资源简介

第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷（小学组B）
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中球的个数不能少于11，不能是17，也不能是6的倍数，并且彼此不同，那么至少需要　 　 个乒乓球．
2．（10分）有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品，以及五种价格分别为3元、6元、9元、12元、15元的包装盒．一个礼品配一个包装盒，共有　 　 种不同的价格．
3．（10分）汽车A从甲站出发开往乙站，同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站，途中A与B相遇20分钟后再与C相遇．已知A、B、C的速度分别是每小时90km，80km，60km，那么甲乙两站的路程是　 　 km．
4．（10分）将，，，，，和这6个分数的平均值从大到小排列，则这个平均值排在第 　 　 位。
5．（10分）若两位数的平方只有十位上的数字是0，则这样的两位数共有　 　 个．
6．（10分）如图所示的立体图形由10个棱长为1的立方块搭成，这个立体图形的表面积为　 　 ．
7．（10分）数字卡片“3”、“4”、“5”各10张，从中任意选出8张，它们的数字和是31，则最多有　 　 张是卡片“3”．
8．（10分）能同时表示成连续9个、10个和11个非零自然数的和的最小自然数是　 　 ．
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）如图中有5个由4个1×1的小正方格组成的不同形状的硬纸板．问能用这5个硬纸板拼成右图中4×5的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由．
10．（10分）图中，ABCD是一个梯形，且AB∥CD，三角形ABO和三角形OCD的面积分别是16和4，求．
11．（10分）长度为L的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为8，12和18段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？
12．（10分）华罗庚爷爷出生于1910年11月12日．将这些数字排成一个整数，并且分解成19101112＝1163×16424，请问这两个数1163和16424中有质数吗？并说明理由．
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）一批货物重13.5吨，每包货物重量不超过350千克，请问：能否用11辆载重为1.5吨的小货车一次运走？并对你的结论加以说明．
14．（15分）已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，求出“虎威”代表的两位数．
第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷（小学组B）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中球的个数不能少于11，不能是17，也不能是6的倍数，并且彼此不同，那么至少需要　174　 个乒乓球．
【解答】解：符合条件的最小的10个数是：
11，13，14，15，16，19，20，21，22，23；
所以至少需要11+13+14+15+16+19+20+21+22+23＝174（个）．
答：至少需要 174 个乒乓球．
故答案为：174．
2．（10分）有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品，以及五种价格分别为3元、6元、9元、12元、15元的包装盒．一个礼品配一个包装盒，共有　9　 种不同的价格．
【解答】解：
包 装 盒 价 格
礼 品 盒 价 格 3 6 9 12 15
2 5 8 11 14 17
5 8 11 14 17 20
8 11 14 17 20 23
11 14 17 20 23 26
14 17 20 23 26 29
任意的搭配共有25 种，其中有价格重复的情况，可以组成一个5 元，8 元，11 元，14 元，17 元，20 元，23 元，26 元，29 元，
共有9种不同的价格．
故答案为：9．
3．（10分）汽车A从甲站出发开往乙站，同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站，途中A与B相遇20分钟后再与C相遇．已知A、B、C的速度分别是每小时90km，80km，60km，那么甲乙两站的路程是　425　 km．
【解答】解：20分钟＝小时，
A与C 20分钟相遇，共行（90+60）×＝50（ 千米），
这50 千米即是A与B相遇过程中，在相同时间内，B比C多行的路程，
显然A与B相遇时间等于50÷（80﹣60）＝2.5（小时）．
所以，A与B相遇甲乙两站的路程为（90+80）×2.5＝425（ 千米）．
答：甲乙两站的路程是425千米．
故答案为：425．
4．（10分）将，，，，，和这6个分数的平均值从大到小排列，则这个平均值排在第 　3　 位。
【解答】解：因为，
前三个分数之和比后三个分数之和小，
因此这6个分数的平均值不可能排在它们的中间，
因为，
且，
所以这6个分数的平均值大于，小于即这六个分数的平均值排在第3位。
故答案为：3。
5．（10分）若两位数的平方只有十位上的数字是0，则这样的两位数共有　9　 个．
【解答】解：设符合条件的两位数是．
两位数 的平方的十位上的数字等于2ab个位上的数与b2的十位上的数字之和的个位数字，为0．因为ab的平方只有十位上的数字为0，所以b≠0．
当b取1～9 时，
b2的十位上的数字分别为 0、0、0、1、2、3、4、6、8．
2ab个位上的数字如下：
当a为1时，分别为2、4、6、8、0、2、4、6、8；
当a为2时，分别为4、8、2、6、0、4、8、2、6；
当a为3时，分别为3、6、9、2、5、8、1、4、7；
当a为4时，分别为8、6、4、2、0、8、6、4、2；
当a为5时，分别为0、0、0、1、2、3、4、6、8；
当a为6或7时，分别与1或2时相同；
当a为8时，分别为6、2、8、4、0、6、2、8、4；
当a为9时，与4相同，分别为8、6、4、2、0、8、6、4、2．
所以这样的两位数有47，48，49，51，52，53，97，98，99，共9个．
6．（10分）如图所示的立体图形由10个棱长为1的立方块搭成，这个立体图形的表面积为　34　 ．
【解答】解：从上、下、前、后、左、右看这个立体图形的表面的面积分别为：6，6，5，5，6，6．
总和为6+6+5+5+6+6＝34．
故答案为：34．
7．（10分）数字卡片“3”、“4”、“5”各10张，从中任意选出8张，它们的数字和是31，则最多有　4　 张是卡片“3”．
【解答】解：假设摸出的8张卡片全是数字“3”，则其和为3×8＝24，与实际的和31相差8，这是因为将摸出的卡片“4”、“5”都当成是卡片“3”的缘故．用一张卡片“5”和“4”换一张卡片“3”，数字和可分别增加2和1．为了使卡片“3”尽可能地多，应该多用卡片“5”换卡片“3”，现在8÷2＝4，因此可用4张卡片“5”换卡片“3”，这样8张卡片的数字之和正好等于32．所以最多可能有4张是卡片“3”．
答：最多有4 张是卡片“3”．
故答案为：4．
8．（10分）能同时表示成连续9个、10个和11个非零自然数的和的最小自然数是　495　 ．
【解答】解：设所求的正整数为A，则由题意得：
A＝（p+1）+（p+2）+（p+3）+…+（p+9）＝9p+45，①
A＝（m+1）+（m+2）+（m+3）+…+（m+10）＝10m+55，②
A＝（n+1）+（n+2）+（n+3）+…+（n+9）＝11n+66，③
其中p，m，n均为整数．由①、②可得：9p+45＝10m+55，所以
9p＝10（m+1）．④
由②、③可得：10m+55＝11n+66，所以
10m＝11（n+1）．⑤
因为10与11互质，所以由⑤可知，m是11 的倍数，由④可知，m+1是9的倍数，所以m 是11 的倍数，且被9 除的余数为8，于是m的最小值为44，A的最小值为10×44+55＝495．
答：最小自然数是495．
故答案为：495．
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）如图中有5个由4个1×1的小正方格组成的不同形状的硬纸板．问能用这5个硬纸板拼成右图中4×5的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由．
【解答】解：将五块纸板编号，如图2，除纸板④之外，其余4张硬纸板每一张都盖住2个黑格，而④盖住了3个或1个黑格，因此，由4个1×1的小正方格组成的不同形状的5个硬纸板，只能盖住9或11个黑格，与10个黑格不符．
所以显然不能用左边5个硬纸板拼成右边的4×5的长方形．
10．（10分）图中，ABCD是一个梯形，且AB∥CD，三角形ABO和三角形OCD的面积分别是16和4，求．
【解答】解：由AB∥CD，得
＝＝
又有s△AOD＝S△BCD
所以＝
因此S△BCO＝8．
设梯形的高为h，因为S△ABC＝，S△DAC＝
所以＝
又因为S△ABC＝S△ABO+S△BCD＝24，S△DAC＝S△DAC+S△AOD＝12，
所以＝．
11．（10分）长度为L的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为8，12和18段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？
【解答】解：假设L＝[8，12，18]＝72的K倍，即L＝72K．那么：
红线将木棍等分8等份（9个分点），每份长度9K；
蓝线将木棍等分12等份（13个分点），每份长度6K；
黑线将木棍等分18等份（19个分点），每份长度4K；
又知：[9K，6K]＝18K，重叠4段；[6K，4K]＝12K，重叠6段；[9K，4K]＝36K，重叠2段；
[9K，6K，4K]＝36K，重叠2段．
由容斥原理二得：一共分割的段数为：（8+12+18）﹣4﹣6﹣2+2＝28（段）；
或总点数为：（9+13+19）﹣5﹣7﹣3+3＝29（分点），所以共有28段．
那么，最短段为红线与黑线的距离：L÷72＝．
12．（10分）华罗庚爷爷出生于1910年11月12日．将这些数字排成一个整数，并且分解成19101112＝1163×16424，请问这两个数1163和16424中有质数吗？并说明理由．
【解答】解：16424是合数，原因是16424的约数不止两个，除了有1和本身外，还有2、4…等等．
1163是质数，判断方法是：352＝1225，342＝1156，最接近1163，所以用小于34的所有质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31去除1163都除不尽，所以可以判断1163是质数．
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）一批货物重13.5吨，每包货物重量不超过350千克，请问：能否用11辆载重为1.5吨的小货车一次运走？并对你的结论加以说明．
【解答】解：一种方案如下：把11辆货车顺序编号为1，2，3，…，11．先把1至8号车装上货物，每车一直装到不超过1.5吨为上限，只要再装一包便超过1.5吨为止，并把这8个最后一包分成两组，每组4包，每组重量不超过350×4＝1400千克＜1.5吨，用9，10 号车可将这两组8包货物运走，这样1至10号车共装运了超过1.5×8＝12（吨）货物，还剩下的货物的重量不超过13.5﹣12＝1.5吨，这样可以用11号车把剩下的货物运走．
答：能用11辆载重为1.5吨的小货车一次运走．
14．（15分）已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，求出“虎威”代表的两位数．
【解答】解：令虎为X、威为Y，则：题意为：10X+Y＝X×Y×K（K为整数）
①Y＝1
（K﹣10）X＝1
X＝1，K＝11
所以虎威＝11；
②Y＝2
（K﹣5）X＝1
X＝1，K＝6
所以虎威＝12；
③Y＝3
（3K﹣10）X＝3
无解；
④Y＝4
（4XK﹣10K）＝2
X＝2，K＝3
所以虎威＝24；
⑤Y＝5
（K﹣2）X＝1
X＝1，K＝3
所以虎威＝15；
⑥Y＝6
（3K﹣5）X＝3
X＝3，K＝2
所以虎威＝36
⑦Y＝7，同上方法讨论无解；
⑧Y＝8，同上方法讨论无解；
⑨Y＝9，同上方法讨论无解；
综上所述，有三个满足题目的两位数，即11、12、15、24、36．

展开更多......

收起↑