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第四单元 比例
第11课时 用反比例解决问题
小学数学·六年级（下）·人教版
教学目标
1.学生能准确判断实际问题中的两种量是否成反比例关系，掌握用反比例解决实际问题的步骤和方法，能正确列式求解。。
2.通过“阅读理解—分析数量关系—建立模型—解答验证”的探究过程，提升分析问题、构建数学模型的能力。
3.感受数学与生活的紧密联系，体会反比例模型的实用价值，激发运用数学知识解决实际问题的兴趣。
教学重难点
1.教学重点
判断实际问题中的反比例关系，掌握用反比例解决问题的方法。
2.教学难点
从实际问题中提炼“乘积一定”的数量关系，建立反比例方程。
目 录
课堂导入
01
教学过程
02
课堂练习
03
课堂小结
04
课堂导入
01
同学们，我们学习了反比例的意义，谁能说说两种量成反比例需要满足什么条件？
需要满足两个条件：
（1）两种相关联的量。
（2）乘积一定。
地要运一批水泥，每次运10吨，12次可以运完；如果每次运15吨，需要运几次？大家先用算术方法试试，再想想能不能用我们学的反比例知识解决？
10×12÷15
=120÷15
=8（次）
答：需要运8次。
这道题里藏着反比例关系，今天我们就来学习——用反比例解决实际问题。
教学过程
02
（一）探究例题，建立反比例解题模型。
某办公楼原来平均每天照明用电 100 千瓦时。改用节能灯以后，平均每天只用电 25 千瓦时。原来 5 天的用电量现在可以用多少天？
题中有哪两种相关联的量？
每天用电量和用电天数。
这两种量的变化有什么规律？每天用电量和用电天数成什么比例关系？
每天用电量越少，用电天数越多；每天用电量×用电天数=总用电量，总用电量是不变的。成反比例关系！
某办公楼原来平均每天照明用电 100 千瓦时。改用节能灯以后，平均每天只用电 25 千瓦时。原来 5 天的用电量现在可以用多少天？
那“原来每天用电量×原来天数”和“现在每天用电量×现在天数”的乘积相等（都是总用电量）。我们设现在可以用x天，列出方程：
25x=100×5
解：原来 5 天的用电量现在可以用x天。
某办公楼原来平均每天照明用电 100 千瓦时。改用节能灯以后，平均每天只用电 25 千瓦时。原来 5 天的用电量现在可以用多少天？
25x=100×5
解：原来 5 天的用电量现在可以用x天。
25x=500
25x=500
x=20
答：原来 5 天的用电量现在可以用20天。
某办公楼原来平均每天照明用电 100 千瓦时。改用节能灯以后，平均每天只用电 25 千瓦时。原来 5 天的用电量现在可以用多少天？
（二）变式练习，深化解题步骤。
如果现在要求用30天，那么平均每天用电多少千瓦时？请大家用反比例知识解答。
解：设每天用电x千瓦时。
30x=100×5
30x=500
x=
答：每天用电千瓦时。
大家总结一下，用反比例解决问题的步骤是什么？
审：审题，找出两种相关联的量；
判：判断两种量是否成反比例（乘积一定）；
设：设未知量为x；
列：根据乘积相等列出方程；
解：解方程；
验：检验结果是否合理。
（三）对比正反比例解题，厘清差异。
我们对比一下用正比例和反比例解决问题的区别：
解题类型 正比例解题 反比例解题
数量关系
列方程依据
例子
比值一定（y：x=k）
乘积一定（xy=k）
两组量的比值相等
两组量的乘积相等
单价一定，总价和数量
总价一定，单价和数量
课堂练习
03
1.判断下面问题适合用正比例还是反比例解，并说明理由。
（1）食堂买大米，每袋50千克，买12袋；如果每袋60千克，可以买几袋？
（2）3小时行240千米；5小时行多少千米？
反比例（总质量一定，每袋质量×袋数=总质量，乘积一定）
正比例（速度一定，路程÷时间=速度，比值一定）
2.一批货物，每次运12吨，10次可以运完；如果每次运15吨，需要运几次？
解：设需要x次
15x=12×10
15x=120
x=8
答：需要运8次.
3.用边长4分米的方砖铺地，需要180块；如果改用边长6分米的方砖，需要多少块？（提示：先算每块砖的面积）
铺地面积：4×4=16（平方分米）
6×6=36（平方分米）
解：设需要x块
6×6×x=4×4×180
x=80
答：需要80块。
4.某工厂生产一批零件，每天生产120个，20天完成；如果要15天完成，每天需要生产多少个？
解：每天需要生产x个。
15x=120×20
15x=240
x=16
答：每天需要生产16个。
5.一辆货车从A地到B地，计划每小时行45千米，8小时到达；实际提前2小时到达，实际每小时行多少千米？
8-2=6（小时）
解：实际每小时行x千米。
6x=45×8
6x=360
x=60
答：实际每小时行60千米。
课堂小结
04
1.先判断两种量是否成反比例（乘积一定），再设未知数，根据乘积相等列方程，解方程后验证。
本节课你有哪些收获？
课程结束，谢谢参与！
第四单元 比例第四单元 第11课时 用反比例解决实际问题 教学设计
一、教材分析（核心素养视角）
本节课是在学生掌握反比例意义后的应用课，属于“数与代数”领域比例知识的核心应用环节。
数感与量感：通过分析“总量一定”的实际问题（如运货、铺地、行程），学生能深化对“乘积一定”的理解，建立“总量不变”与两种变量的关联，提升对数量关系的感知能力。
符号意识：用字母表示未知量，通过反比例关系式 （一定）建立方程，将实际问题抽象为数学符号模型，培养抽象表达能力。
推理意识：经历“判断反比例关系→建立比例方程→求解验证”的完整过程，发展从实际情境中提炼数学模型、演绎推理解决问题的能力。
应用意识：结合运货、铺地砖、生产等生活场景，体会反比例在解决实际问题中的价值，学会用数学知识解决生活中的变量关系问题。
模型观念：构建“实际问题→判断反比例→建立 模型→求解”的思维路径，理解反比例模型的应用条件和方法。
二、教学目标
1.学生能准确判断实际问题中的两种量是否成反比例关系，掌握用反比例解决实际问题的步骤和方法，能正确列式求解。
2.通过“阅读理解—分析数量关系—建立模型—解答验证”的探究过程，提升分析问题、构建数学模型的能力。
3.感受数学与生活的紧密联系，体会反比例模型的实用价值，激发运用数学知识解决实际问题的兴趣。
三、教学重难点
重点：判断实际问题中的反比例关系，掌握用反比例解决问题的方法。
难点：从实际问题中提炼“乘积一定”的数量关系，建立反比例方程。
四、教学准备
教师：多媒体课件（含例题情境、数量关系表格、正反比例应用对比图）、实物投影。
学生：练习本、铅笔、直尺。
五、课堂导入
导入内容
复习回顾：“同学们，上节课我们学习了反比例的意义，谁能说说两种量成反比例需要满足什么条件？”（学生回答：相关联、变化方向相反、乘积一定）
创设情境：“工地要运一批水泥，每次运10吨，12次可以运完；如果每次运15吨，需要运几次？大家先用算术方法试试，再想想能不能用我们学的反比例知识解决？”
导入新课：“这道题里藏着反比例关系，今天我们就来学习——用反比例解决实际问题。”
【设计意图：
从复习反比例定义入手，结合生活中的运货情境，既激活旧知，又通过算术方法与比例方法的衔接，让学生初步感知反比例的应用价值，明确本节课学习目标。】
六、教学过程
环节1：探究例题，建立反比例解题模型
师：一个办公楼原来平均每天照明用电100千瓦时，改用节能灯后，平均每天只用电25千瓦时。原来5天的用电量现在可以用多少天？
师：请大家先读题，说说题中有哪两种相关联的量？
生1：每天用电量和用电天数。
师：这两种量的变化有什么规律？它们的乘积表示什么？
生2：每天用电量越少，用电天数越多；每天用电量×用电天数=总用电量，总用电量是不变的。
师：所以每天用电量和用电天数成什么比例关系？
生：成反比例关系！
师：非常准确。既然成反比例，那“原来每天用电量×原来天数”和“现在每天用电量×现在天数”的乘积相等（都是总用电量）。我们设现在可以用天，列出方程：
师：谁来说说这个方程的含义？
生3：左边是现在的总用电量，右边是原来的总用电量，总用电量不变，所以相等。
师：接下来解这个方程：
师：我们验证一下：原来总用电量千瓦时，现在每天用25千瓦时，天，结果正确。
【设计意图：通过分析用电问题中的数量关系，引导学生先判断反比例关系，再建立方程，最后求解验证，完整经历反比例解题的核心流程，建立解题模型。】
环节2：变式练习，深化解题步骤
师：我们把例题变一变：如果现在要求用30天，那么平均每天用电多少千瓦时？请大家用反比例知识解答。
生4：还是总用电量不变，每天用电量和天数成反比例。设每天用电千瓦时，方程是。
师：解这个方程：
（或写成分数）
师：大家总结一下，用反比例解决问题的步骤是什么？
（师生共同梳理，课件出示）
审：审题，找出两种相关联的量；
判：判断两种量是否成反比例（乘积一定）；
设：设未知量为；
列：根据乘积相等列出方程；
解：解方程；
验：检验结果是否合理。
【设计意图：通过逆向变式练习，让学生巩固反比例解题步骤，同时自主梳理解题流程，将感性经验上升为理性方法。】
环节3：对比正反比例解题，厘清差异
师：我们对比一下用正比例和反比例解决问题的区别：
（课件出示对比表格）
解题类型 正比例解题 反比例解题
数量关系 比值一定（） 乘积一定（）
列方程依据 两组量的比值相等 两组量的乘积相等
例子 单价一定，总价和数量 总价一定，单价和数量
师：请大家判断：“一辆汽车从甲地到乙地，每小时行60千米，4小时到达；如果每小时行80千米，几小时到达？”用什么比例解？为什么？
生5：用反比例！因为路程一定，速度×时间=路程（乘积一定），所以速度和时间成反比例。
师：非常好！关键是先判断比例关系，再选择对应的解题方法。
【设计意图：通过正反比例解题对比，帮助学生厘清两种比例应用的核心差异，避免混淆，提升解题的准确性。】
环节4：自主实践，提升应用能力
师：请大家独立完成教材“做一做”：
学校小商店有两种圆珠笔，小明带的钱刚好可以买4支单价是1.5元的，如果他只买单价是2元的，可以买多少支？
（学生独立解答，教师巡视指导，选取学生作品展示讲解。）
生6：我先判断，总钱数一定，单价×数量=总钱数（乘积一定），成反比例。设可以买支，方程是，解得支。
师：验证一下：元，支，结果正确！
【设计意图：通过自主练习，让学生独立应用反比例解题模型，巩固解题步骤，提升自主分析和解决问题的能力。】
七、课堂练习
1.判断下面问题适合用正比例还是反比例解，并说明理由。
（1）食堂买大米，每袋50千克，买12袋；如果每袋60千克，可以买几袋？
（2）3小时行240千米；5小时行多少千米？
2.一批货物，每次运12吨，10次可以运完；如果每次运15吨，需要运几次？（用反比例解）
3.用边长4分米的方砖铺地，需要180块；如果改用边长6分米的方砖，需要多少块？（提示：先算每块砖的面积）
4.某工厂生产一批零件，每天生产120个，20天完成；如果要15天完成，每天需要生产多少个？（用反比例解）
5.一辆货车从A地到B地，计划每小时行45千米，8小时到达；实际提前2小时到达，实际每小时行多少千米？（用反比例解）
参考答案
1.（1）反比例（总质量一定，每袋质量×袋数=总质量，乘积一定）；
（2）正比例（速度一定，路程÷时间=速度，比值一定）
2.设需要次，，解得次
3.铺地面积：平方分米；设需要块，，解得块
4.设每天生产个，，解得个
5.实际用时：小时；设实际每小时行千米，，解得千米
【设计意图：
第1题：巩固比例关系判断，夯实解题基础；
第2-4题：强化反比例解题步骤，覆盖运货、铺地、生产等常见场景；
第5题：增加“提前到达”的条件，提升学生分析实际问题的能力，避免机械套用公式。】
八、课堂小结
师：今天这节课我们学习了用反比例解决实际问题，谁来总结一下核心解题步骤？
生7：先判断两种量是否成反比例（乘积一定），再设未知数，根据乘积相等列方程，解方程后验证。
师：总结得非常到位！不管是正比例还是反比例解题，核心都是先判断比例关系，再建立对应的数学模型。希望大家能灵活运用比例知识解决生活中的实际问题。
九、课后作业布置
必做题：完成《同步练习》中“用反比例解决实际问题”的相关习题。
选做题：结合生活实际，编写一道用反比例解决的应用题，并写出解题过程。
十、板书设计
用反比例解决实际问题
解题步骤：
1. 审：找相关联的两种量
2. 判：判断成反比例（乘积一定）
3. 设：设未知量为x
4. 列：根据乘积相等列方程 xy=k （一定）
5. 解：解方程
6. 验：检验结果例题：总用电量： 100×5=500 千瓦时
解：设现在可用 x 天。 25x = 100×5
x = 20
答：现在可以用20天。第四单元 第11课时 用反比例解决问题 同步练习
一、填空。
1. 回归教材·小例题《九章算术》总结了战国、秦、汉时期的数学成就。荣老师想利用空余时间研究其中的数学问题，如果每天研究3个数学问题，需要82天。若荣老师想41天研究完这些问题，则每天需要研究多少个数学问题？
（1）因为（ ）一定，所以（ ）和（ ）成（ ）比例关系。
（2）用比例知识解答。
解：设每天需要研究个数学问题。列式得：
（ ）×（ ）=（ ）×（ ）
2.东风电子车间要加工一批电子产品，计划每天加工50件，24天可以完成，实际每天加工60件，实际几天可以完成？
（1）题目中相关联的两种量是（ ）和（ ）。
（2）根据“加工一批电子产品”可知，（ ）是一定的，也就是说（ ）和（ ）的（ ）一定，因此这两种相关联的量成（ ）比例关系。
（3）设实际天可以完成，列式（ ）。
二、选择。
1.同学们做广播体操，每行站20人，正好站18行。如果每行站24人，可以站多少行？设可以站行，则下面列式正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
2.一个长方形办公场地铺方砖，如果用边长为40 cm的方砖，需要200块，如果改用边长是5 dm的方砖，需要（ ）块。
A.16 B.128 C.160 D.1600
三、解决问题。
1.一批图书，如果每班分 20 本，可以分给 18 个班。如果每班分 30 本，可以分给多少个班？
2.用边长是3dm的方砖铺地，需要3600块，如果改用边长是6dm的方砖铺地，需要多少块？
3.小明读一本故事书，如果每天读50页，8天可以读完。小明想10天读完，那么平均每天要读多少页？（用比例解）
4.某工程队铺设一段下水道，原计划每天铺设20米，15天完成。实际每天多铺5米，实际多少天完成了任务？（用比例解）
5.有一个班的同学到公园去划船，他们已提前租好了若干条船，现在如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人。这个班共有多少人？
第四单元 第11课时 用反比例解决问题 同步练习
一、填空。
1. 回归教材·小例题《九章算术》总结了战国、秦、汉时期的数学成就。荣老师想利用空余时间研究其中的数学问题，如果每天研究3个数学问题，需要82天。若荣老师想41天研究完这些问题，则每天需要研究多少个数学问题？
（1）因为（ ）一定，所以（ ）和（ ）成（ ）比例关系。
答案：数学问题的总数；每天研究的问题数；研究的天数；反
详解：反比例判定：（一定），两个相关联的量的乘积一定，成反比例关系。
（2）用比例知识解答。
解：设每天需要研究个数学问题。列式得：
（ ）×（ ）=（ ）×（ ）
答案：
详解：反比例关系中，两组对应量的乘积相等，41天对应的每天研究数，与82天对应的每天研究数3，乘积均为问题总数。
2.东风电子车间要加工一批电子产品，计划每天加工50件，24天可以完成，实际每天加工60件，实际几天可以完成？
（1）题目中相关联的两种量是（ ）和（ ）。
答案：每天加工的件数；加工的天数
详解：加工的天数随每天加工的件数变化，二者是相关联的量。
（2）根据“加工一批电子产品”可知，（ ）是一定的，也就是说（ ）和（ ）的（ ）一定，因此这两种相关联的量成（ ）比例关系。
答案：电子产品的总件数；每天加工的件数；加工的天数；乘积；反
详解：“一批电子产品”说明总件数不变；（一定），乘积一定，两个量成反比例关系。
（3）设实际天可以完成，列式（ ）。
答案：
详解：反比例关系中乘积相等，实际每天加工60件对应天数，计划每天加工50件对应24天，乘积均为总件数。
二、选择。
1.同学们做广播体操，每行站20人，正好站18行。如果每行站24人，可以站多少行？设可以站行，则下面列式正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
答案：B
详解：做广播体操的总人数一定，每行站的人数×站的行数=总人数（一定），成反比例关系；
总人数为，每行站24人时总人数为，因此列等式。
2.一个长方形办公场地铺方砖，如果用边长为40 cm的方砖，需要200块，如果改用边长是5 dm的方砖，需要（ ）块。
A.16 B.128 C.160 D.1600
答案：B
详解：办公场地的总面积一定，每块方砖的面积×方砖块数=总面积（一定），成反比例关系；
统一单位：40cm=4dm，
原方砖面积：dm ，新方砖面积：dm ，
设需要块，列等式：，解得。
三、解决问题。
1.一批图书，如果每班分 20 本，可以分给 18 个班。如果每班分 30 本，可以分给多少个班？
解答思路（反比例）
总本数一定，每班分的本数和班级数成反比例。
解：设可以分给 x 个班。
30x=20×18
30x=360
x=12
答：可以分给 12 个班。
2.用边长是3dm的方砖铺地，需要3600块，如果改用边长是6dm的方砖铺地，需要多少块？
思路：铺地的总面积一定，每块方砖的面积×方砖块数=总面积（一定），成反比例关系。
解：设需要块。
原方砖面积：dm ，新方砖面积：dm
答：需要900块。
3.小明读一本故事书，如果每天读50页，8天可以读完。小明想10天读完，那么平均每天要读多少页？（用比例解）
思路：故事书的总页数一定，每天读的页数×读的天数=总页数（一定），成反比例关系。
解：设平均每天要读页。
答：平均每天要读40页。
4.某工程队铺设一段下水道，原计划每天铺设20米，15天完成。实际每天多铺5米，实际多少天完成了任务？（用比例解）
思路：下水道的总长度一定，每天铺设的长度×铺设天数=总长度（一定），成反比例关系。
解：设实际天完成任务，实际每天铺设：米。
答：实际12天完成了任务。
5.有一个班的同学到公园去划船，他们已提前租好了若干条船，现在如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人。这个班共有多少人？
思路：班级总人数一定，每条船坐的人数×船的条数=总人数（一定），成反比例关系；先设原计划租条船，再求总人数。
解：设原计划租条船。
增加1条船：船数，每条坐6人；减少1条船：船数，每条坐9人。
班级总人数：（人）
答：这个班共有36人。

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