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第23章 一次函数
一．选择题（共10小题）
1．（2025秋 梁溪区校级月考）对于函数y＝2x﹣4，下列说法不正确的是（　　）
A．图象过点（3，2）
B．图象不经过第四象限
C．y随x的增大而增大
D．图象与坐标轴围成三角形的面积为4
2．（2025秋 盐都区月考）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4），则一元一次不等式kx+b＜4的解集为（　　）
A．x＜4 B．x＞4 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2
3．（2025秋 徐州期末）已知函数y＝kx+b和y＝mx+n的图象交于点P（2，4），则关于x，y的方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025秋 徐州期末）已知点P（k，b）在第四象限，则一次函数y＝kx﹣b的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025秋 宁波期末）如图，A，B是直线上任意两点（点A在点B的左侧），分别过点A，点B作y轴，x轴的垂线，两垂线交于点C，过点C作CH⊥AB，垂足为点H．△BCH与△ACH的面积之比为（　　）
A． B． C． D．比值不确定，与b的值有关
6．（2025秋 嘉兴期末）甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行，甲先步行，乙先骑车，两人相遇后，乙将车给甲骑，自己改为步行．设乙骑车的速度是甲的2倍，途中交接车辆时间忽略不计．如图是乙与A地的距离y与出发时间x之间的函数图象，则甲到达B的时间是（　　）
A． B．t C． D．
7．（2025秋 兴庆区校级期末）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到表格如下，那么箭尺读数y和供水时间x最可能满足的函数关系是（　　）
供水时间x（小时） 0 2 4 6 8
箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54
A．y＝6x B．y＝3x C．y＝6x+6 D．y＝6x﹣6
8．（2025秋 东河区期末）如图，已知直线yx﹣1与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点B为圆心、AB长为半径画弧，与y轴正半轴交于点C，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025秋 兴庆区期末）如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后1.5小时追上甲车；
④当乙追上甲后，甲乙两车相距50千米时，或．
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2025秋 杜尔伯特县期末）平面直角坐标系中点P（a，b）和一次函数y＝ax+b的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
11．（2025秋 江阴市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点M（﹣1，5）、N（a，5），若直线y＝﹣2x与线段MN有公共点，则a的范围为　 　 ．
12．（2025秋 青羊区校级月考）已知直线（n为正整数）与x轴、y轴分别交于点An、Bn（如图所示），△AnBnO的面积为Sn，则S1+S2+S3+ +S2026＝　 　 ．
13．（2025秋 宁波期末）在“探索一次函数y＝kx+b的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A（0，3），B（2，2），C（3，0）．同学们画出了经过这三个点中每两个点的直线，并得到对应的函数表达式y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，y3＝k3x+b3．分别计算k1+b1，k2+b2，k3+b3的值，其中最小的值等于　 　 ．
14．（2025秋 兰州期末）如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为 　 　 ．
15．（2025秋 杜尔伯特县期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，根据图象，有以下4个结论：①乙用11分钟追上甲；②乙追上甲后，再走1440米才到达终点；③甲乙两人之间的最远距离是300米；④甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟，其中正确的结论是　 　 （填正确选项序号）．
三．解答题（共5小题）
16．（2025秋 金凤区校级期末）甲、乙两位同学对跑步时应该采取什么策略争论不休，甲同学认为应该保持匀速，乙同学认为应该保存体力，先慢后快，他们最终决定进行一次比赛，他们两人同时从起点出发，跑向终点，两人距终点距离y（米）与时间x（秒）的关系如图所示．
请你根据图象，回答下列问题：
（1）两人比赛的全程是　 　 米，　 　 同学先到达终点；
（2）两人相遇时乙的速度为多少？
（3）两人相遇前他们在何时相距30米？
17．（2025秋 闻喜县期末）综合与实践
问题情景：
如图1，已知学校与博物馆在同一条笔直的道路上，小红从学校去博物馆，小明从博物馆回学校，两人同时出发，匀速步行，小明先到达目的地．两人之间的距离y（单位：米）与时间t（单位：分）之间的函数关系如图2所示．
问题解决：
（1）学校与博物馆的距离为　 　 米，小红的速度为　 　 米/分，两人相遇时，t＝　 　 分钟；
（2）试说明点A所表示的实际意义，并求出点A的坐标；
问题拓展：
（3）当小明与小红相距400米时，请直接写出t的值．
18．（2025秋 南京期末）一列快车和一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地．快车到达乙地后停留1小时，沿原路以原速返回甲地．快、慢两车到甲地的距离y（km）与行驶时间x（h）的函数关系如图（折线O﹣B﹣C﹣D为快车，线段OA为慢车）：
（1）甲、乙两地相距　 　 km，快车速度是　 　 km/h，慢车速度是　 　 km/h；
（2）求图中点E的坐标；
（3）请求出慢车出发多长时间后，两车相距150km？
19．（2025秋 金凤区校级期末）如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，6），一次函数图象经过点B（3，1），与x轴的交点为C．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求△COP的面积；
（3）结合函数图象，直接写出方程组的解．
20．（2025秋 宁波期末）已知甲、乙两地相距120km，小宁、小波两人分别开车沿同一条公路从甲地出发到乙地，如图，线段DE，线段OC分别表示小宁、小波离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数关系的图象，根据图象解答下列问题：
（1）小宁行驶的速度为　 　 km/h；
（2）求小波离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式；
（3）当时间t（h）为何值时，都在行驶中的两人恰好相距20km．
第23章 一次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025秋 梁溪区校级月考）对于函数y＝2x﹣4，下列说法不正确的是（　　）
A．图象过点（3，2）
B．图象不经过第四象限
C．y随x的增大而增大
D．图象与坐标轴围成三角形的面积为4
一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质．
一次函数及其应用；推理能力．
【答案】B
根据所给一次函数解析式，结合一次函数的性质进行判断即可．
【解答】解：由题知，
因为一次函数的解析式为y＝2x﹣4，
则当x＝3时，y＝2×3﹣4＝2，
所以图象过点（3，2），
故A选项不符合题意；
因为2＞0，﹣4＜0，
所以函数图象经过第一、三、四象限，
故B选项符合题意；
因为2＞0，
所以y随x的增大而增大，
故C选项不符合题意；
由2x﹣4＝0得，x＝2；
当x＝0时，y＝﹣4，
所以图象与坐标轴围成三角形的面积为，
故D选项不符合题意．
故选：B．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．
2．（2025秋 盐都区月考）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4），则一元一次不等式kx+b＜4的解集为（　　）
A．x＜4 B．x＞4 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2
一次函数与一元一次不等式．
一次函数及其应用；运算能力．
【答案】C
首先利用图象过A（﹣2，4），确定函数值kx+b＝4，再考虑函数的增减性利用不等式求解集即可．
【解答】解：由条件可知x＝﹣2时，kx+b＝4，
又由图象知k＞0，一次函数y随x的增大而增大，
∴关于x的不等式kx+b＜4的解集是x＜﹣2．
故选：C．
本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想．认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系．
3．（2025秋 徐州期末）已知函数y＝kx+b和y＝mx+n的图象交于点P（2，4），则关于x，y的方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
一次函数与二元一次方程（组）．
用函数的观点看方程（组）或不等式；应用意识．
【答案】A
利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．
【解答】解：∵函数y＝kx+b和y＝mx+n的图象交于点P（2，4），
∴关于x，y的方程组的解是．
故选：A．
本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
4．（2025秋 徐州期末）已知点P（k，b）在第四象限，则一次函数y＝kx﹣b的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
一次函数的图象；点的坐标．
一次函数及其应用；应用意识．
【答案】B
根据已知条件“点（k，b）为第四象限内的点”推知k、b的符号，由它们的符号可以得到一次函数y＝kx﹣b的图象所经过的象限．
【解答】解：∵点（k，b）为第四象限内的点，
∴k＞0，b＜0，
∴一次函数y＝kx﹣b的图象经过第一、二、三象限，观察选项，B选项符合题意．
故选：B．
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
5．（2025秋 宁波期末）如图，A，B是直线上任意两点（点A在点B的左侧），分别过点A，点B作y轴，x轴的垂线，两垂线交于点C，过点C作CH⊥AB，垂足为点H．△BCH与△ACH的面积之比为（　　）
A．
B．
C．
D．比值不确定，与b的值有关
一次函数图象上点的坐标特征．
一次函数及其应用；运算能力．
【答案】B
可设点A的坐标为，点B的坐标为，m＜n，可知AC＝n﹣m，，证明△BCH∽△ACH，即可求得答案．
【解答】解：由题意可得：设点A的坐标为，点B的坐标为，m＜n，
∴AC＝n﹣m，
∵AC⊥BC，CH⊥AB，
∴∠ACH+∠BCH＝90°，∠CBH+∠BCH＝90°，∠AHC＝∠CHB．
∴∠ACH＝∠CBH．
∴△BCH∽△ACH．
∴．
故选：B．
本题主要考查相似三角形的判定及性质，正确进行计算是解题关键．
6．（2025秋 嘉兴期末）甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行，甲先步行，乙先骑车，两人相遇后，乙将车给甲骑，自己改为步行．设乙骑车的速度是甲的2倍，途中交接车辆时间忽略不计．如图是乙与A地的距离y与出发时间x之间的函数图象，则甲到达B的时间是（　　）
A． B．t C． D．
一次函数的应用．
一次函数及其应用；应用意识．
【答案】D
根据函数图象得出甲、乙相遇时，乙走的路程为SSS，所用时间为t，求出乙骑车的速度，从而得出甲骑车的速度，然后用路程除以速度求出时间即可．
【解答】解：由图象可知，甲、乙相遇时，乙走的路程为SSS，所用时间为t，
∴乙骑车的速度为v乙，
∵乙骑车的速度是甲的2倍，
∴甲骑车的速度为，
∴甲到达B的时间是t＝ttt，
故选：D．
本题考查一次函数的应用，关键是掌握速度，时间和路程之间的关系．
7．（2025秋 兴庆区校级期末）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到表格如下，那么箭尺读数y和供水时间x最可能满足的函数关系是（　　）
供水时间x（小时） 0 2 4 6 8
箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54
A．y＝6x B．y＝3x C．y＝6x+6 D．y＝6x﹣6
一次函数的应用．
一次函数及其应用；应用意识．
【答案】C
根据表格数据判断箭尺读数y和供水时间x最可能满足的函数关系是一次函数，然后设出一次函数解析式，用待定系数法求出函数解析式．
【解答】解：根据表格中数据可知，每经过2小时，箭尺的读数增加12厘米，
∴箭尺读数y和供水时间x满足的函数关系是一次函数，
设这条直线所对应的函数表达式为y＝kx+b，
则，
解得：
∴y＝6x+6．
故选：C．
本题考查待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的实际应用问题，读懂题目，掌握一次函数的图形及性质是解决本题的关键．
8．（2025秋 东河区期末）如图，已知直线yx﹣1与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点B为圆心、AB长为半径画弧，与y轴正半轴交于点C，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
一次函数图象上点的坐标特征；勾股定理；一次函数的性质．
一次函数及其应用；推理能力．
【答案】C
把y＝0代入直线解析式求出点A坐标，把x＝0代入直线解析式求出点B坐标，通过勾股定理求出AB长度，进而求解．
【解答】解：把y＝0代入yx﹣1得x＝2，
∴点A坐标为（2，0），OA＝2，
把x＝0代入yx﹣1得y＝﹣1，
∴点B坐标为（0，﹣1），OB＝1，
在Rt△AOB中，由勾股定理得AB，
∴BC，
∴OC＝BC﹣OB1，
∴点C坐标为（0，1）．
故选：C．
本题考查一次函数与坐标轴的交点，解题关键是掌握一次函数与方程的关系，掌握勾股定理．
9．（2025秋 兴庆区期末）如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后1.5小时追上甲车；
④当乙追上甲后，甲乙两车相距50千米时，或．
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
一次函数的应用．
一次函数及其应用；应用意识．
【答案】D
由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可得出答案．
【解答】解：图象可知A、B两城市之间的距离为300km，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故①②都正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲＝kt，
把（5，300）代入可求得k＝60，
∴y甲＝60t，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙＝mt+n，
把（1，0）和（4，300）代入可得，
解得，
∴y乙＝100t﹣100，
令y甲＝y乙可得：60t＝100t﹣100，
解得t＝2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5，
此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，故③正确；
当乙追上甲后，令y乙﹣y甲＝50，100t﹣100﹣60t＝50
解得，
当乙到达目的地，甲自己行走时，y甲＝60t＝250，
解得，
∴综上所述，当乙追上甲后，甲乙两车相距50千米时，或．故④正确；
综上可知正确的有①②③④，共4个．
故选：D．
本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．
10．（2025秋 杜尔伯特县期末）平面直角坐标系中点P（a，b）和一次函数y＝ax+b的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
一次函数图象与系数的关系；点的坐标．
一次函数及其应用；运算能力．
【答案】A
先根据平面直角坐标系中点P（a，b）在那个象限，确定a，b是正数还是负数，再根据一次函数的图象和性质判断即可．
【解答】解：先根据平面直角坐标系中点P（a，b）在那个象限，确定a，b是正数还是负数，则：
A：∵点P（a，b）在第四象限，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数y＝ax+b的图象随着x的增大而增大，当x的值为0时，图象交于y轴的负半轴，
∴图象符合；
B：∵点P（a，b）在第二象限，
∴a＜0，b＞0，
∴一次函数y＝ax+b的图象随着x的增大而减小，当x的值为0时，图象交于y轴的正半轴，
∴图象不符合；
C：∵点P（a，b）在第一象限，
∴a＞0，b＞0，
∴一次函数y＝ax+b的图象随着x的增大而增大，当x的值为0时，图象交于y轴的正半轴，
∴图象不符合；
D：∵点P（a，b）在第四象限，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数y＝ax+b的图象随着x的增大而增大，当x的值为0时，图象交于y轴的负半轴，
∴图象不符合；
故选：A．
本题考查了平面直角坐标系中点的坐标和一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025秋 江阴市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点M（﹣1，5）、N（a，5），若直线y＝﹣2x与线段MN有公共点，则a的范围为a≤﹣2.5　 ．
一次函数图象上点的坐标特征；正比例函数的性质．
一次函数及其应用；运算能力．
【答案】a≤﹣2.5．
先将y＝5代入函数解析式中求出对应的x的值为﹣2.5，从而推出N点应该在直线y＝﹣2x的左侧，即可得到a的取值范围．
【解答】解：当y＝5时，x＝﹣2.5，
∵直线y＝﹣2x与线段MN有公共点，
∴a≤﹣2.5．
故答案为：a≤﹣2.5．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握一次函数的性质．
12．（2025秋 青羊区校级月考）已知直线（n为正整数）与x轴、y轴分别交于点An、Bn（如图所示），△AnBnO的面积为Sn，则S1+S2+S3+ +S2026＝　　 ．
一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质．
一次函数及其应用；运算能力．
【答案】．
求出直线与x轴、y轴的交点坐标，得到An、Bn的坐标；然后根据三角形面积公式求出Sn的表达式；最后利用裂项相消的方法对S1+S2+ +S2026进行求和．
【解答】解：令y＝0，则，解得，故；
令x＝0，则，故．
∵△AnBnO为直角三角形，
∴，
则
．
故答案为：．
本题考查的是一次函数与坐标轴的交点、三角形面积计算以及裂项相消求和的综合应用．熟练掌握以上知识点是关键．
13．（2025秋 宁波期末）在“探索一次函数y＝kx+b的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A（0，3），B（2，2），C（3，0）．同学们画出了经过这三个点中每两个点的直线，并得到对应的函数表达式y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，y3＝k3x+b3．分别计算k1+b1，k2+b2，k3+b3的值，其中最小的值等于　2　 ．
一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的图象；一次函数的性质．
一次函数及其应用；运算能力．
【答案】2．
根据题意，分别求出k1+b1，k2+b2，k3+b3的值即可解决问题．
【解答】解：由题知，
当直线经过A，B两点时，
，
解得，
所以，
同理可得，k2+b2＝2，k3+b3＝4．
因为，
所以k1+b1，k2+b2，k3+b3中的最小值为2．
故答案为：2．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质及一次函数的图象，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．
14．（2025秋 兰州期末）如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为 　　 ．
一次函数与二元一次方程（组）．
一次函数及其应用；运算能力．
【答案】
首先利用待定系数法求出两直线交点的纵坐标，进而可得到两直线的交点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，
∴纵坐标为y＝﹣1+3＝2，
∴两直线交点坐标（1，2），
∴x，y的方程组的解为，
故答案为：．
此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，熟练掌握该知识点是关键．
15．（2025秋 杜尔伯特县期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，根据图象，有以下4个结论：①乙用11分钟追上甲；②乙追上甲后，再走1440米才到达终点；③甲乙两人之间的最远距离是300米；④甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟，其中正确的结论是　②④　 （填正确选项序号）．
一次函数的应用．
一次函数及其应用；运算能力．
【答案】②④．
根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．
16﹣4＝12（分），
∴乙用12分钟追上甲，故①说法错误，不符合题意；
甲的速度为240÷4＝60（米/分），
乙追上甲时，二人离终点的距离为2400﹣60×16＝1440（米），
∴乙追上甲后，再走1440米才到达终点，故②说法正确，符合题意；
乙的速度为60×16÷（16﹣4）＝80（米/分），
乙到达终点所用的时间为2400÷80＝30（分），
当乙到达终点时甲走的路程为60×（30+4）＝2040（米），
当乙到达终点时，甲、乙二人的距离最远，为2400﹣2040＝360（米），
故③说法错误，不符合题意；
∵当乙到达终点时甲走的路程为2040米，
∴甲还需要（2400﹣2040）÷60＝6（分）到达终点，
∴甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟，故④说法正确，符合题意；
故答案为：②④．
本题主要考查函数的图象，正确进行计算是解题关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025秋 金凤区校级期末）甲、乙两位同学对跑步时应该采取什么策略争论不休，甲同学认为应该保持匀速，乙同学认为应该保存体力，先慢后快，他们最终决定进行一次比赛，他们两人同时从起点出发，跑向终点，两人距终点距离y（米）与时间x（秒）的关系如图所示．
请你根据图象，回答下列问题：
（1）两人比赛的全程是　800　 米，　乙　 同学先到达终点；
（2）两人相遇时乙的速度为多少？
（3）两人相遇前他们在何时相距30米？
一次函数的应用．
一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）800，乙；
（2）6；
（3）两人相遇前他们在第27秒和第125秒时相距30米．
（1）根据函数图象中的数据，可以直接写出两人比赛的全程和谁先到达终点；
（2）根据图象中的数据，可以计算出两人相遇时乙的速度；
（3）根据函数图象中的数据，可以求出甲的速度，90秒之前乙的速度，再计算出90秒时两人的距离，然后即可得到相应的方程，求解即可．
【解答】解：（1）由图象可得，两人比赛的全程是800米，乙同学先到达终点，
故答案为：800，乙；
（2）由图象可得，
两人相遇时乙的速度为：540÷（180﹣90）＝6（m/s），
故答案为：6；
（3）由图象可得，
甲的速度为：800÷200＝4（m/s），
当x＝90时，甲乙两人相距：4×90﹣（800﹣540）＝100（m），
∴相遇之前，他们相距40米存在两种情况：
①当x＜90时，乙的速度为：（800﹣540）÷90（m/s），
则（4）x＝30，
∴x＝27；
②当x＞90且在甲乙相遇之前时，4x﹣（800﹣540）﹣6（x﹣90）＝30，
∴x＝125．
答：两人相遇前他们在第27秒和第125秒时相距30米．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17．（2025秋 闻喜县期末）综合与实践
问题情景：
如图1，已知学校与博物馆在同一条笔直的道路上，小红从学校去博物馆，小明从博物馆回学校，两人同时出发，匀速步行，小明先到达目的地．两人之间的距离y（单位：米）与时间t（单位：分）之间的函数关系如图2所示．
问题解决：
（1）学校与博物馆的距离为　2400　 米，小红的速度为　40　 米/分，两人相遇时，t＝　24　 分钟；
（2）试说明点A所表示的实际意义，并求出点A的坐标；
问题拓展：
（3）当小明与小红相距400米时，请直接写出t的值．
一次函数的应用．
一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）2400；40；24；
（2）小明到达了学校；
（3）20或28．
（1）直接观察图象即可求解；
（2）两人的距离与时间的关系在点A出现了拐点，根据题意，小明先到达目的地，可以求出此时两人相距的距离，和相遇的时间；
（3）利用待定系数法求得当0≤t≤24和24＜t≤40时的函数关系式，令y＝400，求得甲乙距离等于400米的时间，根据图象即可得到答案．
【解答】解：（1）学校与博物馆的距离为2400米，小红用60分钟到达博物馆，
当t＝24分钟时，两人相遇，
∴小红的速度为2400÷60＝40（米/分钟）；
故答案为：2400；40；24；
（2）观察图象得：A点的实际意义是：小明到达了学校；
∵两人的速度和为2400÷24＝100（米/分钟），
∴小明的速度为：100﹣40＝60（米/分钟），
∴小明从博物馆回学校的时间为2400÷60＝40（分钟），
此时两人之间的距离等于小红走的路程，即：40×40＝1600（米），
∴A点的坐标为（40，1600）；
（3）设两人之间的距离y与时间t之间的函数关系为y＝kt+b，
当0≤t≤24时，
将（0，2400），（24，0）代入y＝kt+b，得：
，
解得：，
∴y＝﹣100t+2400，
令y＝400，则﹣100t+2400＝400，
解得：t＝20，
当24＜t≤40时，
同理此时两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系为y＝100t﹣2400，
令y＝400，则100t﹣2400＝400，
解得：t＝28，
综上所述，t的值为20或28．
本题考查了一次函数的应用，路程、速度、时间的关系，用待定系数法确定函数的解析式，属于中考常考题型．读懂题目信息，从图象中获取有关信息是解题的关键．
18．（2025秋 南京期末）一列快车和一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地．快车到达乙地后停留1小时，沿原路以原速返回甲地．快、慢两车到甲地的距离y（km）与行驶时间x（h）的函数关系如图（折线O﹣B﹣C﹣D为快车，线段OA为慢车）：
（1）甲、乙两地相距　400　 km，快车速度是　100　 km/h，慢车速度是　40　 km/h；
（2）求图中点E的坐标；
（3）请求出慢车出发多长时间后，两车相距150km？
一次函数的应用．
一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）400，100，40；
（2）；
（3）慢车出发2.5h或或7.5h后，两车相距150km．
（1）根据图象及速度＝路程÷时间计算即可；
（2）根据路程＝速度×时间分别求出线段OA、CD所在直线的函数关系式，二者联立建立关于x和y的二元一次方程组，求解即得点E的坐标并描述其实际意义即可；
40x﹣（﹣100x+900）＝150；
（3）按照x的取值范围，当两车相距150km时分别列方程并求解即可．
【解答】解：（1）快车到达乙地后停留1小时，沿原路以原速返回甲地．快、慢两车到甲地的距离y（km）与行驶时间x（h）的函数关系如图（折线O﹣B﹣C﹣D为快车，线段OA为慢车）：
由图象可知，甲、乙两地相距400km，
快车速度是：400÷4＝100（km/h），
慢车速度是：400÷10＝40（km/h）．
故答案为：400，100，40．
（2）线段OA所在直线的函数关系式为：y＝40x，
设线段CD所在直线的函数关系式为：y＝﹣100x+b，
将点C（5，400）代入，得400＝﹣100×5+b，解得b＝900，
∴线段CD所在直线的函数关系式为：y＝﹣100x+900．
联立，解得，
∴点E的坐标为：．
（3）当0≤x≤4时，
100x﹣40x＝150，解得x＝2.5；
当4≤x≤5时，
400﹣40x＝150，解得x＝6.25（舍去）；
当时，
﹣100x+900﹣40x＝150，解得；
当时，40x﹣（﹣100x+900）＝150
解得x＝7.5．
综上所述，慢车出发2.5h或或7.5h后，两车相距150km．
本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系及二元一次方程组的解法是解题的关键．
19．（2025秋 金凤区校级期末）如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，6），一次函数图象经过点B（3，1），与x轴的交点为C．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求△COP的面积；
（3）结合函数图象，直接写出方程组的解．
一次函数与二元一次方程（组）；待定系数法求一次函数解析式．
一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）y＝﹣x+4；
（2）12；
（3）．
（1）将点P（m，6）代入y＝﹣3x，求出m，得到P（﹣2，6）．把P、B两点的坐标代入y＝kx+b，利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据一次函数的解析式即可求出C点的坐标；根据三角形的面积公式列式即可求出△COP的面积；
（3）两函数图象的交点坐标即为两函数解析式组成的二元一次方程组的解．
【解答】解：（1）由条件可知﹣3m＝6，m＝﹣2，
∴P（﹣2，6），
把（3，1）和（﹣2，6）代入一次函数y＝kx+b，
得，
解得；
∴一次函数解析式是y＝﹣x+4；
（2）由（1）知一次函数解析式是y＝﹣x+4，
∴点C（4，0），
∴OC＝4，
∵P（﹣2，6），
∴△COP的面积；
（3）由图象可知，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（﹣2，6），
∴方程组的解为．
本题考查了求一次函数解析式，两直线围成三角形面积，一次函数与二元一次方程组，解题的关键是数形结合，熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系．
20．（2025秋 宁波期末）已知甲、乙两地相距120km，小宁、小波两人分别开车沿同一条公路从甲地出发到乙地，如图，线段DE，线段OC分别表示小宁、小波离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数关系的图象，根据图象解答下列问题：
（1）小宁行驶的速度为　60　 km/h；
（2）求小波离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式；
（3）当时间t（h）为何值时，都在行驶中的两人恰好相距20km．
一次函数的应用．
一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）60；
（2）；
（3）当t＝1.2或2.4h时，都在行驶中两人恰好相距20km．
（1）依据题意，结合图象可得，小宁行驶的速度为：120÷（3﹣1）＝60（千米/时），从而可以得解；
（2）依据题意，设OC为S＝kt，又过点（3，80），求出k后即可判断得解；
（3）依据题意，设小明的路程为S'＝kt+b（k≠0，k，b为常数），把（1，0），（3，120）代入得则从而S＝60t﹣60，进而分相遇前和相遇后列式计算可以得解．
【解答】解：（1）由题意，结合图象可得，小宁行驶的速度为：120÷（3﹣1）＝60（千米/时）．
故答案为：60；
（2）由题意，设OC为S＝kt，又过点（3，80），
∴80＝3k．
∴．
∴；
（3）由题意，设小波的路程为S'＝kt+b（k≠0，k，b为常数），
把（1，0），（3，120）代入得
∴
∴S＝60t﹣60．
∴相遇前，．
∴；
相遇后，，
∴．
∴小红出发1.2h或2.4h后两人相距20km，即当t＝1.2或2.4h时，都在行驶中两人恰好相距20km．
本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．

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