资源简介

第11章 不等式与不等式组
一．选择题（共10小题）
1．（2025秋 宁波期末）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围为（　　）
A．﹣1≤a＜0 B． C．﹣1＜a≤0 D．
2．（2025秋 临平区期末）如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有三个非负整数解，则a的取值范围是（　　）
A．1＜a≤2 B．2≤a＜3 C．3≤a＜4 D．3＜a≤4
3．（2025秋 宁波期末）一元一次不等式组x+1＞1的解集在数轴上表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．（2025秋 青羊区校级期末）关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜2，则a﹣b的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1
5．（2024秋 福建期末）我们把对非负数x“四舍五入”到个位的值记为[x]，例如[0.68]＝1，[2.49]＝2，…下列结论中：①[π]＝3；②[2x]＝2[x]；③[2025+x]＝2025+[x]；④满足的非负数x只有三个．其中结论正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2025春 定边县期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于94”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于94，则用得到的这个数进行下一次操作．如果该程序操作运行了两次就停止，那么x的取值范围是（　　）
A．x＞10 B．x＜31 C．10＜x≤31 D．10≤x＜31
7．（2025秋 高密市月考）某种商品进价为800元，标价1200元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则至多可以打（　　）折．
A．6 B．7 C．8 D．9
8．（2024秋 碧江区 期末）下列说法不正确的是（　　）
A．若a＞b，则a+2＞b+2 B．若a＞b，则
C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若2a＞2b，则a＞b
9．（2025春 黄石期末）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为x，则关于x的不等式（a+b）x＞b﹣a的解集是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025春 环翠区期末）若不等式组有且只有2个整数解，且关于y的一元一次方程3y+2m＝4+y的解为非正数，则符合条件的整数m的和是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（共5小题）
11．（2025秋 南岗区期末）不等式组的整数解的和为　 　 ．
12．（2025秋 宁波期末）把5个体积为3cm3的立方体铅块熔化后，最多能制成　 　 个体积为2cm3的立方体铅块．
13．（2025春 遵义校级期末）已知关于x的不等式组的最大整数解与最小整数解的差是3，则a的取值范围是　 　 ．
14．（2025秋 渝中区校级期中）如果一个四位自然数P各数位上的数字不完全相同且均不为零，将这个四位自然数P的千位数字和百位数字互换，十位数字和个位数字互换，得到一个新的四位自然数Q，规定；将这个四位数P的个位数字放到千位数字的左边，组成一个新的四位数R，再将R的左边两位数字不交换顺序一起放到个位的右边，组成一个新的四位数S，规定．若四位数A＝3615，则M（A）﹣N（A）＝　 　 ．若四位数B＝1001x+110y﹣33（3≤x，y≤9，x，y为整数），满足，则满足条件的所有B的和为　 　 ．
15．（2025秋 武汉校级期末）新年将至，学校组织了一场数学创意比赛．老师准备了100个彩色气球，先在每个气球上分别标记着1，2， ，100这100个数，在把这些气球挂在教室里后提出了一个有趣的问题：在每个气球标注的数前面添加“+”或者“﹣”号，要使这些数的代数和为2024，那么“+”号最多能够添加 　 　 个．
三．解答题（共5小题）
16．（2025秋 历下区校级月考）解不等式组：，并写出所有的整数解．
17．（2025秋 海淀区校级期末）若一个不等式组P有解且解集为a＜x＜b（a＜b），则称为P的“解集中点值”，若P的解集中点值是不等式组Q的解，则称不等式组Q对于不等式组P“中点包含”．
（1）已知关于x的不等式组A：以及不等式组B：﹣1＜x≤5，请判断不等式组B是否对于不等式组A中点包含，并写出判断过程．
（2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围．
（3）已知关于x的不等式组E：和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为14，求n的取值范围．
18．（2025秋 南湖区校级期末）有一批产品需要生产装箱，4台A型机器一天刚好可以生产8箱产品，而5台B型机器一天刚好生产7箱产品．已知每台A型机器比每台B型机器一天多生产60件．
（1）求每台A型、B型机器一天可分别生产多少件产品？
（2）现需生产42箱产品，若用2台A型机器和5台B型机器同时生产，需几天完成？（不足一天按一天算）
（3）若每台机器运输安装费用150元（运输安装一次可使用4天），每台A型机器一天的租赁费用是100元，可供租货的A型机器有2台，每台B型机器一天的租赁费用是80元，租赁的B型机器台数不限，现要在4天内（含4天）完成42箱产品的生产，则租赁的B型机器　 　 台，费用最省，最省的总费用为　 　 元．（机器租赁不足一天按一天费用结算）
19．（2025秋 南岗区期末）某学校为开展课外活动，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元，购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元．
（1）求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格；
（2）该学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且购买费用不超过2610元，那么该学校最多可以购买多少副乒乓球拍？
20．（2025秋 市中区月考）某商场开展促销活动，出售甲、乙两种商品，活动方案有如下两种：
甲商品 乙商品
售价（单位：元） 100 20
促销方案一 买一件甲商品，赠送一件乙商品
促销方案二 甲商品和乙商品都打九折
（备注：参加方案一，则不能参加方案二；参加方案二，则不能参加方案一）
（1）若某单位购买甲商品x件，购买乙商品的件数比甲商品多20件，
选用方案一需花费　 　 元；
选用方案二需花费　 　 元；（用含x的代数式填空）
（2）在（1）问的条件下，请问购买甲商品多少件时，选择方案一与选择方案二的花费相同？
（3）在（1）问的条件下，请根据购买甲商品的件数x的不同范围，选择哪种促销方案更合算．
第11章 不等式与不等式组
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025秋 宁波期末）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围为（　　）
A．﹣1≤a＜0 B． C．﹣1＜a≤0 D．
一元一次不等式组的整数解．
一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】B
根据题意，得出关于a的不等式组，再据此进行求解即可．
【解答】解：由4﹣2x≥0得，x≤2；
由得，x＞2a．
因为该不等式组恰有3个整数解，
则这三个整数解为2，1，0，
所以﹣1≤2a＜0，
解得．
故选：B．
本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
2．（2025秋 临平区期末）如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有三个非负整数解，则a的取值范围是（　　）
A．1＜a≤2 B．2≤a＜3 C．3≤a＜4 D．3＜a≤4
一元一次不等式的整数解；在数轴上表示不等式的解集．
一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】B
结合图形可得，该不等式的三个非负整数解为0，1，2，由此即可得解．
【解答】解：∵该不等式恰有3个非负整数解，
∴结合图形可得，该不等式的三个非负整数解为0，1，2，
∴a的取值范围是2≤a＜3，
故选：B．
本题考查了一元一次不等式的整数解，在数轴上表示不等式的解集，采用数形结合的思想是解此题的关键．
3．（2025秋 宁波期末）一元一次不等式组x+1＞1的解集在数轴上表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
先解不等式，再根据解集即可判断求解，正确求出不等式的解集是解题的关键．
【解答】解：移项，得x＞1﹣1，
合并同类项，得x＞0，
∴不等式的解集为x＞0，
∴．
故选：C．
本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，正确记忆相相关知识点是解题关键．
4．（2025秋 青羊区校级期末）关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜2，则a﹣b的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1
解一元一次不等式组．
一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
首先计算出两个不等式的解集，再根据不等式的解集是﹣1＜x＜2，可得1，a＝2，再解一元一次方程可得答案．
【解答】解：，
由①得：x＜a，
由②得：x，
∵关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜2，
∴1，a＝2，
解得：a＝2，b＝3，
则a﹣b＝2﹣3＝﹣1，
故选：C．
此题主要考查了一元一次不等式的解法，关键是正确计算出两个不等式的解集．
5．（2024秋 福建期末）我们把对非负数x“四舍五入”到个位的值记为[x]，例如[0.68]＝1，[2.49]＝2，…下列结论中：①[π]＝3；②[2x]＝2[x]；③[2025+x]＝2025+[x]；④满足的非负数x只有三个．其中结论正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
解一元一次不等式组；近似数和有效数字．
一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
对于①可直接判断，②可用举反例法判断，③、④我们可以根据题意所述利用不等式判断．
【解答】解：①由题意得[π]＝3，故①正确，符合题意；
②如当x＝0.3时，[2x]＝1，2[x]＝0，所以[2x]≠2[x]，故②错误，不符合题意；
③当x为非负整数时，不影响“四舍五入”，故[2025+x]＝2025+[x]，故③正确，符合题意；
④为整数，
∴设为整数，则，
∴，
∴kk，k≥0，
解得：﹣2＜k≤2，
∴k＝0，1，2，
∴，共3个，故④正确，符合题意；
故选：C．
本题考查了一元一次不等式组的应用和理解题意的能力，关键是看到所得值是个位数四舍五入后的值，问题可得解．
6．（2025春 定边县期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于94”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于94，则用得到的这个数进行下一次操作．如果该程序操作运行了两次就停止，那么x的取值范围是（　　）
A．x＞10 B．x＜31 C．10＜x≤31 D．10≤x＜31
一元一次不等式组的应用；解一元一次不等式．
一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
根据第一次不停止、第二次停止列不等式组求解即可．
【解答】解：由题意列一元一次不等式组得，，
解得10＜x≤31，
综上所述，只有选项C正确，符合题意，
故选：C．
本题主要考查了一元一次不等式组的应用，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键．
7．（2025秋 高密市月考）某种商品进价为800元，标价1200元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则至多可以打（　　）折．
A．6 B．7 C．8 D．9
一元一次不等式的应用．
一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
设至多打x折，用标价×折扣﹣进价得出利润，根据利润率不低于20%，列不等式求解．
【解答】解：设至多打x折，
由题意列一元一次不等式得，1200×0.1x﹣800≥800×20%，
整理得，120x≥960，
解得：x≥8．
答：至多打8折．
故选：C．
本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于20%，列不等式求解．
8．（2024秋 碧江区 期末）下列说法不正确的是（　　）
A．若a＞b，则a+2＞b+2 B．若a＞b，则
C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若2a＞2b，则a＞b
不等式的性质．
一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
根据不等式的性质，对所给选项依次进行判断即可．
【解答】解：因为a＞b，
则根据不等式的基本性质1得，a+2＞b+2．
故A选项不符合题意．
因为a＞b，
则根据不等式的基本性质2得，．
故B选项不符合题意．
因为a＞b，
则根据不等式的基本性质2得，ac2＞bc2（c≠0）．
故C选项符合题意．
因为2a＞2b，
则根据不等式的基本性质2得，a＞b．
故D选项不符合题意．
故选：C．
本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键．
9．（2025春 黄石期末）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为x，则关于x的不等式（a+b）x＞b﹣a的解集是（　　）
A． B． C． D．
不等式的解集；不等式的性质．
方程与不等式；运算能力．
【答案】A
先求出a与b的数量关系及正负，再代入即可求得．
【解答】解：∵关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为x，
∴a＜0，且x，
∴，
∴a＝3b，且b＜0，
∴（a+b）x＞b﹣a，
即4bx＞﹣2b，
∴x．
故选：A．
本题主要考查不等式的解集及不等式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
10．（2025春 环翠区期末）若不等式组有且只有2个整数解，且关于y的一元一次方程3y+2m＝4+y的解为非正数，则符合条件的整数m的和是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
一元一次不等式组的整数解；一元一次方程的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组．
一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
解不等式组求得解集，利用有且只有2个整数解得到m的取值范围，解一元一次方程求得方程的解，利用解为非正数得到m的范围，最终得到整数m的值，相加即可得出结论．
【解答】解：由4x﹣1≥m得x，
由3x＜2x+3得x＜3，
∵不等式组有且只有2个整数解，
∴01，
∴﹣1＜m≤3．
关于y的一元一次方程3y+2m＝4+y的解为y，∵解为非正数，
∴0，
∴m≥2．
综上，m的取值范围为：2≤m≤3．
∵m为整数，
∴m＝2，3，
∴符合条件的所有整数m的和为5．
故选：C．
本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解法熟练掌握一元一次不等式组的解法和一次方程的解法是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025秋 南岗区期末）不等式组的整数解的和为　﹣18　 ．
一元一次不等式组的整数解．
一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣18．
先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后再写出该不等式组的整数解求其和即可．
【解答】解：，
解不等式①，得：x≥﹣6，
解不等式②，得：x＜﹣2，
∴原不等式组的解集为﹣6≤x＜﹣2，
∴该不等式组的整数解为﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，
∴整数解的和为：﹣6﹣5﹣4﹣3＝﹣18．
故答案为：﹣18．
本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组）的方法．
12．（2025秋 宁波期末）把5个体积为3cm3的立方体铅块熔化后，最多能制成　7　 个体积为2cm3的立方体铅块．
一元一次不等式的应用．
一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】7．
设把5个体积为3cm3的立方体铅块熔化后，能制成x个体积为2cm3的立方体铅块，列不等式即可求解．
【解答】解：设能制成x个体积为2cm3的立方体铅块．
由题意得，2x≤5×3，
解得，
∵x为正整数，
∴x的最大值为7，即最多能制成7个体积为2cm3的立方体铅块．
故答案为：7．
本题考查一元一次不等式的应用能力，设2cm3的立方体铅块的个数，表示出相关不等关系是解题关键．
13．（2025春 遵义校级期末）已知关于x的不等式组的最大整数解与最小整数解的差是3，则a的取值范围是　﹣3≤a＜﹣2　 ．
一元一次不等式组的整数解．
一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣3≤a＜﹣2．
注意端点值的取舍．先求得不等式组的解集，再根据不等式组解集的情况，即可得到a的取值范围．
【解答】解：已知关于x的不等式组的最大整数解与最小整数解的差是3，
，
由不等式x﹣a＞0得x＞a，
由不等式1﹣x≥0得x≤1，
∴不等式组的解集为a＜x≤1，
∵不等式组的最大整数解与最小整数解的差是3，且不等式组的最大整数解为1，
∴1﹣3＝﹣2，
∴﹣3≤a＜﹣2．
故答案为：﹣3≤a＜﹣2．
本题考查不等式组的整数解问题，能根据不等式组的整数解得到参数的取值范围是解答的关键．
14．（2025秋 渝中区校级期中）如果一个四位自然数P各数位上的数字不完全相同且均不为零，将这个四位自然数P的千位数字和百位数字互换，十位数字和个位数字互换，得到一个新的四位自然数Q，规定；将这个四位数P的个位数字放到千位数字的左边，组成一个新的四位数R，再将R的左边两位数字不交换顺序一起放到个位的右边，组成一个新的四位数S，规定．若四位数A＝3615，则M（A）﹣N（A）＝　﹣296　 ．若四位数B＝1001x+110y﹣33（3≤x，y≤9，x，y为整数），满足，则满足条件的所有B的和为　15048　 ．
一元一次不等式的整数解；代数式求值；等式的性质．
新定义．
【答案】﹣296，15048．
对于A＝3615，根据定义计算M（A）和N（A），然后求差．对于B＝1001x+110y﹣33，通过数字关系得到B的各位数字表达式，代入给定方程，利用因式分解求解x和y，再求B的值并求和．
【解答】解：若四位数A＝3615，则Q＝6351，
∴，
∵A＝3615，
∴R＝5361，S＝6153，
∴，
∴M（A）﹣N（A）＝﹣304﹣（﹣8）＝﹣296，
∵四位数B＝1001x+110y﹣33（3≤x，y≤9，x，y为整数），
∴B＝1000x+100y+10（y﹣3）+（x﹣3），
∴B的各位数字为x，y，y﹣3，x﹣3，
∵数位上的数字均不为零，
∴x＞0，y＞0，y﹣3＞0，x﹣3＞0，
解得：x＞3，y＞3，
∴Q的各位数字为y，x，x﹣3，y﹣3，
∴Q＝1000y+100x+10（x﹣3）+（y﹣3）＝1001y+110x﹣33，
∴，
∴R的各位数字为x﹣3，x，y，y﹣3，
S的各位数字为y，y﹣3，x﹣3，x，
∴R＝1000（x﹣3）+100x+10y+（y﹣3）＝1100x+11y﹣3003，
S＝1000y+100（y﹣3）+10（x﹣3）+x＝1100y+11x﹣330，
∴，
代入方程，，
得，
化简得（x﹣1）（y+1）＝35，
∵x＞3，y＞3，3≤x≤9，3≤y≤9，且x，y均为正整数，
∴3＜x≤9，3＜y≤9，且x，y均为整数，
∴或，
解得：x＝6，y＝6或x＝8，y＝4．
则B值为6633和8415，和为6633+8415＝15048．
故答案为：﹣296，15048．
本题考查了整式的加减的应用、因式分解的应用、解二元一次方程组，理解题意，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
15．（2025秋 武汉校级期末）新年将至，学校组织了一场数学创意比赛．老师准备了100个彩色气球，先在每个气球上分别标记着1，2， ，100这100个数，在把这些气球挂在教室里后提出了一个有趣的问题：在每个气球标注的数前面添加“+”或者“﹣”号，要使这些数的代数和为2024，那么“+”号最多能够添加 　83　 个．
一元一次不等式的应用；有理数的加减混合运算．
计算题；整体思想；数感；运算能力．
【答案】83．
先算出1+2+3+ 100的值，即1+2+3+ 100，再用整体法设标注的数前面添加“+”号的总和为x，则标注的数前面添加“﹣”号的绝对值为（5050﹣x），根据这些数的代数和为2024，列方程求出x的值，最后确定“+”号最多能够添加的个数．
【解答】解：因为1+2+3+ 100，
所以可设标注的数前面添加“+”号的总和为x，则标注的数前面添加“﹣”号的绝对值为（5050﹣x），
所以x﹣（5050﹣x）＝2024，
解得x＝3537．
因为1+2+3+ +83，1+2+3+ +83+84，
所以最多能够添加的个数为83个．
故答案为：83．
本题考查了有理数的加减、整体思想及方程思想，需要有较强的数感与运算能力，推理能力，对于七年级的同学，是一道难题．
三．解答题（共5小题）
16．（2025秋 历下区校级月考）解不等式组：，并写出所有的整数解．
一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣2≤x＜3，整数解为﹣2，﹣1，0，1，2．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解即可．
【解答】解：，
解不等式①，得：x＜3，
解不等式②，得：x≥﹣2，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜3，
∴该不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2．
本题考查了一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组）的方法．
17．（2025秋 海淀区校级期末）若一个不等式组P有解且解集为a＜x＜b（a＜b），则称为P的“解集中点值”，若P的解集中点值是不等式组Q的解，则称不等式组Q对于不等式组P“中点包含”．
（1）已知关于x的不等式组A：以及不等式组B：﹣1＜x≤5，请判断不等式组B是否对于不等式组A中点包含，并写出判断过程．
（2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围．
（3）已知关于x的不等式组E：和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为14，求n的取值范围．
一元一次不等式组的整数解；不等式的定义；解一元一次不等式组．
一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x＝5在﹣1＜x≤5范围内，不等式B对于不等式组A中点包含；
（2）﹣4＜m＜10；
（3）1≤n＜2或﹣2≤n＜﹣1．
（1）先求不等式组A的解集，然后求得A的中点值，最后判断；
（2）先求不等式组C的解集和不等式组D的解集，然后求得C的中点值，最后根据定义求得m的取值范围；
（3）先求不等式组E和F的解集，再求E的中点值，然后根据定义得到m和n的不等式，最后通过m的条件求出n的取值范围．
【解答】解：（1）不等式B对于不等式组A中点包含，理由如下：
解不等式组得4＜x＜6，
∴A的中点值为x＝5，
∵x＝5在﹣1＜x≤5范围内，
∴不等式B对于不等式组A中点包含；
（2）∵D对于不等式组C中点包含，
∴不等式组C和不等式组D有解．
解不等式组C得，不等式组D得，
∴解得m＞﹣4，
∴当m＞﹣4时，C的解集为m﹣3＜x＜3m+5，D的解集为，
∴C的中点值为，
∵D对于不等式组C中点包含，
∴m﹣4＜2m+1．
∴﹣5＜m＜10，
又∵m＞﹣4，
∴﹣4＜m＜10．
（3）解E得2n＜x＜2m，解F得，
∴E的中点值为n+m，
∵F对于E中点包含，
∴，解得：n＜m＜6，
∵由题意可得，所有符合要求的整数m之和为14，
∴m可取2、3、4，5，或m可取﹣1、0、1、2、3、4、5．
∴1≤n＜2或﹣2≤n＜﹣1．
本题考查了两数的中间值、解一元一次不等式的整数解，解题的关键是学会解一元一次不等式（组）．
18．（2025秋 南湖区校级期末）有一批产品需要生产装箱，4台A型机器一天刚好可以生产8箱产品，而5台B型机器一天刚好生产7箱产品．已知每台A型机器比每台B型机器一天多生产60件．
（1）求每台A型、B型机器一天可分别生产多少件产品？
（2）现需生产42箱产品，若用2台A型机器和5台B型机器同时生产，需几天完成？（不足一天按一天算）
（3）若每台机器运输安装费用150元（运输安装一次可使用4天），每台A型机器一天的租赁费用是100元，可供租货的A型机器有2台，每台B型机器一天的租赁费用是80元，租赁的B型机器台数不限，现要在4天内（含4天）完成42箱产品的生产，则租赁的B型机器　5　 台，费用最省，最省的总费用为　3450　 元．（机器租赁不足一天按一天费用结算）
一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．
一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）每台A型机器一天可生产200件产品，每台B型机器一天可生产140件产品；
（2）需4天完成；
（3）5，3450．
（1）设每台A型机器一天可生产x件产品，则每台B型机器一天可生产（x﹣60）件产品，根据每箱中产品的件数相同，可列方程：，解方程即可求出结果；
（2）由（1）可知一箱产品有100件，可得：用2台A型机器和5台B型机器同时生产4200件产品需要4天；
（3）因为，可知A机器生产1件产品的费用比B机器生产1件产品的费用少，所以尽量多租用A机器，设租赁的B型机器m台，可得不等式4×140m+4×2×200≥42×100，解不等式求出m的取值范围，根据m为整数，可知B型机器租赁的数量，再根据安装费和租赁费计算出最少费用即可．
【解答】解：（1）设每台A型机器一天可生产x件产品，则每台B型机器一天可生产（x﹣60）件产品，
根据题意列一元一次方程得：，
整理得，12x＝2400，
解得：x＝200，
∴x﹣60＝200﹣60＝140，
∴每台A型机器一天可生产200件产品，每台B型机器一天可生产140件产品；
（2）由（1）知，1箱产品有件，
∵，
∴需4天完成；
（3）∵，
∴A机器生产1件产品的费用比B机器生产1件产品的费用少，
∴A型机器尽量多租用，才能使总费用更少，
设租赁的B型机器m台，
根据题意列一元一次不等式得：4×140m+4×2×200≥42×100，
整理得，560m≥2600，
解得：；
∵m为整数，
∴m最小取5，
∴租赁2台A型机器和5台B型机器，可以在4天内完成任务，
所需要的最少费用是150×（5+2）+2×100×4+5×80×4＝3450（元）．
故答案为：5，3450．
本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，关键是根据题意找到关系式．
19．（2025秋 南岗区期末）某学校为开展课外活动，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元，购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元．
（1）求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格；
（2）该学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且购买费用不超过2610元，那么该学校最多可以购买多少副乒乓球拍？
一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）每副乒乓球拍60元和每副羽毛球拍45元；
（2）最多可购买24副乒乓球拍．
（1）设乒乓球拍单价为x元/副，羽毛球拍单价为y元/副，根据购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元，购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元可列二元一次方程组进行求解即可，注意代入验证；
（2）根据总数量与预算限制，建立不等式关系，求解满足条件的最大乒乓球拍数量即可．注意最终结果需符合实际情境，取整数解．
【解答】解：（1）设乒乓球拍单价为x元/副，羽毛球拍单价为y元/副，
根据题意可列二元一次方程：，
解得，
答：每副乒乓球拍60元和每副羽毛球拍45元．
（2）设购买乒乓球拍m副，则羽毛球拍为（50﹣m）副，
根据题意列一元一次不等式得：60m+45（50﹣m）≤2610，
整理得，15m≤360，
解得m≤24，
∵m为正整数，
∴最多可购买24副乒乓球拍．
答：学校最多可以购买24副乒乓球拍．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
20．（2025秋 市中区月考）某商场开展促销活动，出售甲、乙两种商品，活动方案有如下两种：
甲商品 乙商品
售价（单位：元） 100 20
促销方案一 买一件甲商品，赠送一件乙商品
促销方案二 甲商品和乙商品都打九折
（备注：参加方案一，则不能参加方案二；参加方案二，则不能参加方案一）
（1）若某单位购买甲商品x件，购买乙商品的件数比甲商品多20件，
选用方案一需花费　（100x+400）　 元；
选用方案二需花费　（108x+360）　 元；（用含x的代数式填空）
（2）在（1）问的条件下，请问购买甲商品多少件时，选择方案一与选择方案二的花费相同？
（3）在（1）问的条件下，请根据购买甲商品的件数x的不同范围，选择哪种促销方案更合算．
一元一次不等式的应用；列代数式；一元一次方程的应用．
一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）（100x+400），（108x+360）；
（2）5件；
（3）购买甲商品小于5件时选择方案二，多大5件时选择方案一．
（1）设购买甲件商品x件，购买乙商品的件数（x+20）件，求出方案一费用100x+20×20；方案二费用：[100x+20（x+20）]×0.9，
（2）根据（1）的代数式列出方程，即可求解；
（3）用方案一的费用减去方案二的费用，进而得出结论．
【解答】解：（1）设购买甲件商品x件，
选用方案一需花费100x+20×20＝（100x+400）元；
选用方案二需花费[100x+20（x+20）]×0.9＝（108x+360）元；
故答案为：（100x+400），（108x+360）；
（2）根据题意列一元一次方程得，100x+20×20＝[100x+20（x+20）]×0.9，
解得：x＝5，
答：购买甲商品5件时，选择方案一与选择方案二的花费相同；
（3）100x+20×20﹣[100x+20（x+20）]×0.9＝40﹣8x，
当x＜5时，40﹣8x＞0，方案一花费比方案二大，
购买甲商品小于5件时选择方案二促销方案才能获得最大优惠，
当x＞5时，40﹣8x＜0，方案一花费比方案二小，
大于5件时选择方案一促销方案才能获得最大优惠．
本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，关键是根据题意找到关系式．

展开更多......

收起↑