点，若分别以，，为圆心，为半径，作三个的扇形，则图中阴影部分的面积为______．
18.如图，在正五边形中，点是边的中点，连接、，交于点，则 ______．
三、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
如图所示，的顶点在的网格中的格点上．
画出绕点顺时针旋转得到的；
在图中确定格点，并画出一个以、、、为顶点的四边形，使其为中心对称图形．
20.本小题分
用适当的方法解下列方程．
；
．
21.本小题分
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫每降价元，那么商场平均每天可多售出件，若商场想平均每天盈利达元，求每件衬衫应降价多少元？
22.本小题分
已知抛物线的对称轴为直线．
求的值；
将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，求得到的新抛物线是否经过点．
23.本小题分
如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点在的延长线上．
求证：．
24.本小题分
如图，是的直径，是的弦，，垂足为，为弧上一点，且弧弧，连接交于点，连接．
求证：；
若，，求的长．
25.本小题分
如图，是的直径，于点，为的中点，过点作交的延长线于点点在上，交于点．
求证：是的切线；
若，，求的长．
26.本小题分
如图，四边形内接于，是四边形的一个外角，且平分．
求证：；
若，，求的长度．
27.本小题分
综合与探究：
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线上点与点之间的动点不包括点，点．
求抛物线的解析式；
如图，动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标；
如图，过原点作直线交抛物线于、两点，点的横坐标为，点的横坐标为求证：是一个定值．
参考答案
一．选择题
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
二、填空题
11.
12.
13.和
14.
15.
16.
17.
18.
三、解答题
19.解：如图，即为所求；
如图，格点，，即为所求；
20.解：，
，
或，
解得：，．
，，，
，
，
，．
21.解：设每件衬衫应降价元，则每件衬衫盈利元，销售量为件，
由题意得，，
整理得：，
解得或，
要尽快减少库存，
，
答：每件衬衫应降价元．
22.解：对称轴为直线，
解得，
的值为；
由可知，，
将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，
可得，
将代入，
解得，
得到的新抛物线经过点．
23.证明：绕点逆时针旋转得到，点在的延长线上，
≌，，
，
，
，
．
24.证明：是的直径，是的弦，，
，
又，
，
．
解：连接，
，
，
又，，
，
是的直径，是的弦，，
．
25.证明：是的中点，，
为的垂直平分线，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
是的直径，弦于点，
，
即为的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
是半径，
与相切．
解：是的直径，弦于点，
是中点，
即为的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，，
，
在中，，，，
，
，
，
在中，，，，
．
26.证明：平分，
，
，，
，
；
解：连结、，如图，
，
为等边三角形，
，
，
的长度
27.解：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，把点和点的坐标代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
解：如下图所示，过点作轴，交于点，
设直线的解析式为，把点和点的坐标代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
点是抛物线上点与点之间的动点不包括点，点设点的横坐标为，则点的纵坐标为，
点的横坐标为，点的纵坐标为，
，
，
整理得：，
可知当时，的面积有最大值，最大值是，
当时，，
此时点的坐标为；
证明：设直线的解析式为，
解方程组，
可得：，
整理得：，
一元二次方程中，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
这两个不相等的实数根分别为、，
则有，
是一个定值．

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