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浙江省绍兴市柯桥区联盟学校2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题
1．（2025八上·柯桥期中）以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、该选项中的节水标志不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B 、该选项中的低碳志不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C 、该选项中的绿色包装标志不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D 、该选项中的回收标志不是轴对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是对称轴，据此逐一判断得出答案.
2．（2025八上·柯桥期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：不等式的解集在数轴上表示为
．
故答案为：C.
【分析】根据数轴上表示不等式解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式的解集在数轴上表示出来即可判断得出答案.
3．（2025八上·柯桥期中）下面的语句是假命题的是（　　）
A．同旁内角互补
B．数轴上每一个点都有一个实数与之对应
C．垂线段最短
D．直角的补角是直角
【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；垂线段最短及其应用；真命题与假命题；补角
【解析】【解答】解：对A选项，两直线平行，同旁内角互补，为假命题，故A符合题意；
对B选项，数轴上每一个点都有一个实数与之对应，为真命题，故B不符合题意；
对C选项，垂线段最短，为真命题，故C不符合题意；
对D选项，直角的补角是直角，为真命题，故D不符合题意；
故答案：A.
【分析】分别判断各选项中命题的真假，即可得结果.
4．（2025八上·柯桥期中）下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：依题意，不等式有：①，②，⑤，⑥，共4个.
故答案为：C．
【分析】用不等号，，，，表示不等关系的式子，叫不等式，据此逐一判断得出答案.
5．（2025八上·柯桥期中）如图，，，于D，于E，且．若，，则的长是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】直角三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】
本题考查全等三角形的判定(AAS)与性质和等角的余角相等，先由垂直得直角，利用等角的余角相等推出，再结合AB=AC证明，根据全等的性质得对应边相等，进而计算线段长度.
6．（2025八上·柯桥期中）如图，中，，，是的中线，点在边上，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，，是的中线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】由等腰三角形的三线合一得，，再根据等边对等角及三角形的内角和定理得，最后根据角的构成，由可算出答案.
7．（2025八上·柯桥期中）如图，在中，，点为的中点，在中，，连接，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，点E为的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
同理可得，
∴
故答案为：B.
【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，由等边对等角及三角形外角性质求出∠AEF=∠EFC+∠ECF=48°， 同理可得∠AEB=100°，然后根据三角形的内角和定理及等边对等角可求出∠EFB的度数.
8．（2025八上·柯桥期中）如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（　　）
A．72 B．36 C．66 D．42
【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵，
∴，
在中，，
∴是直角三角形，
∴
．
故答案为：B．
【分析】连接AC，首先根据勾股定理算出AC，然后利用勾股定理的逆定理判断出△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，最后根据直角三角形面积计算公式，由S四边形ABCD=S△ABC=S△ACD，列式计算即可.
9．（2025八上·柯桥期中）如图，在中，的平分线交高于点E，交于点F，连接．下列结论：①；②；③平分；④点E是的中点，其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；平行线的应用-求角度；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴；则①正确；
∵，
∴，
∴.
∵平分，
∴.
∵，
∴，
∴；则②正确；
∵，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴平分；则③正确；
∵，
∴.
在中，，
∴，
所以④不正确.
综上所述，正确的有①②③.
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠ACD=∠B，据此可判断①；由二直线平行，同位角相等及①的结论可推出∠ACD=∠AFE，由角平分线的定义得∠CAE=∠FAE，从而利用“AAS”判断出△ACE≌△AFE，由全等三角形的对应边相等得AF=AC，据此可判断②；由等边对等角得∠ACF=∠AFC，根据角的构成及等量减去等量差相等推出∠ECF=∠EFC，由二直线平行，内错角相等推出∠ECF=∠BCF=∠EFC，据此可判断③；由等角对等边得CE=EF，而EF＞ED，则CE＞ED，据此可判断④.
10．（2025八上·柯桥期中）如图，在中，，将沿折叠至，，连接平分，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于E，于F，
则，
由折叠可知，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵平分，
∴
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】连接BB'，过点B'作B'E⊥BC于E，B'F⊥AC于F，由折叠性质得，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出ABB'是等边三角形，由等边三角形的性质得出；由角平分线的性质得 ，B'E=B'F，运用“HL”可证得，由全等三角形的对应角相等得出，由角的构成及等式性质推出， 由三角形的内角和定理推出 ，从而即可得出答案.
11．（2025八上·柯桥期中）如图，.若，，则中边的长是　 　.
【答案】
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】由全等三角形的对应边相等得AB=DE，然后根据AE=AB+BE=AB+DE-BD代值计算可得AB的长.
12．（2025八上·柯桥期中）若，则　 　；若，且，则　 　；若，则　 　0（填或）．
【答案】；；
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴；
∵，且，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴．
故答案为：；；．
【分析】在不等式a＜-2的两边同时乘以同一个负数a，不等号方向改变，据此可得第一空答案；在不等式a＜b的两边同时乘以同一个负数c，不等号方向改变得ac＞bc，再在该不等式两边同时加上同一个数c，不等号方向不改变，据此可得第二空的答案；在不等式a＞b的两边同时减去同一个数b，不等号方向不改变得a-b＞0， 再在该不等式两边同时乘以同一个负数c，不等号方向改变，据此可得第三空答案.
13．（2025八上·柯桥期中）如图，若，，，与交于点，则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由全等三角形对应角相等得，由角的构成及等式性质可推出，最后根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可求出∠A'CO的度数.
14．（2025八上·柯桥期中）如图，在中，，，平分，是中点，若，则的长为　 　
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵点是中点，
∴，
故答案为：．
【分析】由直角三角形的两锐角互余可得，由角平分线的定义得，由等角对等边可得到，最后根据直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半可得CE的长.
15．（2025八上·柯桥期中）如图，在中，点在上，点在上，连接、．若，，，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先由三角形的一个外角等于与之不相邻两个内角的和求得，再由“SSS”证△ABD≌△EBD，由全等三角形的对应角相等得，最后根据三角形的内角和定理即可求出∠C的度数.
16．（2025八上·柯桥期中）如图所示，在中，，，、分别是、上的点．若，，，则的面积为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点C作交延长线于点M，
在中，，，
∵CM∥AB
，
∴，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
则的面积为，
故答案为：16．
【分析】过点C作交延长线于点M， 由等腰直角三角形的性质得，由二直线平行，内错角相等可推出，由对顶角相等及已知可推出，从而由“ASA”判断出△CDE≌△CDM，由全等三角形的对应边相等得CE=CM=4，由直角三角形的量锐角互余、角的构成及同角的余角相等推出∠ABE=∠CAM，从而由“ASA”判断出△ABE≌△CAM，由全等三角形的对应边相等得AE=CM=4，然后根据线段和差求出AB=AC=AE+CE=8，最后根据三角形面积计算即可.
17．（2025八上·柯桥期中）将下列不等式化成“”或“”的形式．
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
不等式两边同时乘以，可得，
，
（2）解：，
不等式两边同时减，可得，
，
不等式两边同时减，可得，
，
系数化为，可得，
，
【知识点】利用不等式的性质解简单不等式
【解析】【分析】（1）根据不等式的性质，在不等式的两边同时除以“”将未知数项的系数化为1，即可得到不等式的解集；
（2）根据不等式的性质，先在不等式两边同时加2x，再同时减去2将不等式变形为-5x＜1，再在不等式的两边同时除以“-5”将未知数项的系数化为1，即可得到不等式的解集.
18．（2025八上·柯桥期中）如图，已知，且点D在边上．
（1）求证∶；
（2）若，求 的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
即的长为10．
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）根据全等三角形性质可得，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
即的长为10．
19．（2025八上·柯桥期中）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，且的周长等于．
（1）求的长；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）解：∵的垂直平分线交于点E，交于点D，
∴，
∵的周长等于，
∴，
∴，即
又∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵的垂直平分线交于点E，交于点D，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到，再根据三角形周长公式、等量代换及线段的和差推出，再代入AC的长，即可求出BC的长；
（2）先根据三角形内角和定理求出，由等边对等角求出，最后根据可算出答案．
（1）解：∵的垂直平分线交于点E，交于点D，
∴，
∵的周长等于，
∴，
∴，即
又∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵的垂直平分线交于点E，交于点D，
∴，
∴，
∴．
20．（2025八上·柯桥期中）如图，一架25米长的云梯斜靠一面竖直的墙上，这时梯子底端C离墙7米．
（1）这个梯子的顶端A距离地面多远？
（2）如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了多少米？
【答案】（1）解：在中，∵BC=7m，AC=25m
∴m，
答：这个梯子的顶端A距地面有远；
（2）解：∵梯子的顶端A下滑了至点D，
∴，
在中，DE=25m，
∴m，
∴
答：梯子的底端在水平方向滑动了．
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】（1）在Rt△中，利用勾股定理可得，从而代值计算即可；
（2）首先由线段和差求出的长，在Rt△BDE中，利用勾股定理可得 ，代值计算可求出BE的长，进而根据CE=BE-BC可算出答案.
（1）解：在中，由勾股定理得，
即，
∴，
答：这个梯子的顶端A距地面有远；
（2）解：∵梯子的顶端A下滑了至点D，
∴，
在中，由勾股定理得，
即
∴，
∴
答：梯子的底端在水平方向滑动了．
21．（2025八上·柯桥期中）如图，在中，，，垂足为，，垂足为，与相交于点．
（1）试判断线段与的数量关系，并说明理由；
（2）若，试猜想线段与有何数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：，理由如下，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，理由：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（）知，，
∴
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）先利用等角对等边得出EA=EB，利用“8”字形图可证出，从而利用“ASA”证，由全等三角形的对应边相等即可得出AF=BC；
（2）先根据三角形的内角和求出，由等角对等边得出，由等腰三角形的三线合一得出BC=2BD，结合（1）的结论即可得出AF=2BD.
（1）解：，理由如下，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，理由：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（）知，，
∴
22．（2025八上·柯桥期中）如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点，连接，且．
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，作，垂足为，连接．求证：垂直平分．
【答案】（1）解：是的垂直平分线，
，
，
设，则，
，
，
，
，
在中，，
解得，
；
（2）证明：由（1）得，，，
，
平分，
，，
，
，
，
，
平分，
，，
，
，，
垂直平分．
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AD=BD，由等边对等角得，由三角形外角性质得出∠BDC=2x，再根据等边对等角得出∠C=∠BDC=∠ABC=2x，最后根据三角形的内角和定理建立方程可求出x的值，从而求出∠A的度数；
（2）先证BD平分∠ABC，由角平分线上的点到角两边的距离相等得到DE=DF，再根据三角形内角和定理推出即BD平分，再由角平分线上的点到角两边的距离相等得到BE=BF，根据到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上课推出点D、B都在线段EF的垂直平分线上，最后根据两点确定一条直线得出BD就是EF得垂直平分线.
（1）解：是的垂直平分线，
，
，
设，则，
，
，
，
，
在中，，
解得，
；
（2）证明：由（1）得，，，
，
平分，
，，
，
，
，
，
平分，
，，
，
，，
垂直平分．
23．（2025八上·柯桥期中）综合与实践
如图，在中，．以点为圆心，为半径画弧，交于点，连接．过点作的垂线，交于点．观察这个图形，同学们纷纷提出自己的想法．
（1）圆圆说：“．”你认为圆圆的说法正确吗？请说明理由．
（2）方方说：“若，则．”请你证明结论．
【答案】（1）解：圆圆的说法正确，理由如下：
由作图可得：，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴圆圆的说法正确；
（2）解：如图1，过作于，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴BD=2DF，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由等边对等角，由平角的定义、角的构成及等角的余角相等得，据此可判断圆圆的说法正确；
（2）如图1，过作于，由直角三角形两锐角互余、平角定义及同角的余角相等可推出，由等腰三角形的三线合一得BD=2DF，结合BD=2DE可得，从而由“AAS”可得，由全等三角形的对应边相等得出BE=AD.
（1）解：圆圆的说法正确，理由如下：
由作图可得：，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴圆圆的说法正确；
（2）解：如图1，过作于，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
24．（2025八上·柯桥期中）定义：过三角形的一个顶点作射线与其对边相交，将这个三角形分成的两个三角形中有等腰三角形，那么这条射线就叫做原三角形的“等腰分割线”．
（1）在中，．
①如图1，若O为的中点，则射线 的等腰分割线；(填“是”或“不是”)
②如图2，已知的一条等腰分割线交边于点P，且，请求出的长度．
（2）如图3，中，为边上的高，F为的中点，过点F的直线l交于点E，作，垂足为M，N， ，且．若射线为的“等腰分割线”，求的最大值．
【答案】（1）①是
②解：设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴；
（2）解：如图3，过点A作于点G．
∵为边上的高，
∴．
∵，
∴不是等腰三角形．
∵为的“等腰分割线”，
∴是等腰三角形，且．
∵，
∴，
∵于M，
∴．
∵F为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴的最大值为8
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（1）解∶①∵中，，O是的中点，
∴，
∴均为等腰三角形，
∴射线是的等腰分割线，
故答案为∶是；
【分析】（1）①根据直角三角形斜边上的中线性质可得，根据等腰三角形判定定理可得均为等腰三角形，再根据“等腰分割线”定义即可求出答案.
②设，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（2）过点A作于点G，根据等腰三角形判定定理可得不是等腰三角形，再根据等腰分割线”定义可得是等腰三角形，且，根据勾股定理可得AD，根据线段中点可得CF=AF，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据三角形边之间的关系即可求出答案.
（1）解∶①∵中，，O是的中点，
∴，
∴均为等腰三角形，
∴射线是的等腰分割线，
故答案为∶是；
②设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴；
（2）解：如图3，过点A作于点G．
∵为边上的高，
∴．
∵，
∴不是等腰三角形．
∵为的“等腰分割线”，
∴是等腰三角形，且．
∵，
∴，
∵于M，
∴．
∵F为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴的最大值为8
1 / 1浙江省绍兴市柯桥区联盟学校2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题
1．（2025八上·柯桥期中）以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·柯桥期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025八上·柯桥期中）下面的语句是假命题的是（　　）
A．同旁内角互补
B．数轴上每一个点都有一个实数与之对应
C．垂线段最短
D．直角的补角是直角
4．（2025八上·柯桥期中）下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2025八上·柯桥期中）如图，，，于D，于E，且．若，，则的长是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2025八上·柯桥期中）如图，中，，，是的中线，点在边上，，则等于（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八上·柯桥期中）如图，在中，，点为的中点，在中，，连接，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八上·柯桥期中）如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（　　）
A．72 B．36 C．66 D．42
9．（2025八上·柯桥期中）如图，在中，的平分线交高于点E，交于点F，连接．下列结论：①；②；③平分；④点E是的中点，其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④
10．（2025八上·柯桥期中）如图，在中，，将沿折叠至，，连接平分，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025八上·柯桥期中）如图，.若，，则中边的长是　 　.
12．（2025八上·柯桥期中）若，则　 　；若，且，则　 　；若，则　 　0（填或）．
13．（2025八上·柯桥期中）如图，若，，，与交于点，则的度数是　 　．
14．（2025八上·柯桥期中）如图，在中，，，平分，是中点，若，则的长为　 　
15．（2025八上·柯桥期中）如图，在中，点在上，点在上，连接、．若，，，，则的度数为　 　．
16．（2025八上·柯桥期中）如图所示，在中，，，、分别是、上的点．若，，，则的面积为　 　．
17．（2025八上·柯桥期中）将下列不等式化成“”或“”的形式．
（1）
（2）
18．（2025八上·柯桥期中）如图，已知，且点D在边上．
（1）求证∶；
（2）若，求 的长．
19．（2025八上·柯桥期中）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，且的周长等于．
（1）求的长；
（2）若，，求的度数．
20．（2025八上·柯桥期中）如图，一架25米长的云梯斜靠一面竖直的墙上，这时梯子底端C离墙7米．
（1）这个梯子的顶端A距离地面多远？
（2）如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了多少米？
21．（2025八上·柯桥期中）如图，在中，，，垂足为，，垂足为，与相交于点．
（1）试判断线段与的数量关系，并说明理由；
（2）若，试猜想线段与有何数量关系，并说明理由．
22．（2025八上·柯桥期中）如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点，连接，且．
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，作，垂足为，连接．求证：垂直平分．
23．（2025八上·柯桥期中）综合与实践
如图，在中，．以点为圆心，为半径画弧，交于点，连接．过点作的垂线，交于点．观察这个图形，同学们纷纷提出自己的想法．
（1）圆圆说：“．”你认为圆圆的说法正确吗？请说明理由．
（2）方方说：“若，则．”请你证明结论．
24．（2025八上·柯桥期中）定义：过三角形的一个顶点作射线与其对边相交，将这个三角形分成的两个三角形中有等腰三角形，那么这条射线就叫做原三角形的“等腰分割线”．
（1）在中，．
①如图1，若O为的中点，则射线 的等腰分割线；(填“是”或“不是”)
②如图2，已知的一条等腰分割线交边于点P，且，请求出的长度．
（2）如图3，中，为边上的高，F为的中点，过点F的直线l交于点E，作，垂足为M，N， ，且．若射线为的“等腰分割线”，求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、该选项中的节水标志不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B 、该选项中的低碳志不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C 、该选项中的绿色包装标志不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D 、该选项中的回收标志不是轴对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是对称轴，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：不等式的解集在数轴上表示为
．
故答案为：C.
【分析】根据数轴上表示不等式解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式的解集在数轴上表示出来即可判断得出答案.
3．【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；垂线段最短及其应用；真命题与假命题；补角
【解析】【解答】解：对A选项，两直线平行，同旁内角互补，为假命题，故A符合题意；
对B选项，数轴上每一个点都有一个实数与之对应，为真命题，故B不符合题意；
对C选项，垂线段最短，为真命题，故C不符合题意；
对D选项，直角的补角是直角，为真命题，故D不符合题意；
故答案：A.
【分析】分别判断各选项中命题的真假，即可得结果.
4．【答案】C
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：依题意，不等式有：①，②，⑤，⑥，共4个.
故答案为：C．
【分析】用不等号，，，，表示不等关系的式子，叫不等式，据此逐一判断得出答案.
5．【答案】B
【知识点】直角三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】
本题考查全等三角形的判定(AAS)与性质和等角的余角相等，先由垂直得直角，利用等角的余角相等推出，再结合AB=AC证明，根据全等的性质得对应边相等，进而计算线段长度.
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，，是的中线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】由等腰三角形的三线合一得，，再根据等边对等角及三角形的内角和定理得，最后根据角的构成，由可算出答案.
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，点E为的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
同理可得，
∴
故答案为：B.
【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，由等边对等角及三角形外角性质求出∠AEF=∠EFC+∠ECF=48°， 同理可得∠AEB=100°，然后根据三角形的内角和定理及等边对等角可求出∠EFB的度数.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵，
∴，
在中，，
∴是直角三角形，
∴
．
故答案为：B．
【分析】连接AC，首先根据勾股定理算出AC，然后利用勾股定理的逆定理判断出△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，最后根据直角三角形面积计算公式，由S四边形ABCD=S△ABC=S△ACD，列式计算即可.
9．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；平行线的应用-求角度；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴；则①正确；
∵，
∴，
∴.
∵平分，
∴.
∵，
∴，
∴；则②正确；
∵，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴平分；则③正确；
∵，
∴.
在中，，
∴，
所以④不正确.
综上所述，正确的有①②③.
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠ACD=∠B，据此可判断①；由二直线平行，同位角相等及①的结论可推出∠ACD=∠AFE，由角平分线的定义得∠CAE=∠FAE，从而利用“AAS”判断出△ACE≌△AFE，由全等三角形的对应边相等得AF=AC，据此可判断②；由等边对等角得∠ACF=∠AFC，根据角的构成及等量减去等量差相等推出∠ECF=∠EFC，由二直线平行，内错角相等推出∠ECF=∠BCF=∠EFC，据此可判断③；由等角对等边得CE=EF，而EF＞ED，则CE＞ED，据此可判断④.
10．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于E，于F，
则，
由折叠可知，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵平分，
∴
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】连接BB'，过点B'作B'E⊥BC于E，B'F⊥AC于F，由折叠性质得，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出ABB'是等边三角形，由等边三角形的性质得出；由角平分线的性质得 ，B'E=B'F，运用“HL”可证得，由全等三角形的对应角相等得出，由角的构成及等式性质推出， 由三角形的内角和定理推出 ，从而即可得出答案.
11．【答案】
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】由全等三角形的对应边相等得AB=DE，然后根据AE=AB+BE=AB+DE-BD代值计算可得AB的长.
12．【答案】；；
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴；
∵，且，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴．
故答案为：；；．
【分析】在不等式a＜-2的两边同时乘以同一个负数a，不等号方向改变，据此可得第一空答案；在不等式a＜b的两边同时乘以同一个负数c，不等号方向改变得ac＞bc，再在该不等式两边同时加上同一个数c，不等号方向不改变，据此可得第二空的答案；在不等式a＞b的两边同时减去同一个数b，不等号方向不改变得a-b＞0， 再在该不等式两边同时乘以同一个负数c，不等号方向改变，据此可得第三空答案.
13．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由全等三角形对应角相等得，由角的构成及等式性质可推出，最后根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可求出∠A'CO的度数.
14．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵点是中点，
∴，
故答案为：．
【分析】由直角三角形的两锐角互余可得，由角平分线的定义得，由等角对等边可得到，最后根据直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半可得CE的长.
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先由三角形的一个外角等于与之不相邻两个内角的和求得，再由“SSS”证△ABD≌△EBD，由全等三角形的对应角相等得，最后根据三角形的内角和定理即可求出∠C的度数.
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点C作交延长线于点M，
在中，，，
∵CM∥AB
，
∴，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
则的面积为，
故答案为：16．
【分析】过点C作交延长线于点M， 由等腰直角三角形的性质得，由二直线平行，内错角相等可推出，由对顶角相等及已知可推出，从而由“ASA”判断出△CDE≌△CDM，由全等三角形的对应边相等得CE=CM=4，由直角三角形的量锐角互余、角的构成及同角的余角相等推出∠ABE=∠CAM，从而由“ASA”判断出△ABE≌△CAM，由全等三角形的对应边相等得AE=CM=4，然后根据线段和差求出AB=AC=AE+CE=8，最后根据三角形面积计算即可.
17．【答案】（1）解：，
不等式两边同时乘以，可得，
，
（2）解：，
不等式两边同时减，可得，
，
不等式两边同时减，可得，
，
系数化为，可得，
，
【知识点】利用不等式的性质解简单不等式
【解析】【分析】（1）根据不等式的性质，在不等式的两边同时除以“”将未知数项的系数化为1，即可得到不等式的解集；
（2）根据不等式的性质，先在不等式两边同时加2x，再同时减去2将不等式变形为-5x＜1，再在不等式的两边同时除以“-5”将未知数项的系数化为1，即可得到不等式的解集.
18．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
即的长为10．
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）根据全等三角形性质可得，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
即的长为10．
19．【答案】（1）解：∵的垂直平分线交于点E，交于点D，
∴，
∵的周长等于，
∴，
∴，即
又∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵的垂直平分线交于点E，交于点D，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到，再根据三角形周长公式、等量代换及线段的和差推出，再代入AC的长，即可求出BC的长；
（2）先根据三角形内角和定理求出，由等边对等角求出，最后根据可算出答案．
（1）解：∵的垂直平分线交于点E，交于点D，
∴，
∵的周长等于，
∴，
∴，即
又∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵的垂直平分线交于点E，交于点D，
∴，
∴，
∴．
20．【答案】（1）解：在中，∵BC=7m，AC=25m
∴m，
答：这个梯子的顶端A距地面有远；
（2）解：∵梯子的顶端A下滑了至点D，
∴，
在中，DE=25m，
∴m，
∴
答：梯子的底端在水平方向滑动了．
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】（1）在Rt△中，利用勾股定理可得，从而代值计算即可；
（2）首先由线段和差求出的长，在Rt△BDE中，利用勾股定理可得 ，代值计算可求出BE的长，进而根据CE=BE-BC可算出答案.
（1）解：在中，由勾股定理得，
即，
∴，
答：这个梯子的顶端A距地面有远；
（2）解：∵梯子的顶端A下滑了至点D，
∴，
在中，由勾股定理得，
即
∴，
∴
答：梯子的底端在水平方向滑动了．
21．【答案】（1）解：，理由如下，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，理由：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（）知，，
∴
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）先利用等角对等边得出EA=EB，利用“8”字形图可证出，从而利用“ASA”证，由全等三角形的对应边相等即可得出AF=BC；
（2）先根据三角形的内角和求出，由等角对等边得出，由等腰三角形的三线合一得出BC=2BD，结合（1）的结论即可得出AF=2BD.
（1）解：，理由如下，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，理由：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（）知，，
∴
22．【答案】（1）解：是的垂直平分线，
，
，
设，则，
，
，
，
，
在中，，
解得，
；
（2）证明：由（1）得，，，
，
平分，
，，
，
，
，
，
平分，
，，
，
，，
垂直平分．
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AD=BD，由等边对等角得，由三角形外角性质得出∠BDC=2x，再根据等边对等角得出∠C=∠BDC=∠ABC=2x，最后根据三角形的内角和定理建立方程可求出x的值，从而求出∠A的度数；
（2）先证BD平分∠ABC，由角平分线上的点到角两边的距离相等得到DE=DF，再根据三角形内角和定理推出即BD平分，再由角平分线上的点到角两边的距离相等得到BE=BF，根据到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上课推出点D、B都在线段EF的垂直平分线上，最后根据两点确定一条直线得出BD就是EF得垂直平分线.
（1）解：是的垂直平分线，
，
，
设，则，
，
，
，
，
在中，，
解得，
；
（2）证明：由（1）得，，，
，
平分，
，，
，
，
，
，
平分，
，，
，
，，
垂直平分．
23．【答案】（1）解：圆圆的说法正确，理由如下：
由作图可得：，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴圆圆的说法正确；
（2）解：如图1，过作于，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴BD=2DF，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由等边对等角，由平角的定义、角的构成及等角的余角相等得，据此可判断圆圆的说法正确；
（2）如图1，过作于，由直角三角形两锐角互余、平角定义及同角的余角相等可推出，由等腰三角形的三线合一得BD=2DF，结合BD=2DE可得，从而由“AAS”可得，由全等三角形的对应边相等得出BE=AD.
（1）解：圆圆的说法正确，理由如下：
由作图可得：，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴圆圆的说法正确；
（2）解：如图1，过作于，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
24．【答案】（1）①是
②解：设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴；
（2）解：如图3，过点A作于点G．
∵为边上的高，
∴．
∵，
∴不是等腰三角形．
∵为的“等腰分割线”，
∴是等腰三角形，且．
∵，
∴，
∵于M，
∴．
∵F为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴的最大值为8
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（1）解∶①∵中，，O是的中点，
∴，
∴均为等腰三角形，
∴射线是的等腰分割线，
故答案为∶是；
【分析】（1）①根据直角三角形斜边上的中线性质可得，根据等腰三角形判定定理可得均为等腰三角形，再根据“等腰分割线”定义即可求出答案.
②设，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（2）过点A作于点G，根据等腰三角形判定定理可得不是等腰三角形，再根据等腰分割线”定义可得是等腰三角形，且，根据勾股定理可得AD，根据线段中点可得CF=AF，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据三角形边之间的关系即可求出答案.
（1）解∶①∵中，，O是的中点，
∴，
∴均为等腰三角形，
∴射线是的等腰分割线，
故答案为∶是；
②设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴；
（2）解：如图3，过点A作于点G．
∵为边上的高，
∴．
∵，
∴不是等腰三角形．
∵为的“等腰分割线”，
∴是等腰三角形，且．
∵，
∴，
∵于M，
∴．
∵F为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴的最大值为8
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