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第19章 二次根式
一．选择题（共10小题）
1．（2025秋 祁阳市校级期末）已知x为任意实数，在实数范围内一定有意义的二次根式是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025秋 昌图县期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025秋 山西期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025秋 静安区校级期末）某同学做了以下四道习题，①；②；③；④．其中做错的题有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2025秋 甘谷县期末）如图，一个矩形被分割成四部分．已知图形①②③都是正方形，且正方形①的边长为1，阴影部分的面积为，则正方形③的面积为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025秋 凤城市期末）如图，从宠物帐篷的顶部A向地面拉一根绳子AD以固定帐篷．帐篷一边，绳长AD＝2，AD与地面的夹角∠D＝45°，则点D与帐篷底部点C之间的距离DC为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025秋 隆昌市校级期末）把四张形状大小完全相同，宽为1cm的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为5cm盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　）
A．20cm B．
C． D．
8．（2025秋 祁阳市校级期末）若，，则ab的值是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．5
9．（2025秋 崇川区校级月考）已知ab＞0，化简二次根式的正确结果是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024秋 吴桥县期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从25m高空抛物到落地所需时间为t1，从50m高空抛物到落地所需时间为t2，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
11．（2025秋 武昌区月考）阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式m3+2m2﹣2025m+2026的值是　 　 ．
12．（2025 重庆自主招生）已知a，b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a，b）共有　 　 对．
13．（2025 枣庄校级四模）若实数a，b满足a+b＝6，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则关于6的“如意数”的是　 　 ．
14．（2025 建华区校级模拟）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为　 　 ．
15．（2025秋 泉州期中）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为 　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025秋 龙岗区校级期末）计算：
（1）（）；
（2）．
17．（2025秋 祁阳市校级期末）阅读材料，回答下列问题：
（一）已知a，b为非负实数，∵，∴，当且仅当“a＝b”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”．
（二）分数和分式有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化为整式与真分式的和的形式，如；
（1）在①，②，③，④这些分式中，属于假分式的是　 　 （填序号）：
（2）已知，求代数式的值；
（3）当x为何值时，有最小值？求出该最小值．
18．（2025秋 朝阳区校级期末）有一块长方形木板ABCD，木工甲采用如图的方式，将木板的长AD增加（即），宽AB增加（即）．得到一个面积为192cm2的正方形AGFE．
（1）求长方形木板ABCD的面积；
（2）木工乙想从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行．
19．（2025秋 普陀区期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和高度h（m）近似满足公式（不考虑阻力的影响）．
（1）求物体从60m的高空落到地面的时间；
（2）小明说物体从120m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由；
（3）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m），某质量为0.06kg的鸡蛋经过5s落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要65J的能量）
20．（2025秋 秦州区校级期末）阅读与思考：
∵，即，
∴的整数部分为1，
设的小数部分为x，
则，
∴，
即的小数部分为．
解答下列问题：
（1）的整数部分是　 　 ，小数部分是　 　 ；
（2）如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值．
第19章 二次根式
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025秋 祁阳市校级期末）已知x为任意实数，在实数范围内一定有意义的二次根式是（　　）
A． B．
C． D．
二次根式的定义．
二次根式；运算能力．
【答案】D
根据二次根式有意义时被开方数大于或等于零、分式有意义时，分母不等于零解答本题即可．
【解答】解：根据二次根式有意义时被开方数大于或等于零、分式有意义时，分母不等于零可得：
A．当x＜0时，没有意义，不符合题意；
B．当1+x≥0，即x≥﹣1时，有意义，即当x＜﹣1时，无意义，不符合题意；
C．当，即x≠0时，有意义，即当x＝0时，无意义，不符合题意；
D．当x2+1≥0，即x取全体实数时，有意义，符合题意．
故选：D．
本题考查了二次根式有意义的条件，及分母不为0，熟练掌握二次根式有意义时被开方数大于或等于零、分式有意义时，分母不等于零是解答本题的关键．
2．（2025秋 昌图县期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二次根式的性质与化简；立方根．
实数；二次根式；运算能力．
【答案】B
依据题意，根据二次根式的性质及立方根的性质逐个判断即可得解．
【解答】解：由题意，对于A、2，故A错误，不合题意；
对于B、2，故B正确，符合题意；
对于C、不能合并，故C错误，不合题意；
对于D、，故D错误，不合题意．
故选：B．
本题主要考查了二次根式的性质与化简、立方根，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次根式的性质是关键．
3．（2025秋 山西期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
二次根式的混合运算．
二次根式；运算能力．
【答案】A
根据相关知识逐项判断即可．
【解答】解：A、，原计算正确，本选项符合题意；
B、和不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：A．
本题考查了二次根式的乘法、二次根式的加法、二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．（2025秋 静安区校级期末）某同学做了以下四道习题，①；②；③；④．其中做错的题有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二次根式的混合运算．
二次根式；运算能力．
【答案】A
根据二次根式的性质和运算法则，逐一判断各等式的正确性．
【解答】解：根据二次根式的性质化简，二次根式的乘法与减法运算逐项分析判断如下：
①，正确，不符合题意；
②，正确，不符合题意；
③，正确，不符合题意；
④，错误，符合题意；
故选：A．
本题考查了利用二次根式的性质化简，二次根式的乘法与减法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
5．（2025秋 甘谷县期末）如图，一个矩形被分割成四部分．已知图形①②③都是正方形，且正方形①的边长为1，阴影部分的面积为，则正方形③的面积为（　　）
A． B． C． D．
二次根式的应用．
二次根式；运算能力．
【答案】D
根据阴影面积可得阴影长，进而可得正方形②的边长，利用长方形的边长的和差，即可得答案．
【解答】解：由添加可知阴影部分的长为：，
∴正方形②的边长为：，
∴正方形③的边长为：，
∴正方形③的面积为：．
故选：D．
本题考查二次根式运算的应用，正方形的面积，利用线段的和差得出边长是解题的关键．
6．（2025秋 凤城市期末）如图，从宠物帐篷的顶部A向地面拉一根绳子AD以固定帐篷．帐篷一边，绳长AD＝2，AD与地面的夹角∠D＝45°，则点D与帐篷底部点C之间的距离DC为（　　）
A． B． C． D．
二次根式的应用．
二次根式；运算能力．
【答案】B
过点A作AE⊥BD于点E，根据勾股定理可得：AE2+DE2＝AD2＝4，进而得出CE＝AC2﹣AE2＝1，即可解答．
【解答】解：过点A作AE⊥BD于点E，
∵∠D＝45°，
∴AE＝DE，
∵AD＝2，
∴根据勾股定理可得：2AE2＝4，
∴，
∵，
根据勾股定理可得：CE＝AC2﹣AE2＝1，
∴，
故选：B．
本题考查了二次根式的应用，熟练掌握勾股定理是关键．
7．（2025秋 隆昌市校级期末）把四张形状大小完全相同，宽为1cm的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为5cm盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　）
A．20cm B．
C． D．
二次根式的应用；整式的加减．
整式；运算能力．
【答案】A
先设小长方形卡片的长为x cm，再结合图形得出上面的阴影长方形的周长和下面的阴影长方形的周长，再把它们加起来即可求出答案．
【解答】解：设小长方形卡片的长为xcm，
根据题意得：，
∴，
则图②中两块阴影部分周长和是：
＝20（cm），
∴图②中两块阴影部分的周长和是20cm．
故选：A．
本题考查二次根式的应用，整式的加减运算，解题的关键是根据题意并结合图形列出关系式，去括号合并即可得到结果．
8．（2025秋 祁阳市校级期末）若，，则ab的值是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．5
二次根式的混合运算．
二次根式；运算能力．
【答案】B
直接利用平方差公式列式计算即可．
【解答】解：∵，，
∴，
故选：B．
本题考查了代数式求值涉及二次根式运算，利用平方差公式计算ab是解答本题的关键．
9．（2025秋 崇川区校级月考）已知ab＞0，化简二次根式的正确结果是（　　）
A． B． C． D．
二次根式的性质与化简；二次根式有意义的条件．
二次根式；运算能力．
【答案】D
根据二次根式的被开方数必须为非负数，及二次根式性质原式化简得到答案．
【解答】解：∵ab＞0，
∴a，b同号，
∵﹣a2b＞0，且a2＞0，
∴﹣b＞0，
∴﹣a＞0，
∴．
故选：D．
本题考查的是二次根式的化简，熟练掌握二次根式的运算法则是关键．
10．（2024秋 吴桥县期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从25m高空抛物到落地所需时间为t1，从50m高空抛物到落地所需时间为t2，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二次根式的应用．
二次根式；运算能力．
【答案】A
根据题意求出t1、t2，再计算t2与t1的比值即可得解．
【解答】解：由题意得：，
故选：A．
本题考查了二次根式的应用，正确进行计算是解此题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025秋 武昌区月考）阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式m3+2m2﹣2025m+2026的值是　2026　 ．
二次根式的化简求值；平方差公式．
计算题；二次根式；运算能力．
【答案】2026．
首先对m进行分母有理化，再利用等式的性质计算出m2+2m+1的值，最后整体代入得结论．
【解答】解：∵m，
∴m+1．
∴（m+1）2＝2026，即m2+2m+1＝2026．
∴m3+2m2﹣2025m+2026
＝m3+2m2+m﹣2026m+2026
＝m（m2+2m+1）﹣2026m+2026
＝2026m﹣2026m+2026
＝2026．
故答案为：2026．
本题考查了代数式的求值，掌握二次根式的分母有理化、等式的性质、整体代入的思想方法是解决本题的关键．
12．（2025 重庆自主招生）已知a，b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a，b）共有　7　 对．
二次根式的化简求值．
计算题．
【答案】7
A，B只能是15n2，然后分别讨论及的取值，最终可确定有序数对的个数．
【解答】解：15只能约分成3，5
那么A，B只能是15n2
先考虑A这边：
①，那么B可以这边可以是1或者，
此时有：（15，60），（15，15），（60，15），
②，只能B这边也是，
此时有：（60，60），
③，那么B这边也只能是，
∴2×（）＝1，
此时有：（240，240）
④的话，那么B这边只能是，那么2（）＝1，
此时有：（135，540），（540，135）．
综上可得共有7对．
故答案为：7．
本题考查二次根式的化简求值，难度较大，关键是根据题意分别讨论及的取值．
13．（2025 枣庄校级四模）若实数a，b满足a+b＝6，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则关于6的“如意数”的是　　 ．
二次根式的加减法．
二次根式；运算能力．
【答案】．
直接根据“如意数”的概念进行求解即可．
【解答】解：由条件可知与是关于6的“如意数”．
故答案为：．
本题考查了新定义下的实数运算，准确理解新定义是解题的关键．
14．（2025 建华区校级模拟）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为x＞﹣1且x≠2　 ．
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；零指数幂．
二次根式；运算能力．
【答案】x＞﹣1且x≠2
零指数幂有意义的条件是底数不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可．
【解答】解：由条件可知，
∴x＞﹣1且x≠2，
故答案为：x＞﹣1且x≠2．
本题主要考查了零指数幂有意义的条件，分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握以上知识点是关键．
15．（2025秋 泉州期中）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为 　﹣a﹣c ．
二次根式的性质与化简；实数与数轴．
二次根式；运算能力．
【答案】﹣a﹣c．
由数轴可得，c＜a＜0＜b，|b|＞|a|，即得a﹣b＜0，b+c＞0，再根据二次根式和绝对值的性质化简即可．
【解答】解：由数轴可得a﹣b＜0，b+c＞0，
∴，
故答案为：﹣a﹣c．
本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，绝对值的性质，根据数轴判断出a﹣b和b+c的符号是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025秋 龙岗区校级期末）计算：
（1）（）；
（2）．
二次根式的混合运算；平方差公式．
二次根式；运算能力．
【答案】（1）；
（2）．
（1）利用二次根式的性质化简并计算即可；
（2）利用二次根式的性质化简并计算即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
本题考查二次根式的混合运算，解题关键在于对二次根式的化简能力．
17．（2025秋 祁阳市校级期末）阅读材料，回答下列问题：
（一）已知a，b为非负实数，∵，∴，当且仅当“a＝b”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”．
（二）分数和分式有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化为整式与真分式的和的形式，如；
（1）在①，②，③，④这些分式中，属于假分式的是　②④　 （填序号）：
（2）已知，求代数式的值；
（3）当x为何值时，有最小值？求出该最小值．
二次根式的性质与化简；完全平方公式；分式的加减法．
分式；二次根式；运算能力．
【答案】（1）②④；
（2）；
（3）x＝﹣2时，最小值为3．
（1）根据真分式、假分式的定义逐项判断即可求解；
（2）先根据，得到，进而得到，即可得到，利用倒数的定义即可求出；
（3）先求出x≥﹣2，再将变形为根据（一）结论得到2+1＝3，即可求出当且仅当，即x＝﹣2时，有最小值，最小值为3．
【解答】解：（1）在①，②③④这些分式中，属于假分式的是：②，④．
故答案为：②④；
（2）由条件可知，
∴，
∴，
∴．
（3）由条件可知x≥﹣2．
原式
＝2+1＝3．
当且仅当，即x＝﹣2时，等号成立．
∴原式的最小值为3．
本题为新定义问题，考查了分式的计算，二次根式的变形，完全平方公式的应用等知识，理解题目中的相关材料，并根据题意灵活应用是解题关键．
18．（2025秋 朝阳区校级期末）有一块长方形木板ABCD，木工甲采用如图的方式，将木板的长AD增加（即），宽AB增加（即）．得到一个面积为192cm2的正方形AGFE．
（1）求长方形木板ABCD的面积；
（2）木工乙想从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行．
二次根式的应用．
二次根式；运算能力；应用意识．
【答案】（1）18cm2（2）木工乙的想法可行，理由见解析．
（1）依据题意，先求出正方形的边长，然后再求出长方形的各边长，再求出结果即可；
（2）依据题意，由矩形面积公式列式计算，然后比较大小即可；
【解答】解：（1）由题意可得：正方形的边长为：，
∴，．
∴矩形ABCD木板的面积为．
（2）木工乙的想法可行，理由如下：
从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为，
∴裁出长为：，
由（1）得长方形ABCD的长为宽为，
∵4，6，，
∴，，
∴可以裁出所求的长方形木料．
∴木工乙的想法可行．
本题主要考查了二次根式的应用，矩形面积的计算，正方形面积的计算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则．
19．（2025秋 普陀区期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和高度h（m）近似满足公式（不考虑阻力的影响）．
（1）求物体从60m的高空落到地面的时间；
（2）小明说物体从120m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由；
（3）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m），某质量为0.06kg的鸡蛋经过5s落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要65J的能量）
二次根式的应用．
二次根式；运算能力．
【答案】（1）；
（2）不正确；理由见解析；
（3）75J；严禁高空抛物，一个鸡蛋都能砸伤人．
（1）把h＝60m代入公式即可，
（2）把h2＝120m代入公式求出时间，与（1）中时间相比较即可得到结论．
（3）求出h，代入动能计算公式即可求出．
【解答】解：（1）把h＝60m代入公式可得：
；
（2）不正确．
理由：当h2＝120m时，．
∴不正确；
（3）当t＝5s时，，
解得h＝125m．
∴鸡蛋产生的动能＝10×0.06×125＝75（J）．
∴启示：严禁高空抛物，一个鸡蛋都能砸伤人．
本题考查二次根式的应用，通过具体情境考查二次根式，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键．
20．（2025秋 秦州区校级期末）阅读与思考：
∵，即，
∴的整数部分为1，
设的小数部分为x，
则，
∴，
即的小数部分为．
解答下列问题：
（1）的整数部分是　5　 ，小数部分是　　 ；
（2）如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值．
二次根式的化简求值；估算无理数的大小．
二次根式；运算能力．
【答案】（1）5，；
（2）0．
（1）因为，得出的整数部分是5，则的小数部分是，即可作答．
（2）与（1）同理，求出，n＝6，再代入，即可作答．
【解答】解：（1）∵，
∴的整数部分是5，小数部分是，
故答案为：5，；
（2）∵，，
∴，n＝6，
原式．
本题考查了无理数的整数部分以及小数部分、即无理数的估算，熟练掌握以上知识点是关键．

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