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第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷（小学组A）
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）计算：+＝　 　 ．
2．（10分）如图所示，在边长为1的小正方形组成的4×4方格图中，共有25个格点．在以格点为顶点的直角三角形中，两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有　 　 个．
3．（10分）将七位数“1357924”重复写287次组成一个2009位数“13579241357924…”．删去这个数中所有位于奇数位上的数字；按上述方法一直删除下去直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数字是 　 　 ．
4．（10分）如图所示，在由七个同样的小正方形组成的图形中，直线l将原图形分为面积相等的两部分．l与AB的交点为E，与CD的交点为F．若线段CF与线段AE的长度之和为91厘米，那么小正方形的边长是　 　 厘米．
5．（10分）某班学生要栽一批树苗．若每个人分配k棵树苗，则剩下38棵；若每个学生分配9棵树苗，则还差3棵，那么这个班共有　 　 名学生．
6．（10分）已知三个合数A，B，C两两互质，且A×B×C＝11011×28，那么A+B+C的最大值为 　 　 ．
7．（10分）方格中的图形符号“◇”，“〇”，“▽”，“☆”代表填入方格中的数，相同的符号表示相同的数，如图所示，若第一列，第三列，第二行，第四行的四个数的和分别为36，50，41，37，则第三行的四个数的和为　 　 ．
8．（10分）已知1+2+3+…+n（n＞2）的和的个位数为3，十位数为0，则n的最小值是　 　 ．
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）六个分数，，，，，和在哪两个连续自然数之间？
10．（10分）2009年的元旦是星期四，问：在2009年中，哪几个月的第一天也是星期四？哪几个月有5个星期日？
11．（10分）已知a，b，c是三个自然数，且a与b的最小公倍数是60，a与c的最小公倍数是270．求b与c的最小公倍数．
12．（10分）在50个连续的奇数1，3，5，…，99中选取k个数，使得它们的和为1949，那么k的最大值是多少？
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O．已知AB＝5，CD＝3，且梯形ABCD的面积为4，求三角形OAB的面积．
14．（15分）在如图所示的乘法算式中，汉字代表1至9这9个数字，不同汉字代表不同的数字．若“祝”字和“贺”字分别代表数字“4”和“8”，求出“华杯赛”所代表的整数．
第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷（小学组A）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）计算：+＝　2　 ．
【解答】解：+
＝+
＝+
＝1+1
＝2．
2．（10分）如图所示，在边长为1的小正方形组成的4×4方格图中，共有25个格点．在以格点为顶点的直角三角形中，两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有　64　 个．
【解答】解：由分析可知，直角三角形共有：
8×4+8×4
＝32+32
＝64（个）．
答：两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有64个．
故答案为：64．
3．（10分）将七位数“1357924”重复写287次组成一个2009位数“13579241357924…”．删去这个数中所有位于奇数位上的数字；按上述方法一直删除下去直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数字是 　3　 ．
【解答】解：第一次留下的是2的倍数位上的数字；
第二次留下的是4的倍数位上的数字；
第三次留下的是8的倍数位上的数字；
以此类推，最后剩下的是第210＝1024位数；
1024÷7＝146…2，
所以剩下的是第147组“1357924”中的第2个位置上，即为3；
答：最后删去的是3．
故答案为：3．
4．（10分）如图所示，在由七个同样的小正方形组成的图形中，直线l将原图形分为面积相等的两部分．l与AB的交点为E，与CD的交点为F．若线段CF与线段AE的长度之和为91厘米，那么小正方形的边长是　26　 厘米．
【解答】解：设正方形的边长为a，得：
91×2a÷2＝（4a×2a﹣a×a）÷2
91a＝
182a＝7a2
7a＝182
a＝26．
答：小正方形的边长是26厘米．
故答案为：26．
5．（10分）某班学生要栽一批树苗．若每个人分配k棵树苗，则剩下38棵；若每个学生分配9棵树苗，则还差3棵，那么这个班共有　41　 名学生．
【解答】解：（38+3）÷（9﹣k）
＝41÷（9﹣k）
41是质数，要使分的组数是整数，9﹣k应等于1，
所以9﹣k＝1
k＝8，
41÷（9﹣8）
＝41÷1
＝41（人）；
答：有41名学生．
故答案为：41．
6．（10分）已知三个合数A，B，C两两互质，且A×B×C＝11011×28，那么A+B+C的最大值为 　1626　 ．
【解答】解：因为11011×28＝（11×11×13×7）×（2×2×7）＝（11×11×13）×（7×7）×（2×2），
要使A+B+C最大，且A、B、C为两两互质的合数，则A＝11×11×13＝1573，B＝7×7＝49，C＝2×2＝4，
那么A+B+C＝1626．
故答案为：1626．
7．（10分）方格中的图形符号“◇”，“〇”，“▽”，“☆”代表填入方格中的数，相同的符号表示相同的数，如图所示，若第一列，第三列，第二行，第四行的四个数的和分别为36，50，41，37，则第三行的四个数的和为　33　 ．
【解答】解：因为3◇+〇＝36，
3◇+▽＝37，
所以▽＝〇+1，
因为2▽+2〇＝50，
所以▽＝13，〇＝12，
所以◇＝（36﹣12）÷3＝8，
因为3〇+☆＝41，
所以☆＝5，
所以第三行的四个数的和：
8×2+12+5
＝16+12+5
＝33．
故答案为：33．
8．（10分）已知1+2+3+…+n（n＞2）的和的个位数为3，十位数为0，则n的最小值是　37　 ．
【解答】解：1+2+3+…+n（n＞2）的和的个位数是3，十位数是0
则 3+4+…+n＝（n+3）（n﹣2）÷2是100的倍数，即（n+3）（n﹣2）是200的倍数，
因（n+3）﹣（n﹣2）＝5，根据奇偶性的知识知：（n+3），（n﹣2）一个奇数，一个偶数，偶数为8的倍数，奇数是5的倍数．
且根据＞100得到n≥14，
又个位为3，十位上是0，则（n+1）×n的末两位是06，易知末位是6的连续的两个自然数的乘积的末位只能为2×3或者7或者8，
经过计算可知n最小是37．
答：最小值是37．
故答案为：37．
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）六个分数，，，，，和在哪两个连续自然数之间？
【解答】解：因为++＜+++++＜+++，
1＜＜+++++＜＜2，
即1＜+++++＜2，
因此+++++的和在自然数1和2之间．
10．（10分）2009年的元旦是星期四，问：在2009年中，哪几个月的第一天也是星期四？哪几个月有5个星期日？
【解答】解：如下表所示：
月份 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1号距1月1号的天数 31 59 90 120 151 181 212 243 273 304 334
除以7的余数 3 3 6 1 4 6 2 5 0 3 5
1号的星期数 日 日 三 五 一 三 六 二 四 日 二
10月1号与1月1号相距273天，273是7的倍数，所以，10月份的第一天也是星期四．
3月1号是星期日，3月份有31天，所以3月有5个星期日；
5月3号是星期日，5月份有31天，所以5月有5个星期日；
8月3号是星期日，8月份有31天，所以8月有5个星期日；
11月1号是星期日，11月份有30天，所以11月有5个星期日．
11．（10分）已知a，b，c是三个自然数，且a与b的最小公倍数是60，a与c的最小公倍数是270．求b与c的最小公倍数．
【解答】解：60＝2×2×3×5，
270＝3×3×3×2×5，
①当a＝1，b＝60，c＝270时，
b、c的最小公倍数是2×3×5×2×3×3＝540；
②当a＝5，b＝2×2×3＝12，c＝3×3×3×2＝54时，
b、c的最小公倍数是2×3×2×3×3＝108；
③当a＝2×5＝10，b＝2×3＝6，c＝3×3×3＝27时，
此时a，b的最小公倍数为30，不符合题意；
④当a＝3×5，b＝2×2＝4，c＝3×3×2＝18时，
此时a，c的最小公倍数为90，不符合题意；
⑤当a＝2×3×5，b＝2，c＝3×3＝9时，
此时，a，b的最小公倍数为30，不符合题意；
综上所述，b，c的最小公倍数为540或108。
答：b与c的最小公倍数是540或108。
12．（10分）在50个连续的奇数1，3，5，…，99中选取k个数，使得它们的和为1949，那么k的最大值是多少？
【解答】解：首先1，3，5…是首项为1，公差为2的等差数例，
所以前n项和为n2，且442＜1949＜452，452＝2025，
为了让K最大，我们不能取大于第45项的数89，
所以我们取n＝45，而452﹣1949＝76，
则我们要在前45项里面减去几个数 让这几个数的值为76，且我们要减去最少的数，
因为前面的等差数的第n项为2n﹣1，当n＝38时，第38项等于75，我们只要在减去第一项就可以满足题意思，则我们在45项的基础上只要减去第38项和第一项，则K＝45﹣2＝43．
答：K最大值为43．
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O．已知AB＝5，CD＝3，且梯形ABCD的面积为4，求三角形OAB的面积．
【解答】解：如图，过O点做EH垂直于AB、DC，分别交AB、CD于E、H，
S梯形ABCD＝（AB+CD）×EH÷2＝4，
因为AB＝5，CD＝3，
所以（5+3）×EH÷2＝4，
所以EH＝1；
因为＝＝，
OH＝OE，
OE+OH＝EH＝1，
所以OE+OE＝1，
因此OE＝，
S△OAB＝×AB×OE＝×5×＝．
答：三角形OAB的面积是．
14．（15分）在如图所示的乘法算式中，汉字代表1至9这9个数字，不同汉字代表不同的数字．若“祝”字和“贺”字分别代表数字“4”和“8”，求出“华杯赛”所代表的整数．
【解答】解：（1）因为48能被3整除，所以“第十四届”所表示的数能被3整除，即“第14届”的四个数字之和能被3整除．
又因为1+3+5+…+9＝45能被3整除，所以“华杯赛”表示的数的数字之和也能被3整除，即“华杯赛”所表示的数能被3整除．
（2）因为48能被4整除，而且“祝”字是4，“贺”字是8，所以“届”为偶数，只能取2或6．
又“祝贺”与“华杯赛”的成绩为四位数，所以“华”字代表的数字只能是1，否则，即使“华杯赛”取最小的三位数是213，48×213＝10224是五位数，所以取其他的三位数将更不符合要求．
（3）当“届”取数字“2”时，则“赛”字只能是9，此时，算式是48×＝．
因为余下的4个数字3，5，6，7中，只有5与10的和能被3整除，所以“杯”字只能取5．
此时，48×159＝7632，符合要求．故“华杯赛”所代表的整数是159．
（4）当“届”取数字“6”时，则“赛”取数字“2”或“7”．
③若“赛”取数字“2”时，此时算式是48×＝．
因为3与3，5，7，9的和分别为6，8，10，12，所以“杯”可以取数字“3”或“9”．
但是48×132＝6336，48×192＝9216，显然不符合要求．
④若“赛”取数字“7”时，此时算式是＝．
因为8与2，3，5，9的和分别为10，11，13，17均不能被3整除，所以不存在“”使得等式48×＝成立．
所以“华杯赛”所代表的整数为159．

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