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第20章 勾股定理
一．选择题（共10小题）
1．（2025秋 麦积区期末）下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．∠A+∠B＝∠C D．
2．（2025秋 张家川县期末）杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐AB＝AC＝5米，横梁BC＝8米，那么从梁BC上的任意一点D要支一根木头顶住屋顶A处，这根木头需要长度可能是（　　）
A．2.5米 B．6米 C．4米 D．8米
3．（2025秋 太平区期末）如图，在数轴上，点O与原点重合，点A表示的数是1，OB⊥OA，且OB＝1，连接AB．以点A为圆心，AB长为半径画弧，在点O左侧与数轴交于点C，则点C表示的数是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025秋 原阳县期末）如图，在△ABC和△ABD中，AB＝AC＝AD，AC⊥AD，AE⊥BC于点E，AE的反向延长线与BD交于点F，连结CD，则线段BF，DF，CD三者之间的关系为（　　）
A．BF﹣DF＝CD B．BF+DF＝CD
C．BF2+DF2＝CD2 D．2BF﹣2DF＝CD
5．（2025秋 九台区期末）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　）
A．16 B．25 C．144 D．169
6．（2025秋 东河区期末）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则小明算出旗杆的高度为（　　）
A．10米 B．12米 C．13米 D．15米
7．（2025秋 松江区期末）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，若P是AC上的一个动点，则AP+BP+CP的最小值是（　　）
A．14.8 B．15 C．15.2 D．16
8．（2025秋 沈河区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点P是BC上点，且满足∠BAP＝15°，∠PDC＝75°，若AP＝6，DP＝10，则AD的长为（　　）
A．5 B．7 C． D．8
9．（2025秋 普陀区月考）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，那么下列结论正确的是（　　）
A．AB2﹣CD2＝BC2﹣AD2 B．AB2﹣CD2＝AD2﹣BC2
C．AB2﹣BC2＝CD2﹣AD2 D．AB2﹣BC2＝AD2﹣CD2
10．（2025春 通辽期末）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（　　）
A．2m B．3m C．3.5m D．4m
二．填空题（共5小题）
11．（2025秋 银川校级期末）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长13m，高5m的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为4m，地毯的价格为100元/m2，则购买地毯需花费　 　 元．
12．（2025秋 龙华区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝2，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则∠AFD＝　 　 ，线段BF的最小值为　 　 ．
13．（2025秋 椒江区期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝45°，AB＝6，，AD＝2，若平行于CD的直线交四边形ABCD两边于点E，F，且将四边形ABCD分割成面积相等的两部分，则EF长为　 　 ．
14．（2025秋 秦州区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交BC于点D，且AC＝6，BC＝8，则点D到AB的距离是　 　 ．
15．（2025秋 祁阳市校级期末）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“帅”“炮”两枚棋子所在格点之间的距离是 　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025秋 平谷区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F．
（1）求证：AE＝DE；
（2）如果AE＝4，BD＝3，求EF的长．
17．（2025秋 南京期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形．
（1）经测量，BD＝10m，CD＝24m，BC＝26m，小明判断△BCD是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由；
（2）若小明沿水平方向移动2m到点F处，此时风筝垂直下降到点C′处，测得FC′＝17m，求风筝垂直下降的高度．
18．（2025秋 龙华区校级期末）小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为（图2）．使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图3，点B、O、C在同一直线上，OA＝OB＝24cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°．
（1）求OC的长；
（2）如图4，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°．
①∠BOB′＝ 　 　 ；
②求点B′到AC的距离．（结果保留根号）
19．（2025秋 金凤区校级期末）如图，图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图．已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥1．若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，求点C到水平线l的距离CF．
20．（2025秋 盐都区校级期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
（1）应用一：最短路径问题
如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为8cm，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是　 　 cm；
（2）应用二：解决实际问题
如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝0.5m，将它往前推2m至C处时，即水平距离CD＝2m，踏板离地的垂直高度CF＝1.5m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长．
第20章 勾股定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025秋 麦积区期末）下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．∠A+∠B＝∠C D．
勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】B
根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理，判断各选项是否能推出直角三角形．
【解答】解：根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理，可得：
A：设∠A＝k，∠B＝2k，∠C＝3k，则k+2k+3k＝180°，k＝30°，∴∠C＝90°，能判断△ABC是直角三角形，不符合题意；
B：设∠A＝3k，∠B＝4k，∠C＝5k，则3k+4k+5k＝180°，k＝15°，∴∠C＝75°，不是直角，不能判断△ABC是直角三角形，符合题意；
C：∵∠A+∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∠C＝90°，能判断△ABC是直角三角形，不符合题意；
D：设a＝k，，c＝2k，则a2+b2＝k2+3k2＝4k2，c2＝4k2，∴a2+b2＝c2，能判断△ABC是直角三角形，不符合题意．
故选：B．
本题考查了三角形内角和定理和勾股定理逆定理，正确进行计算是解题关键．
2．（2025秋 张家川县期末）杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐AB＝AC＝5米，横梁BC＝8米，那么从梁BC上的任意一点D要支一根木头顶住屋顶A处，这根木头需要长度可能是（　　）
A．2.5米 B．6米 C．4米 D．8米
勾股定理的应用；等腰三角形的性质．
等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】C
过点A作AE⊥BC于点E，由等腰三角形的性质得BE＝CE＝4米，中由勾股定理求出AE＝3米，然后由AE≤AD＜AC，即可得出结论．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC＝5米，BC＝8米，
∴BE＝CEBC8＝4（米），
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE3（米），
由题意可知，AE≤AD＜AC，
即3米≤AD＜5米，
故这根木头需要长度可能是4米，
故选：C．
本题考查了勾股定理以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键．
3．（2025秋 太平区期末）如图，在数轴上，点O与原点重合，点A表示的数是1，OB⊥OA，且OB＝1，连接AB．以点A为圆心，AB长为半径画弧，在点O左侧与数轴交于点C，则点C表示的数是（　　）
A． B． C． D．
勾股定理；实数与数轴．
等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】C
利用勾股定理求出AB的长，进而得到AC的长，进而可得出点C表示的数．
【解答】解：由题意，得：OA＝1，OB＝1，
在直角三角形AOB中，由勾股定理得：AC＝AB，
∴点C表示的数为；
故选：C．
本题考查勾股定理与实数与数轴，掌握勾股定理是解题的关键．
4．（2025秋 原阳县期末）如图，在△ABC和△ABD中，AB＝AC＝AD，AC⊥AD，AE⊥BC于点E，AE的反向延长线与BD交于点F，连结CD，则线段BF，DF，CD三者之间的关系为（　　）
A．BF﹣DF＝CD B．BF+DF＝CD
C．BF2+DF2＝CD2 D．2BF﹣2DF＝CD
勾股定理．
等腰三角形与直角三角形．
【答案】C
由题意可得∠ACD＝∠ADC＝45°，由AB＝AC＝AD可得∠ABC+∠ABD＝45°＝∠CBD，由AB＝AC，AE⊥BC可得AE是BC的垂直平分线，可得BF＝CF，根据勾股定理可求BF2+DF2的值．
【解答】解：如图，连接CF，
∵AC＝AD，AC⊥AD，
∴∠ACD＝45°＝∠ADC，
∵AB＝AC＝AD，
∴∠ABC＝∠ACB，∠ADB＝∠ABD，
∵∠ABC+∠ACB+∠ADB+∠ABD+∠ACD+∠ADC＝180°，
∴∠CBD＝45°，
∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴AE是线段BC的垂直平分线，
∴BF＝CF，
∴∠CBD＝∠BCF＝45°，即∠CFD＝90°，
∴BF2+DF2＝CD2＝AC2+AD2．
故选：C．
本题主要考查的是勾股定理，根据题意作出辅助线得出∠CFD＝90°是解题的关键．
5．（2025秋 九台区期末）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　）
A．16 B．25 C．144 D．169
勾股定理．
等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【答案】B
根据勾股定理解答即可．
【解答】解：
根据勾股定理得出：AB，
∴EF＝AB＝5，
∴阴影部分面积是25，
故选：B．
此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2解答．
6．（2025秋 东河区期末）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则小明算出旗杆的高度为（　　）
A．10米 B．12米 C．13米 D．15米
勾股定理的应用．
解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】B
根据旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设出旗杆的高度，再利用勾股定理解答即可．
【解答】解：设旗杆的高为x米，则绳子长为（x+1）米，
由勾股定理得：（x+1）2＝x2+52，
解得：x＝12，
∴旗杆的高度是12米，
故选：B．
本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
7．（2025秋 松江区期末）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，若P是AC上的一个动点，则AP+BP+CP的最小值是（　　）
A．14.8 B．15 C．15.2 D．16
勾股定理；垂线段最短．
动点型；解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】A
利用勾股定理求出AC，根据垂线段最短，求出BP的最小值即可解决问题．
【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC10，
∵AP+BP+PC＝BP+AC＝BP+10，
根据垂线段最短可知，当BP⊥AC时，BP的值最小，最小值BP4.8，
∴AP+BP+CP的最小值＝10+4.8＝14.8，
故选：A．
本题考查解直角三角形，勾股定理，动点问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．（2025秋 沈河区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点P是BC上点，且满足∠BAP＝15°，∠PDC＝75°，若AP＝6，DP＝10，则AD的长为（　　）
A．5 B．7 C． D．8
勾股定理；勾股定理的逆定理；平行线的性质．
等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
根据平行线的性质可得∠BAD+∠ADC＝180°，即∠BAP+∠PAD+∠ADP+∠PDC＝180°，推出∠PAD+∠ADP＝90°，再根据三角形的内角和定理可得∠APD＝90°，最后根据勾股定理即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，即∠ADP+∠PDC+∠BAP+∠PAD＝180°，
∵∠PDC＝75°，∠BAP＝15°，
∴∠PAD+∠ADP＝180°﹣（∠BAP+∠PDC）＝90°，
∴∠APD＝180°﹣（∠PAD+∠ADP）＝90°，
∵DP＝10，AP＝6，
∴AD，
故选：C．
本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．
9．（2025秋 普陀区月考）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，那么下列结论正确的是（　　）
A．AB2﹣CD2＝BC2﹣AD2 B．AB2﹣CD2＝AD2﹣BC2
C．AB2﹣BC2＝CD2﹣AD2 D．AB2﹣BC2＝AD2﹣CD2
勾股定理．
等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】D
设AC与BD交于点O，根据勾股定理得到AB2＝OA2+OB2，AD2＝OA2+OD2，BC2＝OC2+OB2，CD2＝OC2+OD2，则AB2+CD2＝AD2+CB2，整理得AB2﹣BC2＝AD2﹣CD2，据此求解即可．
【解答】解：如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，设AC与BD交于点O，
在直角三角形AOB中，由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2，
在直角三角形AOD中，由勾股定理得：AD2＝OA2+OD2，
在直角三角形BOC中，由勾股定理得：BC2＝OC2+OB2，
在直角三角形COD中，由勾股定理得：CD2＝OC2+OD2，
∴AB2+CD2＝OC2+OD2+OA2+OB2＝AD2+CB2，
整理得：AB2﹣BC2＝AD2﹣CD2，
故选：D．
本题考查勾股定理，解答本题的关键要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
10．（2025春 通辽期末）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（　　）
A．2m B．3m C．3.5m D．4m
勾股定理的应用．
等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】D
利用勾股定理求出AB的长，再根据少走的路长为AC+BC﹣AB，计算即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝5m，BC＝12m，
∴，
∴少走的路长为AC+BC﹣AB＝5+12﹣13＝4（m），
故选：D．
本题主要考查了勾股定理的应用，明确少走的路为AC+BC﹣AB是解本题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025秋 银川校级期末）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长13m，高5m的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为4m，地毯的价格为100元/m2，则购买地毯需花费　6800　 元．
勾股定理的应用；勾股定理．
等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】6800．
先利用勾股定理求出台阶最上面和最下面的水平距离，再求出需要铺设的地毯面积即可得到答案．
【解答】解：∵长13m，高5m的台阶，
由勾股定理可得：台阶最上面和最下面的水平距离，
∴购买地毯需花费的钱数为：（12×4+5×4）×100＝68×100＝6800（元），
故答案为：6800．
本题考查了勾股定理的实际应用，关键是利用勾股定理求出台阶最上面和最下面的水平距离解答．
12．（2025秋 龙华区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝2，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则∠AFD＝　90°　 ，线段BF的最小值为　1　 ．
勾股定理．
等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】90°，1．
取AD的中点M，连接MF，BM，求出∠ADF+∠DAF＝90°，即可得到∠AFD＝90°；由直角三角形斜边中线的性质得到MFAD＝1，由勾股定理求出BM，由三角形三边关系定理得到BF≥BM﹣MF1，即可得到BF的最小值．
【解答】解：取AD的中点M，连接MF，BM，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠DAF＝90°，
∵∠ADF＝∠BAE，
∴∠ADF+∠DAF＝90°，
∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°；
∵M是AD的中点，
∴AM＝MFAD2＝1，
∵AB＝4，
∴BM，
由三角形三边关系定理得到：BF≥BM﹣MF1，
∴BF的最小值是1．
故答案为：90°，1．
本题考查勾股定理，三角形三边关系，直角三角形斜边的中线，关键是由三角形三边关系定理得到BF≥BM﹣MF．
13．（2025秋 椒江区期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝45°，AB＝6，，AD＝2，若平行于CD的直线交四边形ABCD两边于点E，F，且将四边形ABCD分割成面积相等的两部分，则EF长为　　 ．
勾股定理．
等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】2．
根据题意，设S△ADC＝S，分别表示出△CDM，△ABM，四边形ABCD的面积，利用三角形相似，得到，即可得到结果．
【解答】解：如图，延长BC、AD，相交于点M，过C点作CG⊥AM，连接AC，
∵∠A＝90°，∠B＝45°，
∴△MAB为等腰直角三角形，
∴AM＝AB＝6，
∵AD＝2，
∴MD＝AM﹣AD＝4，
∵CG∥AB，G是AM的中点，
∴C是BM的中点，AC⊥BM，
∵设S△ADCAD CG＝S，
∴S△CDMMD CG＝2S，
∴S△ACM＝S△ABC＝3S，
∴S△ABM＝6S，
∴S四边形ABCD＝S△ABM﹣S△CDM＝4S，
∵EF将四边形ABCD分割成面积相等的两部分，
∴S四边形DCFE＝S四边形EFBA＝2S，
∴S△MEF＝S四边形DCFE+S△CDM＝4S，
∵EF∥CD，
∴△MCD∽△MFE，
∴（）2，
∴，
∵DC，
∴EF＝2，
故答案为：2．
本题考查了等腰三角形，直角三角形性质的应用，熟练掌握相关性质是解题的关键．
14．（2025秋 秦州区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交BC于点D，且AC＝6，BC＝8，则点D到AB的距离是　3　 ．
勾股定理；角平分线的性质．
线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】3．
过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质得DE＝DC，再由勾股定理求出AB＝10，然后由三角形面积求出DE的长，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∵AD平分∠CAB，
∴DE＝DC，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB10，
设DE＝DC＝x，
∵S△ACD+S△ABD＝S△ABC，
∴6x10x6×8，
解得：x＝3，
∴DE＝3，
即点D到AB的距离是3，
故答案为：3．
本题考查了勾股定理以及角平分线的性质等知识，熟练掌握勾股定理和角平分线的性质是解题的关键．
15．（2025秋 祁阳市校级期末）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“帅”“炮”两枚棋子所在格点之间的距离是 　　 ．
勾股定理的应用．
等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】．
直接根据网格的特点和勾股定理求解即可．
【解答】解：由勾股定理得：“帅”“炮”两枚棋子所在格点之间的距离是，
故答案为：．
本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025秋 平谷区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F．
（1）求证：AE＝DE；
（2）如果AE＝4，BD＝3，求EF的长．
勾股定理；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）∵AD平分∠BAC交BC于点D，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠CAD，
∴∠DAB＝∠ADE，
∴AE＝DE；
（2）．
（1）根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠BAD，根据平行线的性质得到∠ADE＝∠CAD，求得∠DAB＝∠ADE，得到AE＝DE；
（2）根据平行线的性质得到∠EDB＝∠C＝90°，根据勾股定理得到BE5，根据三角形的面积得到DF，根据勾股定理得到EF．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC交BC于点D，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠CAD，
∴∠DAB＝∠ADE，
∴AE＝DE；
（2）解：∵DE∥AC，∠C＝90°，
∴∠EDB＝∠C＝90°，
∵AE＝4，
∴DE＝AE＝4，
∵BD＝3，
∴BE5，
∵DF⊥AB，
∴S△BDEDE BD，
∴DF，
∴EF．
本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
17．（2025秋 南京期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形．
（1）经测量，BD＝10m，CD＝24m，BC＝26m，小明判断△BCD是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由；
（2）若小明沿水平方向移动2m到点F处，此时风筝垂直下降到点C′处，测得FC′＝17m，求风筝垂直下降的高度．
勾股定理的应用；勾股定理的逆定理．
等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）正确，∵BD＝10m，CD＝24m，BC＝26m，
∴根据勾股定理得，BD2+CD2＝102+242＝100+576＝676＝262＝BC2．
∴△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°；
（2）风筝垂直下降的高度为9m．
（1）利用勾股定理的逆定理求解；
（2）先求得FD，再利用勾股定理求得DC′，从而可利用线段的差求得风筝垂直下降的高度．
【解答】解：（1）他的说法正确．
理由如下：
∵BD＝10m，CD＝24m，BC＝26m，
∴根据勾股定理得，BD2+CD2＝102+242＝100+576＝676＝262＝BC2．
∴△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°；
（2）根据题意得，BF＝2m，
∵BD＝10m，
∴FD＝10﹣2＝8（m）．
∵FC′＝17m，
∴在Rt△FDC′中，．
∴CC′＝DC﹣DC′＝24﹣15＝9（m），
即风筝垂直下降的高度为9m，
答：风筝垂直下降的高度为9m．
本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
18．（2025秋 龙华区校级期末）小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为（图2）．使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图3，点B、O、C在同一直线上，OA＝OB＝24cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°．
（1）求OC的长；
（2）如图4，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°．
①∠BOB′＝ 　30°　 ；
②求点B′到AC的距离．（结果保留根号）
勾股定理的应用．
等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）12cm；
（2）①30°；②cm．
（1）根据BC⊥AC得△AOC是直角三角形，在Rt△AOC中，根据OA＝24cm，∠OAC＝30°即可得出OC的长；
（2）①过点O作直线DE∥水平线AC，过点B'作B'H⊥水平线AC于点H，交DE于点F，根据BC⊥AC得∠BOD＝90°，再根据∠DOB'＝120°即可得出∠BOB′的度数；
②证明BC∥B'H，B'H⊥DE得∠B'＝∠BOB′＝30°，∠B'FO＝90°，在Rt△B'OF中，根据OB'＝24cm，∠B'＝30°得OF＝12cm，再由勾股定理得B'Fcm，再证明四边形OCHF是矩形得FH＝OC＝12cm，由此即可得出点B′到AC的距离．
【解答】解：（1）∵BC⊥AC，
∴∠AOC＝90°，
∴△AOC是直角三角形，
在Rt△AOC中，OA＝24cm，∠OAC＝30°，
∵OCOA＝12（cm）；
（2）①过点O作直线DE∥水平线AC，过点B'作B'H⊥水平线AC于点H，交DE于点F，如图4所示：
∵BC⊥AC，
∴BC⊥DE，
∴∠BOD＝∠BOE＝90°，
∴显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，
∴∠DOB'＝120°，
∴∠BOB′＝∠DOB'﹣∠BOD＝120°﹣90°＝30°，
故答案为：30°；
②∵BC⊥AC，B'H⊥AC，DE∥AC，
∴BC∥B'H，B'H⊥DE，
∴∠B'＝∠BOB′＝30°，∠B'FO＝90°，
∴△B'OF是直角三角形，
在Rt△B'OF中，OB'＝24cm，∠B'＝30°，
∴OFOB'＝12（cm），
由勾股定理得：B'F（cm），
∵B'H⊥DE，B'H⊥AC，BC⊥AC，
∴∠OCH＝∠FHC＝∠OFH＝90°，
∴四边形OCHF是矩形，
∴FH＝OC＝12（cm），
∴B'H＝B'F+FHcm，
即点B′到AC的距离为cm．
此题主要考查了勾股定理的应用，含有30°角的直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理，含有30°角的直角三角形的性质是解决问题的关键．
19．（2025秋 金凤区校级期末）如图，图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图．已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥1．若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，求点C到水平线l的距离CF．
勾股定理的应用．
等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】点C到水平线l的距离CF的长为dm．
延长DC交l于点H，连接OC，根据题意及解三角形确定，，再由等面积法即可求解．
【解答】解：延长DC交l于点H，连接OC，
在Rt△OBH中，∠BOH＝90°﹣60°＝30°，OB＝12dm，
∴，OH＝2BH＝2×48，
∵S△OBH＝S△OCH+S△OBC，
∴，
∴，
∴，
答：点C到水平线l的距离CF的长为．
本题考查了勾股定理的应用，作出辅助线是解题关键．
20．（2025秋 盐都区校级期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
（1）应用一：最短路径问题
如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为8cm，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是　5　 cm；
（2）应用二：解决实际问题
如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝0.5m，将它往前推2m至C处时，即水平距离CD＝2m，踏板离地的垂直高度CF＝1.5m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长．
勾股定理．
等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】（1）5；
（2）2.5m．
（1）将圆柱体展开得到平面图形，如图所示，求出直角边长，再由勾股定理求值即可得到答案；
（2）由题意可得AC＝AB，DE＝CF＝1.5m，CD＝EF＝2m，BE＝0.5m，设AC＝xm，得到AD＝（x﹣1）m，在Rt△ADC中，由勾股定理列方程求解即可得到答案．
【解答】解：（1）将圆柱展开得到平面图形，如图所示：
由题意可得：，BC＝4cm，AC＝3
在Rt△ABC中，AB5
即最短的路线长是5cm，
故答案为：5；
（2）由题意可得AC＝AB，DE＝CF＝1.5m，CD＝EF＝2m，BE＝0.5m，
∴BD＝DE﹣BE＝1.5﹣0.5＝1m，
设AC＝xm，
则AD＝AB﹣DB＝（x﹣1）m，
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝（x﹣1）m，AC＝xm，CD＝2m，
∴AD2+DC2＝AC2，
即（x﹣1）2+22＝x2，
解得x＝2.5，
故绳索AC的长为2.5m．
本题考查勾股定理求线段长的应用，理解题意，构造直角三角形由勾股定理求线段长是解决问题的关键．

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