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第十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷（小学组）
一、填空（每题10分，共80分）
1．（10分）计算：÷126.3＝　 　 ．
2．（10分）如图是一个长方形，其中阴影部分由一副面积为1的七巧板拼成（如图b）．那么这个长方形的面积是　 　
3．（10分）有甲、乙、丙、丁四支球队参加的足球循环赛，每两队都要赛一场，胜得3分，负者得0分，如果踢平，两队各得1分．现在甲、乙、丙分别得了7分、1分和6分，已知甲和乙踢平，那么丁得　 　 分．
4．（10分）如图中，小黑格表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线要联，连续标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大的信息量．现在从结点A向结点B传递信息，那么单位时间内传梯的最大信息量是　 　 ．
5．（10分）先写出一个两位数62，接着在62右端写这两个数字的和8，得到628，再写末两位数字2和8的和10，得到62810，用上述方法得到一个有2006位的整数：628101123…，则这个整数各数位上的数字之和是　 　 ．
6．（10分）智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多名同学，老人请同学们按三人一行排队，结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按七人一行排队，结果多出一人，老人说我知道你们年级原人数应该是　 　 人．
7．（10分）如图所示，点B是线段AD的中点，由A，B，C，D四个点所构成的所有线段的长度均为整数，若这些线段的长度之积为10500，则线段AB的长度是　 　 ．
8．（10分）100个非0自然数的和等于2006，那么它们的最大公约数最大可能值是　 　 ．
二.解答下列各题，要求写出简要过程（每题10分，共40分）
9．（10分）如图，圆O的直径AB与CD互相垂直，AB＝10厘米，以C为圆心，CA为半径画弧．求月牙形ADBEA（阴影部分）的面积．
10．（10分）甲、乙、丙三只蚂蚁爬行的速度之比是8：6：5，它们沿一个圆圈从同一点同时同向爬行，当它们首次同时回到出发点时，就结束爬行．问蚂蚁甲追上蚂蚁乙一共多少次（包括结束时刻）？
11．（10分）如图，ABCD是矩形，BC＝6cm，AB＝10cm，AC和BD是对角线，图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫过的立体的体积是多少立方厘米？（π＝3.14）
12．（10分）将一根长线对折，再对折，共对折10次，得到一束线，用剪刀将这束线剪成10等份，问：可以得到不同长度的短线段各多少根？
三、解答下列各题，要求写出详细过程（每题15分，共30分）
13．（15分）华罗庚爷爷在一首诗文中勉励青少年：
“猛攻若战是第一，熟练生出百巧来，勤能补拙是良训，一分辛劳一分才．”现在将诗文中不同的汉字对应不同的自然数，相同的汉字对应相同的自然数，并且不同汉字所对应的自然数可以排列成一串连续的自然数．如果这个28个自然数的平均值是23，问“分”字对应的自然数的最大可能值是多少？
14．（15分）一根长为L的木棍，用红色刻度线将它分成m等份，用黑色刻度将它分成n等份（m＞n）．
（1）设x是红色与黑色刻度线重合的条数，请说明：x+1是m和n的公约数；
（2）如果按刻度线将该木棍锯成小段，一共可以得到170根长短不等的小棍，其中最长的小棍恰有100根．试确定m和n的值．
第十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷（小学组）
参考答案与试题解析
一、填空（每题10分，共80分）
1．（10分）计算：÷126.3＝　0.1　 ．
【解答】解：[10+（3﹣0.85）]÷126.3
＝[10+2.15×]÷126.3
＝[10.05+2.58]÷126.3
＝12.63÷126.3
＝0.1．
故答案为：0.1．
2．（10分）如图是一个长方形，其中阴影部分由一副面积为1的七巧板拼成（如图b）．那么这个长方形的面积是　　
【解答】解：（b）因为正方形的面积1，
每个三角形的面积：1÷16＝，
长方形ABCD的面积是：×30＝，
答：长方形ABCD的面积是．
故答案为：．
3．（10分）有甲、乙、丙、丁四支球队参加的足球循环赛，每两队都要赛一场，胜得3分，负者得0分，如果踢平，两队各得1分．现在甲、乙、丙分别得了7分、1分和6分，已知甲和乙踢平，那么丁得　3　 分．
【解答】解：甲队7分，2胜1平，
乙队1分，2负1平，
丙队6分，2胜1负，
4个队的总胜数和总负数是相等的，胜场还有：
2+2﹣2﹣1＝1
所以丁队是1胜2负，得到3分．
答：丁得3分．
故答案为：3．
4．（10分）如图中，小黑格表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线要联，连续标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大的信息量．现在从结点A向结点B传递信息，那么单位时间内传梯的最大信息量是　17　 ．
【解答】解：1．单位时间内从结点A经过上面一个中间节点向结点B传递的最大信息量，从结点A向中间的结点传出11个信息量，在该结点处分流为11个和6个，此时信息量为17；
2．单位时间内从结点A经过下面一个中间结点向结点B传递的最大信息量是9个和7个信息量，此时信息量为16；
因此单位时间内从结点A向结点B传递的最大信息量是17个．
故答案为：17．
5．（10分）先写出一个两位数62，接着在62右端写这两个数字的和8，得到628，再写末两位数字2和8的和10，得到62810，用上述方法得到一个有2006位的整数：628101123…，则这个整数各数位上的数字之和是　7018　 ．
【解答】解：（2006﹣5）÷10＝200…1；
6+2+8+1+0+（1+1+2+3+5+8+1+3+4+7）×200+1＝7018．
故答案为：7018．
6．（10分）智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多名同学，老人请同学们按三人一行排队，结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按七人一行排队，结果多出一人，老人说我知道你们年级原人数应该是　127　 人．
【解答】解：因为按3人和7人一行排队都多出1人，所以总人数应该是3和7的公倍数多1人，即22、43、64、85、106、127、148、169、190、211、…
其中符合题意一百多名的只有106、127、148、169、190这五个数
同理，又因为按5人一行排队多2人，所以总人数应该是5的倍数多2，所以总人数的最后一位数字应该是2或7
最终符合题意的是127．
答：该年级的人数是127．
故答案为：127．
7．（10分）如图所示，点B是线段AD的中点，由A，B，C，D四个点所构成的所有线段的长度均为整数，若这些线段的长度之积为10500，则线段AB的长度是　5　 ．
【解答】解：10500＝22×3×53×7；
所以线段AB的长度是5．
答：线段AB的长度是5．
故答案为：5．
8．（10分）100个非0自然数的和等于2006，那么它们的最大公约数最大可能值是　17　 ．
【解答】解：因为2006＝2×17×59，它们的公约数只能是2和17，则最大公约数最大可能值是17．
故答案为：17．
二.解答下列各题，要求写出简要过程（每题10分，共40分）
9．（10分）如图，圆O的直径AB与CD互相垂直，AB＝10厘米，以C为圆心，CA为半径画弧．求月牙形ADBEA（阴影部分）的面积．
【解答】解：因为AB与CD是互相垂直的直径，
所以∠ACB是直角，AC＝BC．
在直角△ABC中，由勾股定理得，
AC2+BC2＝AB2，
则2AC2＝102＝100，
所以AC2＝50．
所以△ABC的面积＝×AC×BC＝×AC2＝×50＝25（平方厘米）；
扇形C的面积＝π×AC2＝×3.14×50＝39.25（平方厘米）；
半圆的面积＝π×＝×3.14×25＝39.25（平方厘米）；
所以月牙形ADBEA（阴影部分）的面积＝半圆的面积+△ABC的面积﹣扇形C的面积
＝39.25+25﹣39.25
＝25（平方厘米）；
答：月牙形ADBEA的面积是25平方厘米．
10．（10分）甲、乙、丙三只蚂蚁爬行的速度之比是8：6：5，它们沿一个圆圈从同一点同时同向爬行，当它们首次同时回到出发点时，就结束爬行．问蚂蚁甲追上蚂蚁乙一共多少次（包括结束时刻）？
【解答】解：8﹣6＝2（次）；
答：蚂蚁甲追上蚂蚁乙一共2次．
11．（10分）如图，ABCD是矩形，BC＝6cm，AB＝10cm，AC和BD是对角线，图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫过的立体的体积是多少立方厘米？（π＝3.14）
【解答】解：设三角形BOC以CD为轴旋转一周所得到的立体的体积是S，则
S＝×62×10×π﹣2××32×5×π
＝120π﹣30π
＝90π，
2S＝180π＝565.2（立方厘米）．
答：阴影部分扫过的立体的体积是565.2立方厘米．
12．（10分）将一根长线对折，再对折，共对折10次，得到一束线，用剪刀将这束线剪成10等份，问：可以得到不同长度的短线段各多少根？
【解答】解：如图，
①10次对折后，得到的是1024条线并列的线束．
②用剪刀将得到的线束剪成10等分，除去两端，中间的8等分的线段都是较短的线段，共有8×1024根．
③另外，剪下的两端，其中，有一端，有2条短的线段．余下（2×1024﹣2）条线，每两条构成1条线段．所以，较长的线段有1024﹣1＝1023根，较短的线段共有8×1024+2＝8194根；
答：较长的线段有1024﹣1＝1023根，较短的线段共有8×1024+2＝8194根．
三、解答下列各题，要求写出详细过程（每题15分，共30分）
13．（15分）华罗庚爷爷在一首诗文中勉励青少年：
“猛攻若战是第一，熟练生出百巧来，勤能补拙是良训，一分辛劳一分才．”现在将诗文中不同的汉字对应不同的自然数，相同的汉字对应相同的自然数，并且不同汉字所对应的自然数可以排列成一串连续的自然数．如果这个28个自然数的平均值是23，问“分”字对应的自然数的最大可能值是多少？
【解答】解：①因为23×28＝644，
②诗文中“分、是”各出现2次，“一”出现3次，其他汉字只出现1次．
设这串连续自然数的起始的数是m，不同汉字所对应的自然数依次是：
m，m+1，…，m+23；设其中“分”字对应的自然数是m+x，“是”字对应m+a，“一”字对应m+b．既然要求“分”字对应的自然数尽可能大，可以要求23≥X＞a＞b≥0．
诗文中“分、是”各出现2次，“一”出现3次，其他汉字只出现1次，则有
（m+m+23）×24÷2+m+x+m+a+2×（m+b）＝644
28m+276+（a+2b）+x＝644
28m＝368﹣x﹣（a+2b）
m＝
则m+x＝
因23≥x，a+2b≥1．
所以，m+x＝≤＜35.29
取m＝12，x＝23，a＝9，b＝0（或a＝5，b＝2或a＝1，b＝4），得到满足条件的解，其中“分”对应的自然数是35．
答：“分”对应的自然数的最大可能值是35．
14．（15分）一根长为L的木棍，用红色刻度线将它分成m等份，用黑色刻度将它分成n等份（m＞n）．
（1）设x是红色与黑色刻度线重合的条数，请说明：x+1是m和n的公约数；
（2）如果按刻度线将该木棍锯成小段，一共可以得到170根长短不等的小棍，其中最长的小棍恰有100根．试确定m和n的值．
【解答】解：①A＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）
＝（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1+）（1+）…（1+）
＝×××…××××…×
＝×
＝；
同样，可以得出B＝；
所以x+1是m和n的公约数；
②由题设，A﹣B＝﹣＝﹣＝，
﹣＝，
＝+＝，
所以，m＝＝＝13﹣，
即13+n是13×13的因数，13×13只有3个因数：1，13，132．所以，
13+n＝132，n＝132﹣13＝156，m＝12．
求出正整数m，n的另一方法：
使A﹣B＝﹣＝﹣＝，﹣＝．
设m＝Ka，n＝Kb，（a，b）＝1，代入上式，﹣＝＝．
（b﹣a）和a，b都互质，一定整除K．记d＝是正整数，b＞a则有：＝．
由上式和b＞a，b＝13，a＝1，d＝1．所以，K＝12，m和n有唯一解，m＝12，n＝156．
符：m＝12，n＝156．

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