资源简介

(共40张PPT)
2.3 　实数
第2章 实数
随堂演练
课堂小结
情景引入
知识回顾
获取新知
2.3.1 　认识实数
例题讲解
知识回顾
负整数和负分数合称为负有理数.
有理数为整数和分数的统称.
有理数
正有理数
正整数和正分数合称为正有理数.
负有理数
有理数按符号分类
正有理数
负有理数
零
有理数
无限不循环小数叫作无理数.
无理数
无理数按符号分类
正无理数
负无理数
无理数
下列各数中，哪些是无理数？
是无理数.
， ， ， ， ，
0.101001…（相邻两个1之间逐次增加一个0）
情景引入
有理数和无理数统称为实数.
一、实数的概念及分类
1、 实数的概念
获取新知
实数
有理数
无理数
负有理数
正有理数
2、实数的分类
按定义分类
分类时要注意什么
不重不漏原则
思考：可以从哪些角度对实数进行分类？
零
负无理数
正无理数
你还有其他分类方法吗？
实数
正实数
负实数
0
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
2、 实数的分类（与有理数分类一样）
按符号分类
思考：每一个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示.，那么每一个无理数（如）是否也可以用数轴上唯一的点来表示呢？
二、用数轴上的点表示实数
2cm2
一个面积为2 cm2的正方形边长为cm。
0
1
2
3
-1
-
这可以说明：
每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示.
我们还可以说明：
数轴上每一个点都表示唯一的一个实数.
上面两个结论结合起来可以简洁地说成：
实数和数轴上的点一一对应.
实数分为正实数、零、负实数
思考：如果在数轴上表示，正实数、零、负实数应该在原点的哪侧呢？
原点
0
正实数
负实数
数轴上表示正实数的点在原点右边，
表示零的点在原点上.
表示负实数的点在原点左边.
思考：有理数中的相反数、绝对值等概念对实数是否仍然适用？
如果两个实数只有符号不同，那么其中一个数叫作另一个数的相反数，也称它们互为相反数.
如：
三、实数的性质
1、 相反数
任意一个实数a的相反数记作-a.
0的相反数是0.
正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
如：
2、 绝对值
设a表示一个实数，则
｜a｜=
a，当 a > 0时，
0，当 a = 0时，
-a，当 a < 0时.
例题讲解
例1 将下列各数分别填入下列相应的括号内：
无理数：
有理数：
正实数：
负实数：
注意：最后的省略号，它代表的是无限小数
例2 求下列各数的相反数和绝对值:
解：
1、 把下列各数填入相应的框内：
有理数
…
无理数
…
随堂演练
2、 判断（正确的画“√”，错误的画“×”）.
（1） 任何一个无理数的绝对值都是正数； （ ）
（2） 不带根号的数都是有理数； （ ）
（3） 实数可以分为正实数和负实数两类. （ ）
√
×
×
（3）-的相反数是，|-|=
3、求下列各数的相反数和绝对值.
（1）； （2）； （3）-.
（2） 的相反数，||=;
（1）的相反数是-，;
解：
课堂小结
实数
有理数
无理数
有限小数或无限循环小数
分类
无限不循环小数
在实数范围内，相反数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、绝对值的意义完全一样
性质
实数和数轴上的点一一对应
有理数和无理数统称为实数
概念
第2章 实数
课堂小结
获取新知
知识回顾
例题讲解
2.3.2　实数的运算
随堂演练
知识回顾
下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？
， 0， 1.414， ， ， ，
， 0.1010010001…（相邻两个1之间逐次增加一个0）.
是有理数，
是无理数.
思考：有理数可以做加、减、乘、除、乘方运算，实数可以吗？
获取新知
问题1：有理数运算法则和运算律对于实数是否仍然适用？
一、实数的运算
把数从有理数扩充到实数以后，实数也可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且非负数可以进行开平方运算，任意实数都可以进行开立方运算.
在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算律等，对于实数仍然成立.
填空：设a,b,c是任意实数，则
（1）a+b=_______（加法交换律）
（2）（a+b）+c= _______（加法结合律）
（3）ab=_______（乘法交换律）
（4）（ab）c=_______（乘法结合律）
b+a
a+(b+c)
ba
a(bc)
（5）a（b+c）= _______（乘法对于加法的分配律）
（b+c）a= _______（乘法对于加法的分配律）
ab+ac
ba+ca
填空：设a,b,c是任意实数，则
（6）实数的减法运算规定为a-b=a+_______
（7）实数的除法运算（除数b≠0），规定为a÷b=a · _______
（8）实数有一条重要性质：如果a ≠ 0,b≠0，那么ab____0
(-b)
≠
（9）若ab=0，则a=_______或b=______.
0
0
1.每一个正实数a有且只有两个平方根，分别为±它们互为相反数；
结论：
3.在实数范围内，负实数没有平方根;
4.在实数范围内，每个实数有且只有一个立方根.
议一议：对于实数a，它有几个平方根，几个立方根？
2. 0的平方根是0;
当a为非负实数时，2=a，2=a，
当a为非零实数时，a和-a是a2的两个平方根
若a-b>0, 则称a大于b(或者b小于a),记作a>b (或b若a-b<0, 则称a小于b(或者b大于a),记作aa);
若a-b =0, 则称a等于b,记 作a=b.
结论：
实数也可以比较大小.对于实数a,b:
实数大小比较：
一般地，对于两个正实数a，b， 若 a>b, 则>, 反过来也成立；对于两个正实数a,b, 若a>b, 则 >, 反过来也成立.
对于任何实数a,b, 在 a>b,a=b,a对于实数有：
正实数大于一切负实数；
两个负实数，绝对值大的数反而小；
数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
例1 比较下列各数的大小：
例题讲解
解：
（1）因为2.5 =6.25，( )2=7，又6.25<7，所以2.5< .
（2）因为3 =27，( ) =25，27>25，所以3> .
（3）因为|-3|=3，|-| = ,由(2)知3> 所以-3<-
思考：不用计算器，分别估计与在哪两个相邻整数之间？
由于10 =100<115，( ) =115，11 =121>115，
所以 应介于10和11之间，即10< <11.
由于4 =64<121，() =121，5 =125>121,
所以 应介于4和5之间，即4<<5.
例2 用计算器计算： （结果精确到0.01）.
显示：4.472 135 955.
所以
解 按键：
2×=2
在实数运算中，如果遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可按精确度用相应的近似有限小数（一般比计算结果要求的精确度多保留一位）去代替无理数计算，最后四舍五入.
例3 利用 =1.414213562…·和 =2.645751311…计算 + 的值(结果精确到0.001).
解：由于需精确到0.001,于是只需取 ≈1.4142, ≈2.6457,
故 + ≈1.4142+2.6457=4.0599≈4.060.
不用计算器， 与2比较哪个大？
，2可以看作分别是面积为5，4的正方形的边长，容易说明：面积较大的正方形，它的边长也较大 因此
与3比较呢？
同样，由于5＜9，所以
总结：可以利用平方法把无理数转化为有理数再比较大小.
比较两个实数大小的方法：
定义法：正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数
数轴法：数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大
绝对值法：两个负数，绝对值大的反而小
归纳总结
平方法：对于两个正数a,b,若 ，则a>b
估算法：将无理数转化为近似的有理数再做比较
作差法：如果a-b>0,则a>b；如果a-b<0，则a作商法：对于两个正数a，b，
例4 比较下列各组数的大小：
解 ：(1)因为 12 < 42，
所以 < 4，
所以 －1< 3；
（2）因为 10 > 32 ，
所以
所以
例题讲解
1、的大小.
随堂演练
解：
(1)因为（）2= （﹣）2= ，（）2=7，
因为 ＞7，所以＜-
2、 不用计算器，分别估计与在哪两个相邻整数之间.
解 ：因为62＜（）2＜72，
所以介于6与7之间，即6＜＜7.
因为33＜（）3＜43，
所以介于3与4之间，即3＜＜4.
3、 利用 =1.259921049…和 =2.236067977…计算+ 的值(结果精确到0.001).
解 ：由于需精确到0.001，于是只需取≈1.2599，=2.2360，
故+ ≈1.2599+2.2360=3.4959≈3.496.
（1）
解
（2）
解
（3）
解
4、 用计算器计算（精确到0.01）：
课堂小结
实数
实数的运算
实数的运算律
用计算器计算
实数的大小比较
实数的大小比较
法则法
数轴法
绝对值法
平方法
做差法
做商法
估值法