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河北省张家口市宣化区2025-2026学年上学期期末考试八年级数学试卷
1．（2026八上·宣化期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2026八上·宣化期末）下列运算结果等于的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2026八上·宣化期末）如图1是我国古代建筑中常见的梁架示意图，其顶部可看作如图2所示的，，于点，若的长为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
4．（2026八上·宣化期末）下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2026八上·宣化期末）用反证法证明“在中，若是直角，则一定是锐角”时，应假设（　　）
A．是锐角 B．不是锐角 C．是直角 D．不是直角
6．（2026八上·宣化期末）如图，能直接用“”判定的条件是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2026八上·宣化期末）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有六种正方形纸片，面积分别是3，4，5，6，8，10，选取其中三块（不可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最小的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　）
A．3，4，5 B．3，5，8 C．4，6，10 D．6，8，10
8．（2026八上·宣化期末）我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（　　）
A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数
9．（2026八上·宣化期末）如图为洪涛同学的小测卷，他的得分应是（　　）
姓名：洪涛得分：_______？______ 填空（每小题25分，共100分） ①2的相反数是_____________； ②倒数等于本身的数是____1______； ③8的立方根是_____2______； ④的平方根是____________．
A．25分 B．50分 C．75分 D．100分
10．（2026八上·宣化期末）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
11．（2026八上·宣化期末）如图，中，点在边上，将点分别以、所在直线为对称轴，画出对称点、，并连接、．如果，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
12．（2026八上·宣化期末）如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点M为梯子的中点，当梯子底端向右水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（　　）
A．不变 B．变小
C．变大 D．先变小再变大
13．（2026八上·宣化期末）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（　　）
A． B．
C． D．
14．（2026八上·宣化期末）面积为， 是的平分线， 于 P，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
15．（2026八上·宣化期末）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　 　．
16．（2026八上·宣化期末）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图 所示，则化简的结果是　 　．
17．（2026八上·宣化期末）如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则　 　．
18．（2026八上·宣化期末）如图，∠BAC＝30°，AP平分∠BAC，GF垂直平分AP，交AC于F，Q为射线AB上一动点，若PQ的最小值为3，则AF的长为　 　．
19．（2026八上·宣化期末）下面是小雷同学在做数学作业时的解答过程，老师批改时发现解答过程有错误：
解：原式①
②
③
任务一：小雷同学的解答过程是从第 步开始出现错误的（写步骤序号）；
任务二：请你写出正确的解答过程．
20．（2026八上·宣化期末）已知：分式，
（1）计算；
（2）利用（1）的结论，解分式方程．
21．（2026八上·宣化期末）如图，在 中，，是的垂直平分线，垂足为点D，交于点E，连接．
（1）若 求 的度数；
（2）若的周长为， 求的周长．
22．（2026八上·宣化期末）（1）用“<”“>”或“=”填空：　 　，　 　；
（2）由（1）呈现的结果可得：　 　，　 　．
猜想：　 　，　 　．
（3）计算：（结果保留根号）．
23．（2026八上·宣化期末）小慧同学在小区放风筝时，风筝意外挂在了树的顶端M处，他想知道树的高度MN，制定了一个测量树高MN的方案．如图，在地面A处，测得点A到大树的距离AN为2米，手中剩下的风筝线为4米．从点A后退至点B处风筝线恰好用完，测得AB为6米，已知点N在点M的正下方，点N，A，B在同一条直线上，根据以上信息求出树的高度
24．（2026八上·宣化期末）如图，是边长为12厘米的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿射线、运动，且它们的速度都为2厘米／秒，设运动时间为t（秒）（）．
（1）用含t的代数式表示线段的长；
（2）如图①，点P、Q分别在线段、上运动时，、相交于点M，求的度数；
（3）如图②，当点P、Q分别运动到线段、的延长线上时，、的延长线相交于点M，的度数会变化吗？若不变，请求出的度数；若改变，请说明理由；
（4）如图③，若点P的速度不变，点Q的速度为3厘米／秒，点P、Q分别在线段、上运动时，连接，当为直角三角形时，直接写出t的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项：既是轴对称图形又是中心对称图形；
B选项：不是轴对称图形，是中心对称图形；
C选项：既不是轴对称图形也不是中心对称图形；
D选项：是轴对称图形，不是中心对称图形；
故答案为：A．
【分析】轴对称图形：存在至少一条直线（对称轴），使图形沿该直线对折后两部分完全重合；中心对称图形：存在一个中心点，使图形绕该点旋转180°后与原图形完全重合；观察每个选项图形的对称特征，判断是否符合轴对称或中心对称的定义，对照题目要求选择正确答案。
2．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解： A：，故本选项符合题意；
B：，故本选项不符合题意；
C：，故本选项不符合题意；
D：，故本选项不符合题意．
故选：A．
【分析】根据平方根，立方根，算术平方根逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴点是的中点，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据等腰三角形底边上的高和底边上的中线互相重合，即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.不是同类二次根式，无法计算，错误；
B.，正确，符合题意；
C.，原题错误，不符合题意；
D.，原题错误，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据合并同类项法则，二次根式的四则运算逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】用反证法证明“在中，若是直角，则一定是锐角”时，应假设不是锐角。
故答案为：B．
【分析】根据反证法，可先假设结论的反面成立，本题要证明的结论是一定是锐角，所以可假设不是锐角即可。
6．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：依题意，在和中，，
∴
故答案为：A．
【分析】根据直角三角形的判定HL，逐项进行识别，即可得出答案。
7．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算；勾股定理；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、选择面积为卡片，
∴对应正方形的边长为，
∵，
∴不能构成直角三角形，A选项不符合题意；
B、选择面积为卡片，
∴对应正方形的边长分别为，
∵，
∴围成直角三角形的面积为；
C、选择面积为卡片，
∴对应正方形的边长分别为，
∵，
∴能构成直角三角形，
∴围成的面积为；
D、选择面积为卡片，
∴对应正方形的边长分别为，
∵，
∴不能构成直角三角形，D选项不符合题意；
∵，
∴要使所围成的三角形是面积最小的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是3，5，8，
故选：B ．
【分析】根据勾股定理逆定理，结合正方形性质逐项进行判断即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算；无理数的概念
【解析】【解答】解：
，
故为型无理数，
故答案为：B．
【分析】首先根据完全平方公式，可得出=，根据型无理数的定义，即可得出答案。
9．【答案】C
【知识点】有理数的倒数；相反数的意义与性质；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：①2的相反数是，故①正确；②倒数等于本身的数是1和，故②错误；
③8的立方根是2，故③正确；
④，4的平方根是，故④正确；
则正确题数为3个，得分为：分．
故选：C．
【分析】根据相反数、倒数、立方根和平方根的定义，逐一判断每个小题的正误，再计算出得分，即可得出答案．
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质；余角
【解析】【解答】解：∵将绕点C顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】由旋转的性质可得出AC=CD，进而得出，再根据三角形内角和定理可得出∠ACD=40°，进而根据同角的余角相等，即可得出=∠ACD=40°。
11．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如下图所示，连接，
在中，，
，
，
由对称可知，，
，
，
．
故答案为：D．
【分析】如图所示，连接，首先根据三角形内角和可求得∠BAC=70°，进而根据对称性得出，，进一步即可得出的度数．
12．【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，点M为梯子的中点，
∴，
当梯子底端向左水平滑动到位置时，
∵，，
∴，
∴滑动过程中不变，
故选：A．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
13．【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解： 设绫布有x尺，
∵ 绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，
∴绫布出售1尺收入，罗布出售1尺收入，
∵ 绫布和罗布各出售1尺共收入120文
∴，
故选：B．
【分析】根据等量关系式：绫布出售一尺收入罗布出售一尺共收入文，列方程即可求解．
14．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；线段的中点；三角形全等的判定-ASA；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：延长交于点D，
∵ 是的平分线，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴（）．
故答案为：B．
【分析】延长交于点D， 根据ASA可证得，得出，进而得出点P是AD的中点，进一步即可得出，，进一步即可得出，即可得出答案。
15．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴，且，
解得：且，
故答案为：且．
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】整式的加减运算；二次根式的性质与化简；有理数在数轴上的表示；化简含绝对值有理数；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得：，，，
故．
故答案为：．
【分析】由数轴可得出b＜ 0＜a，b-a＜0，进而根据绝对值的性质，二次根式的性质进行化简，然后再进行整式的加减即可得出．
17．【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：连接，如图．
由题意得，，，
，．
是等腰直角三角形．
．
【分析】连接，如图．在网格中，根据勾股定理可得出，，，进而得出，．即可得出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，即可得出．
18．【答案】6
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：作PH⊥AC于H，连接PF，
当PQ⊥AB时，PQ的最小，
∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB，PH⊥AC，
∴PH＝PQ＝3，∠PAB＝∠PAC＝15°，
∵GF垂直平分AP，
∴FA＝FP，
∴∠FPA＝∠PAC＝15°，
∴∠PFH＝30°，
∴PF＝2PH＝6，
∴AF＝6，
故答案为：6．
【分析】作PH⊥AC于H，连接PF，首先根据角平分线的概念及性质可得出PH＝PQ＝3，∠PAB＝∠PAC＝15°，再根据垂直平分线的性质可得出FA＝FP，进而根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质得出∠PFH＝30°，再根据含30°锐角的直角三角形的性质得出AF=PF=6.
19．【答案】任务一：①；
任务二：原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式进行判断即可求出答案.
（2）根据单项式乘多项式，完全平方公式去括号，再合并同类项即可求出答案.
20．【答案】（1）解：
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验是分式方程的解，
∴原分式方程的解为．
【知识点】分式的加减法；解分式方程
【解析】【分析】(1)根据异分母分式的减法，先通分，按照同分母分式的减法进行计算，然后再进行约分即可；
（2）首先得出分式方程，进而解分式方程，并进行检验即可。
（1）解：
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验是分式方程的解，
∴原分式方程的解为．
21．【答案】（1）解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）解：∵，的周长为，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴的周长．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解析】（1）由于线段DE是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得，因此。结合△ABC是等腰三角形，可求出的度数，进而得到结果。
（2）由题意可知△ABC是等腰三角形，因此。由于DE垂直平分AB，所以，进一步计算即可求解。
（1）解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）解：∵，的周长为，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴的周长．
22．【答案】解：（1），；（2），，，；（3）．
（1）；
（2）；；；
（3）
．
【知识点】实数的大小比较；二次根式的混合运算；实数的绝对值
【解析】【解答】解：（1），
，
，
，
故答案为：，；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，，，；
【分析】（1）通过比较两个数的被开方数的大小，利用算术平方根的性质（被开方数越大，其算术平方根越大），直接判断两个无理数的大小关系。
（2）根据第（1）问得出的两个数的大小关系，确定绝对值符号内表达式的正负性，再依据绝对值的定义（正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数）进行化简。最后通过具体例子归纳出一般性的规律。
（3）利用第（2）问总结的绝对值化简规律，将原式中每一项的绝对值进行化简。接着通过去括号和合并同类二次根式，使得中间项相互抵消，从而简化计算并得到最终结果。
23．【答案】解：根据题意得米，米，，
在中，，
在中，，
，
解得，
米
答：树的高度MN为米．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】根据题目描述，已知以下条件：米，米，米，根据勾股定理，可以建立以下两个方程：对于三角形AMN：，对于三角形BMN：，通过加减消元法求解AM的值，再代入其中一个方程即可计算出MN的长度。
24．【答案】（1）解：∵点P分别从顶点出发，沿射线运动，速度为2厘米／秒，则，（秒），
∴当时，点P在线段上，；
当时，点P在射线上，；
（2）解：∵是等边三角形，∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的度数为；
（3）解：不变化，理由如下：∵是等边三角形，
∴，，
∴；
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（4）t的值为或
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：（4）根据题意得，，，∴，
分以下两种情况讨论：
①当时，
∵，
∴，
∴，即，
解得，；
②当时，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
综上可得，t的值为或．
【分析】（1）根据题目描述，速度乘以时间可得AP的长度为。计算12÷2=6秒，需考虑点P的位置，分为在线段AB上和射线AB上两种情况，分别求出BP的长度；
（2）根据SAS即可证明△APC≌△BQA，从而得出，进一步推导出结果；
（3）根据SAS即可证得△PBC≌△QCA，得到，进而求解所需结论；
（4）需要分两种情况讨论：一是，二是。利用含30度直角三角形的性质建立方程，求解具体数值。
（1）解：∵点P分别从顶点出发，沿射线运动，速度为2厘米／秒，则，
（秒），
∴当时，点P在线段上，；
当时，点P在射线上，；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的度数为；
（3）解：不变化，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，，
∴；
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（4）解：根据题意得，，，
∴，
分以下两种情况讨论：
①当时，
∵，
∴，
∴，即，
解得，；
②当时，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
综上可得，t的值为或．
1 / 1河北省张家口市宣化区2025-2026学年上学期期末考试八年级数学试卷
1．（2026八上·宣化期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项：既是轴对称图形又是中心对称图形；
B选项：不是轴对称图形，是中心对称图形；
C选项：既不是轴对称图形也不是中心对称图形；
D选项：是轴对称图形，不是中心对称图形；
故答案为：A．
【分析】轴对称图形：存在至少一条直线（对称轴），使图形沿该直线对折后两部分完全重合；中心对称图形：存在一个中心点，使图形绕该点旋转180°后与原图形完全重合；观察每个选项图形的对称特征，判断是否符合轴对称或中心对称的定义，对照题目要求选择正确答案。
2．（2026八上·宣化期末）下列运算结果等于的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解： A：，故本选项符合题意；
B：，故本选项不符合题意；
C：，故本选项不符合题意；
D：，故本选项不符合题意．
故选：A．
【分析】根据平方根，立方根，算术平方根逐项进行判断即可求出答案.
3．（2026八上·宣化期末）如图1是我国古代建筑中常见的梁架示意图，其顶部可看作如图2所示的，，于点，若的长为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴点是的中点，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据等腰三角形底边上的高和底边上的中线互相重合，即可得出答案。
4．（2026八上·宣化期末）下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.不是同类二次根式，无法计算，错误；
B.，正确，符合题意；
C.，原题错误，不符合题意；
D.，原题错误，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据合并同类项法则，二次根式的四则运算逐项进行判断即可求出答案.
5．（2026八上·宣化期末）用反证法证明“在中，若是直角，则一定是锐角”时，应假设（　　）
A．是锐角 B．不是锐角 C．是直角 D．不是直角
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】用反证法证明“在中，若是直角，则一定是锐角”时，应假设不是锐角。
故答案为：B．
【分析】根据反证法，可先假设结论的反面成立，本题要证明的结论是一定是锐角，所以可假设不是锐角即可。
6．（2026八上·宣化期末）如图，能直接用“”判定的条件是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：依题意，在和中，，
∴
故答案为：A．
【分析】根据直角三角形的判定HL，逐项进行识别，即可得出答案。
7．（2026八上·宣化期末）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有六种正方形纸片，面积分别是3，4，5，6，8，10，选取其中三块（不可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最小的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　）
A．3，4，5 B．3，5，8 C．4，6，10 D．6，8，10
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算；勾股定理；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、选择面积为卡片，
∴对应正方形的边长为，
∵，
∴不能构成直角三角形，A选项不符合题意；
B、选择面积为卡片，
∴对应正方形的边长分别为，
∵，
∴围成直角三角形的面积为；
C、选择面积为卡片，
∴对应正方形的边长分别为，
∵，
∴能构成直角三角形，
∴围成的面积为；
D、选择面积为卡片，
∴对应正方形的边长分别为，
∵，
∴不能构成直角三角形，D选项不符合题意；
∵，
∴要使所围成的三角形是面积最小的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是3，5，8，
故选：B ．
【分析】根据勾股定理逆定理，结合正方形性质逐项进行判断即可求出答案.
8．（2026八上·宣化期末）我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（　　）
A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算；无理数的概念
【解析】【解答】解：
，
故为型无理数，
故答案为：B．
【分析】首先根据完全平方公式，可得出=，根据型无理数的定义，即可得出答案。
9．（2026八上·宣化期末）如图为洪涛同学的小测卷，他的得分应是（　　）
姓名：洪涛得分：_______？______ 填空（每小题25分，共100分） ①2的相反数是_____________； ②倒数等于本身的数是____1______； ③8的立方根是_____2______； ④的平方根是____________．
A．25分 B．50分 C．75分 D．100分
【答案】C
【知识点】有理数的倒数；相反数的意义与性质；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：①2的相反数是，故①正确；②倒数等于本身的数是1和，故②错误；
③8的立方根是2，故③正确；
④，4的平方根是，故④正确；
则正确题数为3个，得分为：分．
故选：C．
【分析】根据相反数、倒数、立方根和平方根的定义，逐一判断每个小题的正误，再计算出得分，即可得出答案．
10．（2026八上·宣化期末）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质；余角
【解析】【解答】解：∵将绕点C顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】由旋转的性质可得出AC=CD，进而得出，再根据三角形内角和定理可得出∠ACD=40°，进而根据同角的余角相等，即可得出=∠ACD=40°。
11．（2026八上·宣化期末）如图，中，点在边上，将点分别以、所在直线为对称轴，画出对称点、，并连接、．如果，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如下图所示，连接，
在中，，
，
，
由对称可知，，
，
，
．
故答案为：D．
【分析】如图所示，连接，首先根据三角形内角和可求得∠BAC=70°，进而根据对称性得出，，进一步即可得出的度数．
12．（2026八上·宣化期末）如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点M为梯子的中点，当梯子底端向右水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（　　）
A．不变 B．变小
C．变大 D．先变小再变大
【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，点M为梯子的中点，
∴，
当梯子底端向左水平滑动到位置时，
∵，，
∴，
∴滑动过程中不变，
故选：A．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
13．（2026八上·宣化期末）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解： 设绫布有x尺，
∵ 绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，
∴绫布出售1尺收入，罗布出售1尺收入，
∵ 绫布和罗布各出售1尺共收入120文
∴，
故选：B．
【分析】根据等量关系式：绫布出售一尺收入罗布出售一尺共收入文，列方程即可求解．
14．（2026八上·宣化期末）面积为， 是的平分线， 于 P，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；线段的中点；三角形全等的判定-ASA；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：延长交于点D，
∵ 是的平分线，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴（）．
故答案为：B．
【分析】延长交于点D， 根据ASA可证得，得出，进而得出点P是AD的中点，进一步即可得出，，进一步即可得出，即可得出答案。
15．（2026八上·宣化期末）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴，且，
解得：且，
故答案为：且．
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件即可求出答案.
16．（2026八上·宣化期末）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图 所示，则化简的结果是　 　．
【答案】
【知识点】整式的加减运算；二次根式的性质与化简；有理数在数轴上的表示；化简含绝对值有理数；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得：，，，
故．
故答案为：．
【分析】由数轴可得出b＜ 0＜a，b-a＜0，进而根据绝对值的性质，二次根式的性质进行化简，然后再进行整式的加减即可得出．
17．（2026八上·宣化期末）如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：连接，如图．
由题意得，，，
，．
是等腰直角三角形．
．
【分析】连接，如图．在网格中，根据勾股定理可得出，，，进而得出，．即可得出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，即可得出．
18．（2026八上·宣化期末）如图，∠BAC＝30°，AP平分∠BAC，GF垂直平分AP，交AC于F，Q为射线AB上一动点，若PQ的最小值为3，则AF的长为　 　．
【答案】6
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：作PH⊥AC于H，连接PF，
当PQ⊥AB时，PQ的最小，
∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB，PH⊥AC，
∴PH＝PQ＝3，∠PAB＝∠PAC＝15°，
∵GF垂直平分AP，
∴FA＝FP，
∴∠FPA＝∠PAC＝15°，
∴∠PFH＝30°，
∴PF＝2PH＝6，
∴AF＝6，
故答案为：6．
【分析】作PH⊥AC于H，连接PF，首先根据角平分线的概念及性质可得出PH＝PQ＝3，∠PAB＝∠PAC＝15°，再根据垂直平分线的性质可得出FA＝FP，进而根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质得出∠PFH＝30°，再根据含30°锐角的直角三角形的性质得出AF=PF=6.
19．（2026八上·宣化期末）下面是小雷同学在做数学作业时的解答过程，老师批改时发现解答过程有错误：
解：原式①
②
③
任务一：小雷同学的解答过程是从第 步开始出现错误的（写步骤序号）；
任务二：请你写出正确的解答过程．
【答案】任务一：①；
任务二：原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式进行判断即可求出答案.
（2）根据单项式乘多项式，完全平方公式去括号，再合并同类项即可求出答案.
20．（2026八上·宣化期末）已知：分式，
（1）计算；
（2）利用（1）的结论，解分式方程．
【答案】（1）解：
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验是分式方程的解，
∴原分式方程的解为．
【知识点】分式的加减法；解分式方程
【解析】【分析】(1)根据异分母分式的减法，先通分，按照同分母分式的减法进行计算，然后再进行约分即可；
（2）首先得出分式方程，进而解分式方程，并进行检验即可。
（1）解：
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验是分式方程的解，
∴原分式方程的解为．
21．（2026八上·宣化期末）如图，在 中，，是的垂直平分线，垂足为点D，交于点E，连接．
（1）若 求 的度数；
（2）若的周长为， 求的周长．
【答案】（1）解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）解：∵，的周长为，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴的周长．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解析】（1）由于线段DE是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得，因此。结合△ABC是等腰三角形，可求出的度数，进而得到结果。
（2）由题意可知△ABC是等腰三角形，因此。由于DE垂直平分AB，所以，进一步计算即可求解。
（1）解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）解：∵，的周长为，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴的周长．
22．（2026八上·宣化期末）（1）用“<”“>”或“=”填空：　 　，　 　；
（2）由（1）呈现的结果可得：　 　，　 　．
猜想：　 　，　 　．
（3）计算：（结果保留根号）．
【答案】解：（1），；（2），，，；（3）．
（1）；
（2）；；；
（3）
．
【知识点】实数的大小比较；二次根式的混合运算；实数的绝对值
【解析】【解答】解：（1），
，
，
，
故答案为：，；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，，，；
【分析】（1）通过比较两个数的被开方数的大小，利用算术平方根的性质（被开方数越大，其算术平方根越大），直接判断两个无理数的大小关系。
（2）根据第（1）问得出的两个数的大小关系，确定绝对值符号内表达式的正负性，再依据绝对值的定义（正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数）进行化简。最后通过具体例子归纳出一般性的规律。
（3）利用第（2）问总结的绝对值化简规律，将原式中每一项的绝对值进行化简。接着通过去括号和合并同类二次根式，使得中间项相互抵消，从而简化计算并得到最终结果。
23．（2026八上·宣化期末）小慧同学在小区放风筝时，风筝意外挂在了树的顶端M处，他想知道树的高度MN，制定了一个测量树高MN的方案．如图，在地面A处，测得点A到大树的距离AN为2米，手中剩下的风筝线为4米．从点A后退至点B处风筝线恰好用完，测得AB为6米，已知点N在点M的正下方，点N，A，B在同一条直线上，根据以上信息求出树的高度
【答案】解：根据题意得米，米，，
在中，，
在中，，
，
解得，
米
答：树的高度MN为米．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】根据题目描述，已知以下条件：米，米，米，根据勾股定理，可以建立以下两个方程：对于三角形AMN：，对于三角形BMN：，通过加减消元法求解AM的值，再代入其中一个方程即可计算出MN的长度。
24．（2026八上·宣化期末）如图，是边长为12厘米的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿射线、运动，且它们的速度都为2厘米／秒，设运动时间为t（秒）（）．
（1）用含t的代数式表示线段的长；
（2）如图①，点P、Q分别在线段、上运动时，、相交于点M，求的度数；
（3）如图②，当点P、Q分别运动到线段、的延长线上时，、的延长线相交于点M，的度数会变化吗？若不变，请求出的度数；若改变，请说明理由；
（4）如图③，若点P的速度不变，点Q的速度为3厘米／秒，点P、Q分别在线段、上运动时，连接，当为直角三角形时，直接写出t的值．
【答案】（1）解：∵点P分别从顶点出发，沿射线运动，速度为2厘米／秒，则，（秒），
∴当时，点P在线段上，；
当时，点P在射线上，；
（2）解：∵是等边三角形，∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的度数为；
（3）解：不变化，理由如下：∵是等边三角形，
∴，，
∴；
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（4）t的值为或
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：（4）根据题意得，，，∴，
分以下两种情况讨论：
①当时，
∵，
∴，
∴，即，
解得，；
②当时，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
综上可得，t的值为或．
【分析】（1）根据题目描述，速度乘以时间可得AP的长度为。计算12÷2=6秒，需考虑点P的位置，分为在线段AB上和射线AB上两种情况，分别求出BP的长度；
（2）根据SAS即可证明△APC≌△BQA，从而得出，进一步推导出结果；
（3）根据SAS即可证得△PBC≌△QCA，得到，进而求解所需结论；
（4）需要分两种情况讨论：一是，二是。利用含30度直角三角形的性质建立方程，求解具体数值。
（1）解：∵点P分别从顶点出发，沿射线运动，速度为2厘米／秒，则，
（秒），
∴当时，点P在线段上，；
当时，点P在射线上，；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的度数为；
（3）解：不变化，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，，
∴；
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（4）解：根据题意得，，，
∴，
分以下两种情况讨论：
①当时，
∵，
∴，
∴，即，
解得，；
②当时，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
综上可得，t的值为或．
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