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第10章 二元一次方程组
一．选择题（共10小题）
1．（2025秋 银川校级期末）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025秋 安徽期末）已知实数a，b，c满足a+b+c＞0，a﹣b+c＝0，b+c﹣a＝0，则下列判断错误的是（　　）
A．a＞0 B．b＞0 C．b＝c D．a＝b
3．（2025秋 银川校级期末）已知关于x，y的方程组的解x和y互为相反数，则m的值是（　　）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．0
4．（2025秋 城关区期末）若关于x、y的方程组和有相同的解，则（a+b）2023的值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2021
5．（2024秋 市中区校级期末）在长为18m，宽为15m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为（　　）
A．10m2 B．12m2 C．18m2 D．28m2
6．（2025春 莘县期末）如果某个二元一次方程组中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“反解方程组”，若关于x，y的方程组为“反解方程组”，则a的值为（　　）
A．4 B．﹣8 C．﹣6 D．8
7．（2025春 西城区校级期中）已知关于x、y的二元一次方程组，下列结论中正确的个数是（　　）
①当这个方程组的解x、y的值互为相反数时，．
②方程组的解也是关于x、y的方程x﹣y＝a﹣5的解．
③无论a取什么实数，x﹣5y的值始终等于﹣10．
④若用x表示y，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2025秋 高陵区校级月考）若是方程x+ay＝4的一个解，则a的值为（　　）
A． B．﹣2 C．2 D．
9．（2025春 枣阳市期末）幻方的起源与中国古代的“河图”和“洛书”紧密相关，被认为是三阶幻方的最早形式．现将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是（　　）
4b﹣2 12
2a+1 7
3b﹣3 2a
A．a＝﹣4，b＝3 B．a＝﹣4，b＝﹣3 C．a＝4，b＝3 D．a＝4，b＝﹣3
10．（2025春 诸暨市期中）已知关于x，y的方程组以下结论：①当k＝0时，方程组的解也是方程x﹣2y＝﹣4的解；②存在实数k，使得x+y＝0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y＝6则k＝1．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④
二．填空题（共5小题）
11．（2025秋 官渡区期末）“幻方”最早记载于西汉时期的《大戴礼记》中，如图，每个小三角形的三个顶点的数字之和都相等，则x+y+z的值为　 　 ．
12．（2025秋 凉州区校级期末）已知非零实数a，b，c满足a+b+c＝0，a2b2+b2c2+c2a2＝16，则　 　 ．
13．（2025秋 东河区期末）甲、乙、丙三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则丙得分为 　 　 ．
14．（2025秋 兴庆区期末）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程x+y＝8的解，则k的值为　 　 ．
15．（2025秋 海淀区校级月考）实验室需要购买A，B，C三种型号的盒子存放材料，盒子容量和单价如下表所示：
盒子型号 A B C
盒子容量（单位：升） 2 3 4
盒子单价（单位：元） 5 6 9
其中A型号盒子做促销活动：购买3个及以上可一次性优惠4元．现有28升材料需要存放，要求每个盒子都要装满且三种盒子都至少买一个．
（1）若购买A，C型号的盒子的个数分别为6，1，其余购买B型号盒子．则购买总费用为　 　 元；
（2）一次性购买所需盒子总费用最少为　 　 元．
三．解答题（共5小题）
16．（2025秋 本溪期末）定义：对于任意实数x，y，规定新的一种运算规则：x*y＝ax+by，x※y＝ax﹣by．
（1）当x＝1，y＝2时，x*y＝0，x※y＝4．求a，b的值；
（2）若关于x，y的方程组（m为常数）的解也满足关于x，y的方程3x*y+2x※y＝3，求m的值．
17．（2025秋 海淀区校级月考）对于二元一次方程x﹣2y＝2的任意一个解，给出如下定义：若|m|≥|n|，则称|m|为方程x﹣2y＝2的“关联值”；若|m|＜|n|，则称|n|为方程x﹣2y＝2的“关联值”．
（1）当x＝0时，直接写出方程x﹣2y＝2的“关联值”为　 　 ；
（2）若“关联值”为4，直接写出所有满足条件的方程的解为　 　 ；
（3）直接写出方程x﹣2y＝2的最小“关联值”为　 　 ．
18．（2025秋 东河区期末）小明在拼图时发现8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为1cm的小正方形．
（1）每个小长方形的长和宽分别是多少？
（2）图（2）正方形的边长是多少？
19．（2025秋 兴庆区期末）老师在黑板上出示例题：解方程组．
小红的板演步骤为：
解：由①，得③第一步；
将③代入①，得第二步；
整理，得3＝3第三步；
所以x可取一切实数，原方程组有无数组解第四步；
（1）小红解方程组的方法是 　 　 消元法；
（2）以上解法，从第 　 　 步开始错误；
（3）请你用正确的方法求出方程组的解．
20．（2025秋 山西期末）根据以下素材，探索解答任务一，任务二．
如何设计板材裁切方案？
素材1 图1是湘一南湖学校的学生座椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为50cm×15cm，座垫尺寸为50cm×40cm．图2是靠背与座垫的尺寸示意图
素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为50cm．（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一 拟定剪裁方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背　 　 张和坐垫　 　 张． 方法三：裁切靠背　 　 张和坐垫　 　 张．
任务二 解决实际问题 工厂目前已有裁切好的12张靠背板材和4张坐垫板材，经商议，现需新购买一批该型号板材，其中一部分按照方案二裁剪，另一部分按照方案三裁剪，一共制作700张学生座椅，请问：需要购买该型号板材共多少张？（恰好全部用完）
第10章 二元一次方程组
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025秋 银川校级期末）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
由实际问题抽象出二元一次方程组．
一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
根据“用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，
设木条长x尺，绳子长y尺，
所列方程组为：．
故选：C．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
2．（2025秋 安徽期末）已知实数a，b，c满足a+b+c＞0，a﹣b+c＝0，b+c﹣a＝0，则下列判断错误的是（　　）
A．a＞0 B．b＞0 C．b＝c D．a＝b
解三元一次方程组．
一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
根据已知等式a﹣b+c＝0和b+c﹣a＝0，通过相加得到c＝0，再代入得a＝b，结合a+b+c＞0可得a＞0和b＞0，因此b＝c错误．
【解答】解：根据已知等式a﹣b+c＝0和b+c﹣a＝0，通过相加得到c＝0，再代入得a＝b，结合a+b+c＞0可得：
∵a﹣b+c＝0①，b+c﹣a＝0②，
①+②可得（a﹣b+c）+（b+c﹣a）＝0，
∴c＝0，
将c＝0代入①得a﹣b+0＝0，
∴a＝b，故D选项正确；
∵a+b+c＞0，且a＝b，c＝0，
∴2a＞0即a＞0，同理可得b＞0，故A、B选项正确；
∵b＞0，c＝0，
∴b≠c，故C选项错误，
故选：C．
本题考查了整式的加减，等式的性质，解决本题的关键是根据两个等式求出c＝0，a＝b．
3．（2025秋 银川校级期末）已知关于x，y的方程组的解x和y互为相反数，则m的值是（　　）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．0
二元一次方程组的解．
一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
根据相反数的定义，得到y＝﹣x，代入方程组中求出，，可得关于m的一元一次方程，求解即可．
【解答】解：已知关于x，y的方程组的解x和y互为相反数，
∵x 和 y 互为相反数，
∴y＝﹣x，
把y＝﹣x代入3x+5y＝m+4，得：，
把y＝﹣x代入5x+3y＝m，得：，
∴，
解得：m＝﹣2，
故选：B．
本题考查了相反数的定义，二元一次方程组的解，解一元一次方程等知识，掌握相关知识是解题的关键．
4．（2025秋 城关区期末）若关于x、y的方程组和有相同的解，则（a+b）2023的值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2021
二元一次方程组的解．
一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
将方程组中不含a，b的两个方程联立，求得x，y的值，代入，含有a，b的两个方程中联立求得a，b的值，再代入代数式中求解即可．
【解答】解：若关于x、y的方程组和有相同的解，
由题意，得，
解得．
把代入方程组中，得，
①+②，得a+b＝﹣1．
∴（a+b）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．
故选：B．
本题考查二元一次方程的解，正确进行计算是解题关键．
5．（2024秋 市中区校级期末）在长为18m，宽为15m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为（　　）
A．10m2 B．12m2 C．18m2 D．28m2
二元一次方程组的应用；生活中的平移现象；一元一次方程的应用．
一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】D
设小长方形花圃的长为xm，宽为ym，根据小长方形的2个长+一个宽＝18m，小长方形的一个长+2个宽＝15m，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．
【解答】解：设小长方形花圃的长为xm，宽为ym，
由题意得：，
解得：，
∴xy＝7×4＝28，
即一个小长方形花圃的面积为28m2，
故选：D．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6．（2025春 莘县期末）如果某个二元一次方程组中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“反解方程组”，若关于x，y的方程组为“反解方程组”，则a的值为（　　）
A．4 B．﹣8 C．﹣6 D．8
解二元一次方程组．
一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
把两个方程相加可得，再根据相反数的定义可得，据此即可求解．
【解答】解：两方程相加得得，2x+2y＝8﹣a，
∴，
∵x、y互为相反数，
∴，
∴a＝8，
故选：D．
本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，相反数的定义，使用整体法解方程组是解题的关键．
7．（2025春 西城区校级期中）已知关于x、y的二元一次方程组，下列结论中正确的个数是（　　）
①当这个方程组的解x、y的值互为相反数时，．
②方程组的解也是关于x、y的方程x﹣y＝a﹣5的解．
③无论a取什么实数，x﹣5y的值始终等于﹣10．
④若用x表示y，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二元一次方程组的解；二元一次方程的解．
一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
根据相关知识点计算，判断即可．
【解答】解：∵当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，x＝﹣y，
把x＝﹣y代入方程组，得0＝3a﹣5，
解得，
故①正确；
，
①﹣2②，得﹣4y＝﹣a﹣5，
即y，
把y代入②，得x，
∴x﹣y＝a﹣5，
即方程组的解也是关于x、y的方程x﹣y＝a﹣5的解，②正确；
∵y，x，
∴x﹣5y＝﹣10，
∴无论a取什么实数，x﹣5y的值始终等于﹣10，
故③正确；
由x+3y＝2a，得a，
将其代入2x+2y＝3a﹣5，
化简，得y，
故结论④错误，
综上，结论正确的共3个，
故选：C．
本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用加减或代入法解二元一次方程组．
8．（2025秋 高陵区校级月考）若是方程x+ay＝4的一个解，则a的值为（　　）
A． B．﹣2 C．2 D．
二元一次方程的解．
一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
将给定的解代入方程，得到关于 a 的一元一次方程，求解即可．
【解答】解：由条件可得﹣2+a×（﹣3）＝4，即﹣2﹣3a＝4，
移项得：﹣3a＝4+2，
∴﹣3a＝6，
∴．
故选：B．
本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握该知识点是关键．
9．（2025春 枣阳市期末）幻方的起源与中国古代的“河图”和“洛书”紧密相关，被认为是三阶幻方的最早形式．现将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是（　　）
4b﹣2 12
2a+1 7
3b﹣3 2a
A．a＝﹣4，b＝3 B．a＝﹣4，b＝﹣3 C．a＝4，b＝3 D．a＝4，b＝﹣3
二元一次方程组的应用．
一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
根据题意列出方程组即可作答．
【解答】解：根据题意可得，
，
解得：．
故选：C．
本题主要考查二元一次方程组的应用，列出方程组是解题的关键．
10．（2025春 诸暨市期中）已知关于x，y的方程组以下结论：①当k＝0时，方程组的解也是方程x﹣2y＝﹣4的解；②存在实数k，使得x+y＝0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y＝6则k＝1．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④
二元一次方程组的解；解二元一次方程组；二元一次方程的解．
一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】A
直接利用二元一次一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案．
【解答】解：①当k＝0时，原方程组可整理得：，
解得：，
把代入x﹣2y＝﹣4得：
x﹣2y＝﹣2﹣2＝﹣4，
即①正确，
②解方程组，得：
若x+y＝3k﹣1+k＝0，
则4k﹣1＝0，
解得：k，
即存在实数k，使得x+y＝0，
即②正确，
③解方程组，，得：
，
∴x+3y＝3k﹣2+3（1﹣k）＝1，
∴不论k取什么实数，x+3y的值始终不变，故③正确；
④解方程组，，得：
，
若3x+2y＝6
∴k，故④错误，
故选：A．
本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的技能和二元一次方程的解得定义．
二．填空题（共5小题）
11．（2025秋 官渡区期末）“幻方”最早记载于西汉时期的《大戴礼记》中，如图，每个小三角形的三个顶点的数字之和都相等，则x+y+z的值为　﹣5　 ．
二元一次方程组的应用．
【答案】﹣5．
根据题意，由每个小三角形的三个顶点上的数字和都相等，可得出2+4+x＝2﹣3+3，求出x的值，再根据2﹣2+3＝x+5+y，求出y的值，由3+y+z＝2﹣2+3，求出z的值，最后根据有理数的加法运算法则计算即可得出答案．
【解答】解：由题意，得2+4+x＝2﹣3+3，2﹣3+3＝x+5+y，3+y+z＝2﹣3+3，
∴x＝﹣4，
把x＝﹣4代入2﹣3+3＝x+5+y，得2﹣2+3＝﹣4+5+y，
∴y＝1，
把y＝1代入3+y+z＝2﹣3+3，得3+1+z＝2﹣3+3，
∴z＝﹣2，
∴x+y+z＝（﹣4）+1+（﹣2）＝﹣5．
故答案为：﹣5．
本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
12．（2025秋 凉州区校级期末）已知非零实数a，b，c满足a+b+c＝0，a2b2+b2c2+c2a2＝16，则　20　 ．
解三元一次方程组．
一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】20．
由已知条件a+b+c＝0和a+b+c＝0，a2b2+b2c2+c2a2＝16，利用对称多项式的性质，推导出ab+bc+ca＝p满足p2＝16，但根据实数非负性，确定p＝﹣4，再通过递推关系求出a5+b5+c5＝﹣5pq，其中q＝abc，最终计算．
【解答】解：由条件可得a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）＝0，
∴a2+b2+c2＝﹣2（ab+bc+ca），
利用公式（ab+bc+ca）2＝a2b2+b2c2+c2a2+2abc（a+b+c），
代入a+b+c＝0得（ab+bc+ca）2＝16，
∴ab+bc+ca＝±4，
由立方和公式得a3+b3+c3﹣3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca），
∴a3+b3+c3＝3abc，
设p＝ab+bc+ca，即p＝±4，
又∵a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca）＝﹣2p，
由条件可知﹣2p≥0，得p≤0，
∴p＝﹣4，
设，
则S1＝0，
S2＝﹣2p＝8，
S3＝3abc＝3q，其中q＝abc，
对于n≥3，有递推关系Sn＝﹣pSn﹣2+qSn﹣3，
∴当n＝5时，S5＝﹣pS3+qS2＝﹣（﹣4） 3q+q 8＝20q，
∴．
本题考查了代数式求值，解题关键是找到相应的公式进行转换．
13．（2025秋 东河区期末）甲、乙、丙三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则丙得分为 　21　 ．
二元一次方程组的应用．
一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】21．
设掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分，根据等量关系列出方程组，再解方程组，然后代入即可求解．
【解答】解：设掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分，
根据题意得：，解得：，
∴丙得分：2x+3y＝2×3+3×5＝21，
故答案为：21．
本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是关键．
14．（2025秋 兴庆区期末）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程x+y＝8的解，则k的值为　4　 ．
二元一次方程组的解；二元一次方程的解．
一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】4
通过将方程组中的两个方程相加，得到x+y＝2k，再根据条件x+y＝8解出k即可．
【解答】解：将两个方程相加得：（3x+4y）+（4x+3y）＝5k+9k，
∴7x+7y＝14k，
∴x+y＝2k，
∵方程组的解也是二元一次方程x+y＝8的解，
∴2k＝8，
解得k＝4，
故答案为：4．
本题考查二元一次方程的解，熟练掌握该知识点是关键．
15．（2025秋 海淀区校级月考）实验室需要购买A，B，C三种型号的盒子存放材料，盒子容量和单价如下表所示：
盒子型号 A B C
盒子容量（单位：升） 2 3 4
盒子单价（单位：元） 5 6 9
其中A型号盒子做促销活动：购买3个及以上可一次性优惠4元．现有28升材料需要存放，要求每个盒子都要装满且三种盒子都至少买一个．
（1）若购买A，C型号的盒子的个数分别为6，1，其余购买B型号盒子．则购买总费用为　59　 元；
（2）一次性购买所需盒子总费用最少为　56　 元．
三元一次方程组的应用．
一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）59；
（2）56．
（1）根据盒子的个数乘以盒子的单价即可得购买费用；
（2）设购买A种型号盒子x个，购买B种型号盒子y个，购买C种盒子型号z个，一次性购买所需盒子总费用为W，根据题意2x+3y+4z＝28，W＝5x+6y+9z﹣4（x≥3），然后根据x，y，z都为正整数求解即可．
【解答】解：（1）由题意，设B型号盒子买了m个，
∴6×2+3m+1×4＝28，
∴m＝4．
∴购买费用为：6×5﹣4+1×9+4×6＝59（元），
故答案为：59；
（2）设购买A种型号盒子x个，购买B种型号盒子y个，购买C种盒子型号z个，一次性购买所需盒子总费用为W，
根据题意得：2x+3y+4z＝28，
W＝5x+6y+9z﹣4（x≥3），
∵x，y，z都为正整数，
∴①当x＝3时，y＝2，z＝4，
W＝5x+6y+9z﹣4＝15+12+36﹣4＝59；
②当x＝3时，y＝6，z＝1，
W＝5x+6y+9z﹣4＝15+36+9﹣4＝56；
③当x＝4时，y＝4，z＝2，
W＝5x+6y+9z﹣4＝20+24+18﹣4＝58；
④当x＝5时，y＝2，z＝3，
W＝5x+6y+9z﹣4＝25+12+27﹣4＝60；
⑤当x＝6时，y＝4，z＝1，
W＝5x+6y+9z﹣4＝30+24+9﹣4＝59；
⑥当x＝6时，y＝4，z＝1，
W＝5x+6y+9z﹣4＝30+24+9﹣4＝59；
综合所述，一次性购买所需盒子总费用最少为56．
故答案为：56．
本题考查了三元一次方程组的应用，分类讨论思想及列出方程求整数解是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025秋 本溪期末）定义：对于任意实数x，y，规定新的一种运算规则：x*y＝ax+by，x※y＝ax﹣by．
（1）当x＝1，y＝2时，x*y＝0，x※y＝4．求a，b的值；
（2）若关于x，y的方程组（m为常数）的解也满足关于x，y的方程3x*y+2x※y＝3，求m的值．
解二元一次方程组；实数的运算；二元一次方程的解．
新定义；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）；（2）．
（1）先理解题意，得出，再运用加减消元法进行解方程，即可作答．
（2）先理解题意，得出，则ax＝2+2m，又因为3x*y+2x※y＝3，得3ax+by+2ax﹣by＝3，整理得5（2+2m）＝3，再解得，即可作答．
【解答】解：（1）∵x*y＝ax+by，x※y＝ax﹣by，x＝1，y＝2
∴，
①+②得：2a＝4，
解得：a＝2，
把a＝2代入①，得：2+2b＝0，
解得：b＝﹣1，
∴；
（2）由题意可得方程组
①+②可得：2ax＝4+4m，
∴ax＝2+2m，
②﹣①可得：2by＝4﹣6m，
∴by＝2﹣3m，
∵3x*y+2x※y＝3，
∴3ax+by+2ax﹣by＝3，
∴5ax＝3，
∴5（2+2m）＝3，
∴10+10m＝3，
∴，
∴m的值为．
本题考查了解二元一次方程组，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
17．（2025秋 海淀区校级月考）对于二元一次方程x﹣2y＝2的任意一个解，给出如下定义：若|m|≥|n|，则称|m|为方程x﹣2y＝2的“关联值”；若|m|＜|n|，则称|n|为方程x﹣2y＝2的“关联值”．
（1）当x＝0时，直接写出方程x﹣2y＝2的“关联值”为　1　 ；
（2）若“关联值”为4，直接写出所有满足条件的方程的解为　，　 ；
（3）直接写出方程x﹣2y＝2的最小“关联值”为　　 ．
二元一次方程的解；绝对值．
一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）1；
（2），；
（3）．
（1）根据“关联值”的概念求解即可；
（2）根据“关联值”为4分情况列方程求解即可；
（3）依据题意可得解表示，然后分①当|2y+2|≥|y|时和②当|2y+2|＜|y|时两种情况分析关联值，从而计算可以得解．
【解答】解：（1）由题意，∵x＝0，
∴x＝m＝0，则y＝n＝﹣1，
∴|m|＜|n|，
∴方程x﹣2y＝2的“关联值”为1．
故答案为：1；
（2）根据“关联值”为4，可分以下四种情况：
①当x＝4时，即4﹣2y＝2，解得y＝1，
∵4＞2，符合题意，
∴方程的解为；
②当x＝﹣4时，即﹣4﹣2y＝2，解得y＝﹣3，
∵|﹣4|＞|﹣3|，符合题意，
∴方程的解为；
③当y＝﹣4时，即x﹣2×（﹣4）＝2，解得x＝﹣6，
∵|﹣6|＞|﹣4|，
∴不符合题意，应舍去；
④当y＝4时，即x﹣2×4＝2，解得x＝10，
∵|10|＞|﹣4|，
∴不符合题意，应舍去；
综上所述，所有满足条件的方程的解有：，；
故答案为：，；
（3）由题意，将方程化为x＝2y+2，
∴解表示为．
分两种情况分析关联值：
①当|2y+2|≥|y|时，关联值为|2y+2|，
解不等式|2y+2|≥|y|，
∴y≤﹣2或．
当时，，为该区间的最小值；
②当|2y+2|＜|y|时：关联值为|y|．
解不等式|2y+2|＜|y|，
∴，
∴|y|．
综上，最小“关联值”为．
故答案为：．
此题考查了二元一次方程的解和理解“关联值”的定义，解题的关键是正确分析题目中的等量关系和不等关系．
18．（2025秋 东河区期末）小明在拼图时发现8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为1cm的小正方形．
（1）每个小长方形的长和宽分别是多少？
（2）图（2）正方形的边长是多少？
二元一次方程组的应用；代数式求值．
一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）5cm，3cm；
（2）11cm．
（1）设每个长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意列出方程组解答即可求解；
（2）根据（2）解答即可求解．
【解答】解：（1）设每个长方形的长为xcm，宽为ycm，
由题意列二元一次方程组得，，
解得，
答：每个小长方形的长为5cm，宽为3cm；
（2）∵x+2y＝5+2×3＝5+6＝11，
∴图（2）正方形的边长为11cm．
本题考查了二元一次方程组的应用，代数式求值，正确识图是解题的关键．
19．（2025秋 兴庆区期末）老师在黑板上出示例题：解方程组．
小红的板演步骤为：
解：由①，得③第一步；
将③代入①，得第二步；
整理，得3＝3第三步；
所以x可取一切实数，原方程组有无数组解第四步；
（1）小红解方程组的方法是 　代入　 消元法；
（2）以上解法，从第 　二　 步开始错误；
（3）请你用正确的方法求出方程组的解．
二元一次方程组的解；解二元一次方程组．
一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）代入；
（2）二；
（3）．
（1）根据解二元一次方程组的方法—代入消元法的步骤，即可判定；
（2）根据解二元一次方程组的方法—代入消元法的步骤，即可判定；
（3）采用加减消元法解方程组，即可求解．
【解答】解：（1）根据解二元一次方程组的方法—代入消元法，可知小红解方程组的方法是代入消元法，
故答案为：代入；
（2）根据解二元一次方程组的方法—代入消元法，可知应将③代入②，不应代入①，
故从第二步开始错误，
故答案为：二；
（3），
由①﹣②得：6x＝15，
解得：x＝2.5，
将x＝2.5代入到②得：2.5﹣2y＝﹣12，
解得：y＝7.25，
所以，原方程组的解为．
本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握和运用解二元一次方程组的方法是解决本题的关键．
20．（2025秋 山西期末）根据以下素材，探索解答任务一，任务二．
如何设计板材裁切方案？
素材1 图1是湘一南湖学校的学生座椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为50cm×15cm，座垫尺寸为50cm×40cm．图2是靠背与座垫的尺寸示意图
素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为50cm．（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一 拟定剪裁方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背　8　 张和坐垫　3　 张． 方法三：裁切靠背　0　 张和坐垫　6　 张．
任务二 解决实际问题 工厂目前已有裁切好的12张靠背板材和4张坐垫板材，经商议，现需新购买一批该型号板材，其中一部分按照方案二裁剪，另一部分按照方案三裁剪，一共制作700张学生座椅，请问：需要购买该型号板材共多少张？（恰好全部用完）
二元一次方程组的应用．
一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】任务一：8，3；0，6；
任务二：需要购买该型号板材159张，用其中86张板材裁切靠背8张和坐垫3张，用73张板材裁切靠背0张和坐垫6张．
任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，根据每张靠背宽15cm，每张坐垫宽40cm，每张板材长240cm，列二元一次方程，根据m、n都是自然数，赋值解答即可；
任务二：设用x张板材，每张裁切靠背8张和坐垫3张；用y张板材，每张裁切靠背0张和坐垫6张．根据现有4张座垫和12张靠背，列二元一次方程组解答．
【解答】解：任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，
15m+40n＝240，
∴，
∵m，n为非负整数，
∴或或，
∴方法二：裁切靠背8张和坐垫3张；
方法三：裁切靠背0张和坐垫6张；
故答案为：8，3；0，6；
任务二：设用x张板材裁切靠背8张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背0张和坐垫6张，
，
解得，
86+73＝159（张），
∴需要购买该型号板材159张，用其中86张板材裁切靠背8张和坐垫3张，用73张板材裁切靠背0张和坐垫6张．
本题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是根据题意找到关系式．

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