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21.2 平行四边形
21.2.2平行四边形的判定
第一课时
第二十一章 四边形
人教版数学八年级下册
目录
学习目标
03
01
02
04
课堂导入
新知探究
随堂练习
05
课堂小结
学习目标
01
1.理解并掌握平行四边形的 3 种判定方法（两组对边分别相等、两组对角分别相等、对角线互相平分），能区分判定定理与性质定理的关系（互逆）.
2.能运用平行四边形的判定定理，解决 “证明四边形是平行四边形” 的简单几何问题，并初步学会从 “性质逆推判定” 的逻辑思考方式.
新课导入
02
两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.
A
B
C
D
四边形ABCD
如果AB∥ CD, AD∥ BC
问题1 平行四边形的定义是什么？有什么作用？
B
D
ABCD
A
C
可以用平行四边形的定义来判定平行四边形，如：
平行四边形的判定定理（定义法）：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
符号语言:
∵ AD∥ BC，AB∥ CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
问题2 除了两组对边分别平行，平行四边形还有哪些性质？
边：平行四边形的对边相等;
角：平行四边形的对角相等;
对角线：平行四边形的对角线互相平分.
讨论平行四边形的判定，就是确定当四边形的边、角、对角线满足怎样的位置关系和数量关系时，它是平行四边形. 根据平行四边形的定义，可以从边的位置关系的角度来判定，还有其他判定平行四边形的方法吗？
新知探究
03
思考 我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.反过来，对边相等，或对角相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？也就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？
逆命题1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
逆命题2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
逆命题3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
逐个研究证明吧？
逆命题1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
已知： 如图，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.
求证： 四边形ABCD是平行四边形.
A
D
C
B
证明：连接AC，
在△ABC和△CDA中,
，
∴△ABC≌△CDA(SSS)
∴ ∠1=∠4 , ∠ 2=∠3，
∴AB∥ CD , AD∥ BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定定理1：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
符号语言:
∵AD =BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
例1 如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°.
求证：四边形PONM是平行四边形．
证明：Rt△MON中，
由勾股定理得(x－5)2＋42＝(x－3)2，
解得x＝8.
∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5.
∴PM＝ON，OP＝MN，
∴四边形PONM是平行四边形．
逆命题2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
已知： 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D.
求证： 四边形ABCD是平行四边形.
A
D
C
B
证明：∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°，
又∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴2∠A+2∠B=360°，
即∠A+∠B=180°，
∴ AD∥ BC.
同理得 AB∥ CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定定理2：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
符号语言：
∵ ∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形.
例2 如图，四边形ABCD中，AB∥ DC，∠B＝55°，∠1＝85°，
∠2＝40°.
（1）求∠D的度数；
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．
(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，
∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°.
例2 如图，四边形ABCD中，AB∥ DC，∠B＝55°，∠1＝85°，
∠2＝40°.
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．
(2)证明：∵AB∥ DC，∴∠2＝∠CAB，
∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°.
∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，
∴∠DCB＝∠DAB＝125°.
又∵∠D＝∠B＝55°，
∴四边形ABCD是平行四边形．
逆命题3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
已知：如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA=OC，
OB=OD. 求证： 四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD (SAS)，
∴ ∠OAB=∠OCD ,
∴AB∥ CD ,
同理 AD∥ BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
A
D
C
B
O
平行四边形的判定定理3：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
符号语言：
∵ OA=OC，OB=OD ，
∴四边形ABCD是平行四边形.
例3 如图， ABCD 的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，并且AE = CF. 求证：四边形BFDE是平行四边形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AO = CO，BO = DO.
∵ AE = CF，
∴ AO - AE = CO - CF，即 EO = FO.
又 BO = DO，
∴ 四边形 BFDE 是平行四边形.
你还有其他证明方法吗？
证明：如图所示，
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以 AB = CD，AB ∥ CD，
所以 ∠BAE = ∠DCF.
在△BAE和△DCF中，
因为AB = CD，∠BAE = ∠DCF，AE = CF，
所以△BAE≌△DCF (SAS)，
所以 BE = DF.
例3 如图， ABCD 的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，并且AE = CF. 求证：四边形BFDE是平行四边形.
同理可得 BF = DE，
所以四边形BFDE是平行四边形.
随堂练习
04
1.根据下列条件,不能判定四边形为平行四边形的是 ( )
A.两组对边分别相等
B.两条对角线互相平分
C.两条对角线相等
D.两组对边分别平行
C
2.如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O.
如果AC=8cm，BD=10cm，
那么当AO=_____cm，BO=_____cm时，
四边形ABCD是平行四边形.
4
5
3.如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠CBD，∠C+∠ABC=180°，
四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由.
A
D
C
B
解：四边形 ABCD 是平行四边形.
理由：∵ ∠ADB = ∠CBD，∴ AD ∥ BC.
∵ ∠C + ∠ABC = 180°，∴ AB ∥ CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
4.如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF.
图中有哪些互相平行的线段？
解：因为 AB = DC， AD=BC ，
所以四边形 ABCD 是平行四边形.
因为 DC = EF，DE = CF，
所以四边形 DCFE 是平行四边形，
所以 AD ∥ BC，DE ∥ CF，AB ∥ DC ∥ EF.
A
B
D
C
E
F
5. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且E，F分别是 OA，OC 的中点，连接 DE，DF，BE，BF.
求证：四边形DEBF是平行四边形.
D
A
C
B
E
O
F
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD.
又 E，F 分别是 OA，OC 的中点，
∴ OE = OF，
∴ 四边形 DEBF 是平行四边形.
课堂小结
05
平行四边形的判定定理
定义法:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
21.2 平行四边形
21.2.2平行四边形的判定
第二课时
第二十一章 四边形
人教版数学八年级下册
目录
学习目标
03
01
02
04
课堂导入
新知探究
随堂练习
05
课堂小结
学习目标
01
1. 理解 “一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 这一判定定理，能通过逻辑推理证明该定理.
2. 会运用 “一组对边平行且相等” 的判定方法，解决平行四边形相关的证明问题.
新课导入
02
根据平行四边形的定义和它的判定定理可知，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形. 如果只考虑四边形的一组对边，那么它们满足什么条件时这个四边形是平行四边形呢？
新知探究
03
思考 对于平行四边形的一组对边，从它们的位置关系和数量关系考虑，你能得到什么结论？类似于前面利用平行四边形的性质发现平行四边形的判定，你能得到利用一组对边判定一个四边形是平行四边形的方法吗？
性质：
如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等.
进而猜想：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
如图，在四边形ABCD中，AB CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
1
2
证明：连接 AC.
∵ AB ∥ CD，
∴ ∠1 = ∠2.
又 AB = CD，AC = CA，
∴ △ABC≌△CDA.
∴ BC = DA.
又 AB = CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定定理4：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
符号语言：
∵ AD BC，(或 AB CD)
∴四边形ABCD是平行四边形.
例 如图 ，在 ABCD中，E,F分别是AB,CD的中点.
求证 ：DE BF.
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB CD.
又EB = AB，DF = CD，
∴ EB DF.
∴ 四边形 EBFD 是平行四边形.
∴ DE BF.
D F C
A E B
随堂练习
04
1.如图，为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了.你能说出其中的道理吗？
解：因为互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可以判定：两根枕木及两条铁轨组成的四边形是平行四边形，所以两条直铺的铁轨互相平行.
2. 如图，在 ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.求证：四边形 AFCE 是平行四边形.
D
E
C
F
B
A
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD BC，∴ ∠ADE = ∠CBF.
∵ AE ⊥ BD，CF ⊥ BD，
∴ ∠AED = ∠CFB = 90°，
∴ △AED≌△CFB，∴ AE = CF.
∵∠AEF = ∠CFE = 90°，∴ AE ∥ CF，
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形.
3.如图，由六个全等的正三角形拼成的图形中，有多少个平行四边形？为什么？
解：如图所示，有6个平行四边形，分别为 AFOB、 AOEF、 FODE、 COED、 BODC、 ABCO.
理由如下：
由题意知六个三角形是全等的正三角形，
即 AF = OB，OF = AB，
所以四边形 AFOB 是平行四边形.(其他证明略)
4.已知：如图，在 ABCD中，E为BA延长线上一点，F为DC延长线上一点，且AE=CF，连接 BF，DE.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
A
C
D
B
E
F
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥ CD，AB=CD.
又∵AE=CF，
∴BE=BA+AE=DC+CF=DF.
又BE∥ DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
课堂小结
05
平行四边形的判定定理
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
谢谢观看
人教版数学八年级下册

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