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21.1 四边形及多边形
第一课时
第二十一章 四边形
人教版数学八年级下册
目录
学习目标
03
01
02
04
课堂导入
新知探究
随堂练习
05
课堂小结
学习目标
01
1.了解四边形的概念及四边形的顶点、边、内角、外角与对角线，增强几何直观；
2.掌握四边形的内角和和外角和，了解四边形的不稳定性.
新课导入
02
现实世界的很多物体中都有四边形的形象，例如，宏伟的建筑、一望无际的农田、开关自如的伸缩门、别具一格的窗棂.
与三角形一样，四边形也是一种基本的几何图形. 本节我们类比三角形，学习四边形的一些概念和性质，并把它们推广到多边形.
新知探究
03
与三角形类似，如图，在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形，组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点.
四边形用表示它的各个顶点的字母表示，例如，图中的四边形，可以按照顶点的顺序，记作“四边形ABCD”.
A
D
C
B
边
顶点
如图(1)，画出四边形ABCD的任何一条边(例如CD)所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形.而图(2)中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画出边CD(或BC)所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧.今后，如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形.
A
D
C
B
A
B
D
C
图(1) 图 (2)
连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线.在图中，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，它们分别将四边形 ABCD分为两个三角形.
A
D
C
B
与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角；四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角.
请你画出四边形ABCD顶点C，D处的外角.
A
D
C
B
思考 我们知道，三角形的内角和是180°，长方形的内角和是360°.那么，任意一个四边形的内角和是多少度？你能证明你的结论吗？
由于四边形的一条对角线将这个四边形分为两个三角形，所以四边形的有关问题就可以利用三角形的相关知识加以解决.下面按照上述思路解决这个问题.
C
A
B
D
如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形.在△ABC中，由三角形内角和定理，得
∠1+∠B+∠3=180°.
同理∠2+∠4+∠D=180°.
由此可得
∠DAB+∠B+∠BCD+∠D
=∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D
=(1+∠B+∠3)+(∠2+∠4+∠D)
=180°+180°=360°.
即四边形的内角和等于360°
2
1
3
4
C
A
B
D
四边形的内角和等于360°.
例1 如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和.四边形的外角和等于多少？
分析：因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，所以四边形的外角和与内角和的总和为4×180°.根据这个关系，可以利用四边形的内角和求出其外角和.
A
C
B
D
2
1
3
4
例1 如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和.四边形的外角和等于多少？
A
C
B
D
2
1
3
4
解：如图.
∵∠DAB与∠1是邻补角，
∴∠DAB+∠1=180°.
同理∠ABC+∠2=180°，
∠BCD+∠3=180°，
∠CDA+∠4=180°.
例1 如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和.四边形的外角和等于多少？
A
C
B
D
2
1
3
4
∴∠DAB+∠1+∠ABC+∠2+∠BCD+∠3+∠CDA+∠4=720°.
而∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°.
四边形的外角和等于360°
在“三角形”一章中，我们通过实验发现三角形具有稳定性，并在学习全等三角形时明白了其中的道理，那么四边形是否也具有稳定性呢？
探究 如图(1)，在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？如图(2)，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？
图 （1） 图（2）
可以发现，四边形木架的形状会改变.因为四边形的四条边确定后，四个角并不确定，这说明四边形不具有稳定性.
而再钉一根木条后，四边形木架变成两个三角形木架，由于三角形具有稳定性、这时四边形木架的形状不会改变.
图 （1） 图（2）
在日常生活中，有时需要利用四边形的不稳定性，如图中的伸缩门、升降机等；有时又需要克服四边形的不稳定性，如图中在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上钉一根木条，以防窗框变形等.
例2 2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了（　　）
A.三角形的稳定性
B.四边形的不稳定性
C.三角形任意两边之和大于第三边
D.两点之间线段最短
B
随堂练习
04
1.求出下列图形中x的值.
解：(1)由140+90+2x=360，得x=65.
(2)由3x+4x+2x+3x=360，得x=30.
(3)由120+80+75+(180-x)=360，得x=95.
2.四边形ABCD中有一组对角互补，且∠A，∠B，∠C的度数之比为2:3:4，则∠D 的度数是______.
解析：∵ 四边形ABCD 中有一组对角互补，
∴ 另一组对角也互补，
∴ ∠A+∠C=∠B+∠D=180°.
设 ∠A,∠B,∠C 的度数分别为2x,3x,4x，
则 2x+4x=180°，
解得 x=30°，
∴∠B=3x=90°，
∴ ∠D=180° ∠B=90°.
90°
3.下列图形中哪些具有稳定性？
(1) (2) (3) (4) (5)
解：(1)(4)具有稳定性；
(2)(3)(5)不具有稳定性.
课堂小结
05
四边形及其内角和
相关概念
在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形，组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点
内角和
四边形的内角和等于360°
外角和
四边形的外角和等于360°
21.1 四边形及多边形
第二课时
第二十一章 四边形
人教版数学八年级下册
目录
学习目标
03
01
02
04
课堂导入
新知探究
随堂练习
05
课堂小结
学习目标
01
1.探索并掌握多边形内角和与外角和公式;
2.能运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，
提升推理能力.
新课导入
02
多边形在生活中也很常见，观察下图中的图片，你能从中找出一些多边形的形象吗？
新知探究
03
与三角形、四边形类似，如图，在平面内，由n(n≥3)条线段 A A ，A A ，…，An-1An，AnA 首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.
边
顶点
对角线
内角
外角
与三角形、四边形类似，如图，在平面内，由n(n≥3)条线段 A A ，A A ，…，An-1An，AnA 首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.
边
顶点
对角线
内角
说明 ：
n(n≥3)边形共有n条边，n个顶点，n个内角，2n个外角，从一个顶点处可以引(n-3)条对角线.
外角
多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的概念与四边形相应的概念类似. 多边形有几条边就叫作几边形.
多边形同样用表示它的各个顶点的字母表示，例如，图中的六边形，记作“六边形ABCDEF”.
A
E
D
C
B
F
与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形.今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形.
我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等.像正方形这样，各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.下图中是正多边形的一些例子.
正三角形 正方形 正五边形 正六边形
例1 下列图形中，一定是正多边形的是( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.长方形
D.正方形
三条边不都相等，三个角不都相等.
三条边不一定都相等，三个角也不一定都相等.
四个角都相等，但四条边不一定都相等.
四条边都相等，四个角都相等.
D
探究 类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗？由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗？
(1)从四边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，将四边形分成______个三角形，四边形的内角和等于_____×180°；
(2)从五边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，将五边形分成______个三角形，五边形的内角和等于_____×180°；
2
2
1
3
3
2
(3)从六边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，将六边形分成______个三角形，六边形内角和等于_____×180°；
(4)从n边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，将n边形分成______个三角形，n边形内角和等于_____×180°.
4
4
3
(n-2)
(n-3)
(n-2)
把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？
把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法.可在多边形的内部或一边上任取一点，将该点与各顶点连接得到n个或(n-1)个三角形，由此可推导出多边形内角和公式.具体如下表
方法 图示
方法1： 如图所示，在n边形内任取一点P，连接 PA , PA , ..., PAn，把n边形分成n个三角形，这n个三角形的内角和为n×180°，再减去一个周角的度数，即得n边形的内角和为 n×180° - 360° = (n-2)×180°.
把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法.可在多边形的内部或一边上任取一点，将该点与各顶点连接得到n个或(n-1)个三角形，由此可推导出多边形内角和公式.具体如下表
方法 图示
方法2：如图所示，在n边形的一边上任取一点P与各顶点相连，得(n-1)个三角形，n 边形内角和等于这 (n-1) 个三角形的内角和减去在点P处的一个平角的度数，即得n边形的内角和为 (n-1)×180° - 180° = (n-2)×180°.
这样就得出了多边形的内角和公式：
n边形的内角和等于(n-2)×180°.
例2 若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为（ ）
A. 60 B. 90 C. 120 D. 150
解析：∵ 一个六边形的每个内角都是x°，
∴ 6×x°=(6 2)×180°，
解得 x=120.
C
跟踪训练 如图，在正六边形ABCDEF中，∠CAE的度数是_______．
60°
解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴每个内角为（6-2）×180°÷6=120°，
△ABC和△AFE为等腰三角形，
∴∠BAC=∠FAE==30°，
∴∠CAE=∠BAF-∠BAC-∠FAE
=120°-30°-30°=60°.
A
D
C
E
B
F
探究 与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角、它们的和叫作多边形的外角和.多边形的外角和等于多少度？请你说明理由.
与四边形类似，多边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，因此 n边形的内角和与外角和的总和等于n×180°，外角和等于
n×180°-(n-2)×180°=360°.
这样就得出了多边形的外角和公式：
n边形的外角和等于360°.
也可以这样理解为什么多边形的外角和等于360°：如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边依次走过各顶点，再回到点A,然后转向出发时的方向.在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和，由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°
例3 一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是几边形？
解：设这个多边形的边数为n.
因为它的内角和等于(n-2)×180°，外角和等于360°，所以
(n-2)×180°=2×360°.
解得 n=6.
因此这个多边形是六边形.
跟踪训练 图(1)是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消融，形状无一定规则，代表一种自然和谐美.图(2)是从图(1)冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的一个图形.已知∠3+∠4=180°，∠2=61°，∠5=52°，则∠1的度数为（ ）
A.57 B.66° C.63° D.67°
解析：∵多边形的外角和等于360°，
∴∠1+2+∠3+∠4+∠5=360°，
∴∠1=360°-∠2-∠3-∠4-∠5=67°.
D
图（ 1 ） 图（ 2 ）
随堂练习
04
1.求出下列图形中x的值：
x°
x°
x°
x°
x°
2x°
150°
120°
(1) (2) (3)
135°
150°
x°
AB//CD
B
A
C
D
E
解：(1)由2x+x+150+120+90=(5-2)×180，得x=60.
(2)由4x+90+90=(6-2)×180，得x=135.
(3)∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°.
由x+150+180+135=(5-2)×180，得x=75.
2.(1)一个多边形的内角和等于1 080°，这个多边形是几边形？
解：（1）设这个多边形的边数为 n，
则 (n-2)×180° = 1 080°，
得 n= 8，
所以这个多边形是八边形.
2.(2)一个多边形的每一个内角都等于120°，这个多边形是几边形？
解：（2）方法一：∵该多边形的每一个内角都等于 120°，
∴该多边形的每一个外角都等于 60°。
360° ÷ 60° = 6，
∴这个多边形是六边形.
方法二：设这个多边形的边数为 n，
则 (n-2)×180° = 120°×n，
解得 n= 6，
所以这个多边形是六边形.
2. (3)一个多边形的每一个外角都等于72°，这个多边形是几边形？
解：（3）∵该多边形的每一个外角都等于 72°，
360° ÷ 72° = 5，
∴这个多边形是五边形.
利用多边形的内角（和）、外角（和）求边数的方法
1.已知n边形的内角和（或已知正n边形的一个外角），可利用n边形的内角和公式（或利用n边形的外角和为360°）求边数；
2.已知正n边形的一个内角的度数为m,可通过列方程(n-2)·180°=mn求边数；
3.已知多边形内角和与外角和之间的数量关系，可列方程求边数.
3.参加科创兴趣小组的同学，给机器人设定了如图所示的程序，机器人从点O出发，沿直线前进1米后左转18°，再沿直线前进1米，又向左转18°……照这样走下去，机器人第一次回到出发地O点时，一共走的路程是 （ ）
A.10米 B.18米 C.20米 D.36米
解析：由题意，得机器人走的路径是一个边长为1米，
每个外角都为18°的正多边形.
360°÷18°=20，20×1=20(米)，
∴机器人第一次回到出发地O点时，一共走的路程是20米.
C
课堂小结
05
多边形及其内角和
相关
概念
与三角形、四边形类似，如图，在平面内，由n(n≥3)条线段A A ，A A ，…，An-1An，AnA 首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.
内角和
公式
n边形的内角和等于(n-2)×180°
外角和
公式
多边形的外角和等于360°
谢谢观看
人教版数学八年级下册

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