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21.1 四边形及多边形
21.2.1平行四边形及其性质
第一课时
第二十一章 四边形
人教版数学八年级下册
目录
学习目标
03
01
02
04
课堂导入
新知探究
随堂练习
05
课堂小结
学习目标
01
1.理解平行四边形的概念，增强几何直观.
2.探索并证明平行四边形的性质定理，并能运用它们进行证明和计算，提升推理能力.
新课导入
02
对于三角形，我们学习了一般三角形后，又学习了等腰三角形和直角三角形.这是在一般图形的基础上研究特殊图形，我们在研究几何图形时常用这种思路.对于四边形，从组成它的四条边的位置关系来看，如果它的两组对边分别平行，这个四边形就是平行四边形；如果它只有一组对边平行，这个四边形就是梯形（如图）.
四边形
梯形
平行四边形
两组对边分别平行
只有一组对边平行
本节我们重点学习平行四边形，研究它的性质和判定.
平行四边形是常见的几何图形.学校的伸缩门、庭院的竹篱笆等，都有平行四边形的形象.你还能举出一些例子吗？
新知探究
03
我们知道，两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.平行四边形用“ ”表示，如图，平行四边形ABCD记作“ ABCD”.
A
D
C
B
注意：
1.表示平行四边形时一定要按顺（或逆）时针依次书写各顶点字母；
2.“ ”后要紧跟表示四个顶点的字母，不能单独使用.
下面，我们从平行四边形的边、角、对角线出发，从数量关系和位置关系的角度研究平行四边形的性质.
A
D
C
B
边：AB与DC、AD与BC互为对边；
AD和AB、AD和DC、DC和BC、BC和AB互为邻边.
角：∠ABC与∠ADC，∠DAB与∠BCD互为对角，
∠ABC与∠DAB，∠DAB与∠ADC，∠ADC与∠BCD，∠BCD与∠ABC互为邻角.
对角线：线段AC和BD.
例1 如图所示，在 ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH相交于点O，则图中平行四边形共有（ ）
A.7个 B.8个 C.9个 D.11个
平行四边形的组成 个数 名称
单独1个四边形 4 DEOH， EAGO，
OGBF， HOFC
由2个四边形组成 4 DAGH， HGBC，
EABF， DEFC
由4个四边形组成 1 ABCD
C
探究 根据定义画一个平行四边形并进行观察，除了“两组对边分别平行”，它的边之间还有什么关系？它的角之间呢？度量一下，和你的猜想一致吗？你能证明你的猜想吗？把你的结论和同学比较一下.
通过观察和度量，我们猜想：
平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等.
怎么证明？
构造全等三角形.
A
D
C
B
证明：如图，连接 ABCD的对角线AC.
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
又AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴△ABC≌△CDA.
∴AB=CD，BC=DA，∠B=∠D.
∵∠1=∠2，∠3=∠4.
∴∠1+∠4=∠2+∠3，
即∠BAD=∠DCB.
请你自己证明∠BAD=∠DCB.
不添加辅助线你能否直接运用平行四边形的定义证明其对角相等呢
A
D
C
B
已知：四边形ABCD是平行四边形，
求证：平行四边形对角相等.
证明：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠A+∠B=180°，∠A+∠D=180°.
∴∠B=∠D.
同理∠A=∠C.
这样，就得到平行四边形的性质：
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等.
符号语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD.
∴∠A=∠C，∠B=∠D.
接下来研究平行四边形的对角线.
探究 如图，在 ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O.点O把每条对角线都分成两部分，这两部分有什么关系？
利用信息技术工具，改变 ABCD的形状，你发现的结论还成立吗？证明你发现的结论.
容易发现，即便改变 ABCD的形状，
仍然有OA=OC，OB=OD.
这个结论也可以通过三角形全等证明
（请你完成证明).
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥ BC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴△OAD≌△OCB (ASA)，
∴OD=OB，OA=OC，
即 ABCD的对角线互相平分.
由此又得到平行四边形的一个性质：
平行四边形的对角线互相平分.
符号语言:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD.
例2 如图，在△ABC中，AB=10，AD=8，AC⊥BC.求BC，CD，AC，OA的长，以及 ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8，CD=AB=10.
∵ AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形.
根据勾股定理，AC===6.
∴OA=OC=AC=3，
S ABCD=BCAC=8×6=48.
跟踪训练 如图，在 ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，
下列式子中不一定成立的是（ ）
A.AB∥ CD B.OA=OC
C.∠ABC+∠BCD=180° D.AB=BC
D
解析：由“平行四边形对边平行”可知AB∥ CD；
根据“平行四边形的对角线互相平分”可知OA=OC；
根据“平行四边形的邻角互补”可知∠ABC+∠BCD=180°；
根据四边形ABCD是平行四边形不能推出AB=BC.
例3 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F. 求证：OE=OF.
A
E
D
C
B
O
F
证明：在 ABCD中，AB∥ CD,
∴∠EAO=∠FCO, ∠AEO=∠CFO.
又OA=OC,
∴△AOE≌△COF.
∴OE=OF.
随堂练习
04
1.在 ABCD中，
(1)已知AB=5，BC=3，求另外两边的长；
(2)已知∠A=38°，求其余各内角的度数.
解：（1）在 ABCD中，AB=CD=5，BC=AD=3.
（2）在 ABCD中，∵∠A=38°，
∴∠C=38°.
∵AD∥ BC，
∴∠B=∠D=180°-38°=142°，
∴∠B、∠C、∠D的度数分别是142°、38°、142°.
2.如图，在 ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14.△AOD的周长是多少？△ABC与△DBC的周长哪个长？长多少？
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=10，AB=CD，OA=OC，OB=OD.
∵ AC=8，BD=14，
∴OA=OC= AC= ×8=4，
OB=OD= BD= ×14=7，
∴△AOD的周长为OA+OD+AD=4+7+10=21，
△ABC的周长为AB+AC+BC=AB+8+10=18+AB，
2.如图，在 ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14.△AOD的周长是多少？△ABC与△DBC的周长哪个长？长多少？
△DBC的周长为BC+CD+BD=10+CD+14=24+CD=24+AB.
∵24+AB >18+AB，
∴△DBC的周长比△ABC的周长长.
∵24+AB-(18+AB)=24+AB-18-AB=6,
∴△DBC的周长比△ABC的周长长6.
解：线段AD和BC的长度相等.理由如下：
由已知得AD∥ BC，AB∥ CD.
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以AD=BC，
即线段AD和BC的长度相等.
3.如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形.转动其中一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？
A
B
C
D
4. 如图,在 ABCD中，E是BC边上一点，BE=CD，连接AE，∠D=50°，则∠DAE的度数为（ ）
A.65° B.60° C.55° D.50°
解析：在 ABCD中，AB=CD，∠B=∠D=50°，AD∥ BC.
∵AB=CD，BE=CD,
∴AB=BE,
∴∠BAE=∠BEA==65°.
∵ AD∥ BC,
∴∠DAE=∠BEA=65°.
A
课堂小结
05
平行四边形
定义
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
边
两组对边分别平行且相等
角
两组对角分别相等，邻角互补
对角线
对角线互相平分
性质
21.1 四边形及多边形
21.2.1平行四边形及其性质
第二课时
第二十一章 四边形
人教版数学八年级下册
目录
学习目标
03
01
02
04
课堂导入
新知探究
随堂练习
05
课堂小结
学习目标
01
理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离.
新课导入
02
大家有没有注意过，马路上的斑马线、操场上的跑道线、甚至是我们作业本上的横线，它们都有一个共同的特点——平行.
那么，你有没有思考过这样一个问题：这些平行线之间的距离，是不是处处相等呢？ 比如说，一条斑马线中，任意两条线之间的宽度是否总是一样的？
新知探究
03
距离是几何中的重要度量之一. 我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距离，在此基础上，我们结合平行四边形的概念和性质，学习两条平行线之间的距离.
如图，a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A,B,C,D四点.由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形, AB=CD.也就是说，两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.
A
B
C
D
a
b
c
d
B
从上面的结论可以知道，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫作这两条平行线之间的距离.
如图，a∥ b，A是a上的任意一点，AB⊥b，垂足为B，线段AB的长就是平行线a，b之间的距离.
a
b
A
例1 如图，直线a∥ b，则直线a，b之间的距离是（　　）
A．线段AB的长度
B．线段CD的长度
C．线段AB
D．线段CD
B
A C
B D
a
b
思考 两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区別？
两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离
示 意 图
区别 连接两点的线段的长度 点到直线的垂线段的长度 两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度
联系 都是指某一条线段的长度（距离是数值）
A
D
B
C
例2 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC. 求证：∠B=∠C.
E
F
证明：如图，在梯形ABCD中，AD∥ BC，过点A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F.
∵AE,DF的长都是平行线AD,BC之间的距离，
∴ AE = DF.
又 AB = DC，
∴ Rt△ABE≌Rt△DCF.
∴ ∠B=∠C.
分析：由于AD∥ BC，可以考虑运用平行线之间的距离，通过三角形全等进行证明.
你还有其他证明方法吗？
例2 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC. 求证：∠B=∠C.
A
D
B
C
M
证明：如图，过点D作DM∥AB.
∵AD∥ BC，DM∥AB.
∴四边形ABMD是平行四边形，
∴AB ∥ DM，AB=DM，
∴∠B=∠DMC，DM=DC，
∴∠DMC=∠C，
∴∠B=∠C.
跟踪训练 如图，已知 l ∥ l ，C 在l 上，并且C A⊥l ，A为垂足，C ,C 是l 上任意两点，点B在l 上.设△ABC 的面积为S ，△ABC 的面积为S ，△ABC 的面积为S ，小颖认为S = S = S ，请帮小颖说明理由.
解：∵ l ∥ l ，
∴ △ABC 、△ABC 、△ABC 的边AB上的高相等，
∴ △ABC 、△ABC 、△ABC 这三个三角形同底等高，
∴ △ABC 、△ABC 、△ABC 这三个三角形的面积相等，
即 S = S = S .
随堂练习
04
1.如图，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=70°，BE平分∠ABC且与AD相交于点E，DF∥ EB且与BC相交于点F. 求∠1的大小.
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∠ABC = 70°，
∴ AD ∥ BC，∠ABC = ∠ADC = 70°，
∴ ED ∥ BF,
又 BE ∥ DF，
∴ 四边形 BEDF是平行四边形，
∴ ∠EBF = ∠EDF.
∵ BE 平分 ∠ABC，∠ABC = 70°，
∴ ∠EBF = × 70° = 35°，
∴ ∠EDF = 35°，
∴ ∠1 = ∠ADC - ∠EDF = 70° - 35° = 35°.
A
D
C
B
E
F
2.如图， ABCD的周长为16，对角线AC，BD相交于点O，点E在
AD上，OE⊥AC. 求△CDE的周长.
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA = OC，AB = CD，AD = BC.
∵ OE ⊥ AC，
∴ OE 垂直平分 AC，
∴ AE = CE，
∴ △CDE 的周长 = CD + CE + DE
= CD + AE + DE = CD + AD = × 16 = 8.
A
D
C
B
E
F
O
3.如图，在梯形ABCD中，AD∥ BC，∠C=90°，AD=3，AB=4,
BC=5，E为边BC上一点，AB∥ DE.求AD，BC之间的距离.
解：∵ AD ∥ BC，AB ∥ DE，
∴ 四边形 ABED 是平行四边形，
∴ DE = AB = 4，BE = AD = 3，
∴ CE = BC BE = 5 3 = 2，
∴ CD = = = = 2，
即AD，BC之间的距离为2.
A
D
C
B
E
4.在△ABC中，∠ACB=90°，∠A+∠D=90°，DE∥ BC．
(1) 请说明AB∥ DC的理由；
(2) 若AC=4，BC=3，求AB与DC之间的距离．
D C
A E B
F
解： (1) ∵DE∥ BC，
∴∠AFE=∠ACB=90°．
在Rt△AEF中，∠A+∠AEF=90°，
∵∠A+∠D=90°，
∴∠AEF=∠D，
∴AB∥ DC．
4.在△ABC中，∠ACB=90°，∠A+∠D=90°，DE∥ BC．
(1) 请说明AB∥ DC的理由；
(2) 若AC=4，BC=3，求AB与DC之间的距离．
D C
A E B
F
解：(2)如图，过点C作CG⊥AB于点G，
∴ =AC×BC = AB×CG.
∵AC=4, BC=3，AB = = 5，
∴ ×4×3 = ×5×CG.
CG = .
即AB与DC之间的距离为.
G
课堂小结
05
两条平行线
之间的距离
两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.
如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.
平行线间的距离处处相等.
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离.
谢谢观看
人教版数学八年级下册

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