资源简介

(共60张PPT)
21.3特殊的平行四边形 21.3.1矩形
第一课时
第二十一章 四边形
人教版数学八年级下册
目录
学习目标
03
01
02
04
课堂导入
新知探究
随堂练习
05
课堂小结
学习目标
01
上一节我们研究了平行四边形，当平行四边形的角、边满足某些特殊条件时，就得到特殊的平行四边形. 本节就来研究这些特殊的平行四边形.
新课导入
02
上一节我们研究了平行四边形，当平行四边形的角、边满足某些特殊条件时，就得到特殊的平行四边形. 本节就来研究这些特殊的平行四边形.
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，矩形也就是长方形.
注意：
矩形是特殊的平行四边形，平行四边形不一定是矩形.
一个角是直角
思考 矩形也是常见的几何图形，生活中你见过哪些矩形的形象？
与研究平行四边形一样，对于矩形，仍重点研究它的性质和判定.
新知探究
03
思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有
性质.但由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形
不具有的一些特殊性质呢？
可以从边，角，对角线等方面来考虑.
活动1 利用一个活动的平行四边形教具演示，使平行四边形的一个内角变化，请同学们注意观察.
矩形
活动2 准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.
(1)请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果.
(2) 根据测量的结果,你有什么猜想？
猜想1：矩形的四个角都是直角.
猜想2：矩形的对角线相等.
B
C
D
A
O
完成证明
AB CD AD BC ∠ABC ∠BCD ∠ADC ∠BAD AC BD
书本
课桌
铅笔盒
已知：如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与BD相交于点O. 求证(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;(2)AC=DB.
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等).
∵ AB∥CD(矩形的对边平行),
∴∠ABC+∠BCD=180°.
又∵∠ABC = 90°,
∴∠BCD = 90°.
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°.
B
C
D
A
O
已知：如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O. 求证(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;(2)AC=DB.
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC(矩形的对边相等).
在△ABC和△DCB中,
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB,
∴△ABC≌△DCB（SAS）.
∴AC=DB.
B
C
D
A
O
矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有的性质有：
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等.
符号语言：
∵四边形 ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°.
∴AC=BD.
B
C
D
A
O
活动3 请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考.矩形是不是轴对称图形 如果是，那么对称轴有几条
矩形的性质：
对称性：
对称轴：
轴对称图形
2条
矩形是轴对称图形，它每组对边中点连线所在的直线就是它的对称轴.
如图，直线l1，l2是矩形ABCD的两条对称轴.
例1 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB= 60°，AB=4，求矩形ABCD的对角线的长.
B
C
D
A
O
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分，
∴OA=OB.
又∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形.
∴OA=AB=4.
∴AC=BD=2OA=8.
跟踪训练 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且
∠AOD=120°.若AB=3，则BC的长为( )
B
C
D
A
O
A. B.3 C.3 D.6
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°,OA=OB=OC.
∵∠AOD=120°,∠AOD+∠AOB=180°,
∴∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OC.
∵AB=3，
∴AC=6，∴BC= = 3.
C
当矩形两条对角线相交所成的角中有一个角是 60°或120°时，矩形中就会含有等边三角形和含30°角的直角三角形.
上一节我们运用平行四边形的判定和性质研究了三角形的中位线，下面利用矩形的性质研究直角三角形的一个性质.
A
B
C
O
思考 BO与AC有什么样的关系？
思考 如图，BO是Rt△ABC斜边AC上的中线， BO与AC有什么关系？你能证明你发现的结论吗？
A
B
C
O
BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，BO= AC.
如何证明BO=AC ？
证明：如图，延长BO至D，使OD=BO，连接AD，DC.
∵AO=OC，BO=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形.
∴BD=AC，
∴BO= BD = AC.
A
B
C
O
D
直角三角形的一个性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
A
B
C
O
符号语言：
在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AO=CO，
∴OB = AC.
依据：矩形的对角线相等且互相平分.
性质的应用：
证明线段的倍、分、相等关系.
性质的逆命题：
“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”仍然成立，它可以用来判定一个三角形为直角三角形.（只可以在选择题或填空题中直接应用）.
例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=( )
A.2 B.3 C.4 D.2
解析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE为
AB边上的中线，CE=5，
∴AE=CE=5. ∵AD=2，∴DE=3.
∵CD为AB边上的高，
∴在Rt△CDE中，CD = = = 4.
C
随堂练习
04
1.矩形有但一般平行四边形没有的性质是 ( )
A.对角线相等 B.对边相等
C.对角相等 D.对角线互相平分
A
2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为( )
A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定
C
3.一个矩形的一条对角线长为8，两条对角线相交所成的角中有一个为 120°.求这个矩形相邻两边的长.
解：如图所示，AC与BD交于点O.
在矩形ABCD中，AC=8，∠1=120°.
∵∠1+∠2=180°，∴∠2=60°.
∵在矩形ABCD中，OA =OB，
∴△AOB为等边三角形，∴AB = OA = AC = ×8 = 4.
在Rt△ABC中，BC===4.
B
C
D
A
O
1
2
4.如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC的延长线上，DE∥AC，△DBE是等腰三角形吗？试说明理由.
B
C
D
A
E
解：△DBE是等腰三角形.
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥CE，AC=BD.
∵DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC=DE，∴BD=DE，
∴△DBE是等腰三角形.
课堂小结
05
四个角都是直角
性质
对角线相等
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
是轴对称图形，有两条对称轴
定义
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形
矩形
21.3特殊的平行四边形 21.3.1矩形
第二课时
第二十一章 四边形
人教版数学八年级下册
目录
学习目标
03
01
02
04
课堂导入
新知探究
随堂练习
05
课堂小结
学习目标
01
1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理．
2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.
新课导入
02
问题1 矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
问题2 矩形有哪些性质？
矩形
边：对边平行且相等.
角：四个角都是直角.
对角线：对角线相等且互相平分.
回顾 我们在研究平行四边形的判定时，用了什么判定方法？
定义法、性质定理的逆命题.
问题 类比平行四边形的判定，如何研究矩形的判定？
定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
性质定理的逆命题：
性质1 矩形的四个角都是直角.
性质2 矩形的对角线相等.
逆命题是否成立？
新知探究
03
思考1 我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的四边形是矩形吗？
若是把“四边形”换成“平行四边形” 成立吗？
即对角线相等的平行四边形是矩形.
证明 如图，在□ABCD中，AC ，DB是它的两条对角线，AC=DB.求证：□ABCD是矩形.
A
B
C
D
证明：∵AB = DC，BC = CB，AC = DB，
∴ △ABC≌△DCB ，
∴∠ABC = ∠DCB.
∵AB∥CD，
∴∠ABC + ∠DCB = 180°，
∴ ∠ABC = 90°，
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）.
矩形的判定1：
对角线相等的平行四边形是矩形.
符号语言：
如图，在□ ABCD中，∵AC=BD,
∴ □ ABCD是矩形.
A
B
C
D
工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等. 你知道其中的道理吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
思考2 我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？
思考 如何证明这一猜想？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有二个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
A
B
D
C
(有四个角是直角)
证明 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，
∴AD∥ BC，AB∥ CD.
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
矩形的判定2：
有三个角是直角的四边形是矩形.
符号语言：
在四边形ABCD中，
∵∠A=∠B=∠C=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
例1 如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形．
分析：根据已知条件，容易证明四边形EFGH的一个内角∠F为直角，同理可证∠H，∠AEB也为直角，从而证明四边形EFGH是矩形.
A
B
D
C
G
F
E
H
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°.
又AF，DF分别平分∠BAD，∠ADC，
∴∠DAF+∠ADF = ∠BAD+ ∠ADC = (∠BAD+∠ADC)=90°，
∴∠F=90°.同理∠H=∠AEB=90°，
∴ ∠FEH= ∠AEB =90°.
∴四边形EFGH为矩形.
例1 如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形EFGH为矩形．
A
B
D
C
G
F
E
H
跟踪训练 如图，在△ABC中，AB=BC， BD平分∠ABC. 四边形ABED是平行四边形， DE交BC于点F，连接CE.
求证：四边形BECD是矩形.
四边形
有三个角是直角
平行四边形
矩形
矩形
有一个角
是直角
对角线
相等
判定一个四边形是矩形的思路：
跟踪训练 如图，在△ABC中，AB=BC， BD平分∠ABC. 四边形ABED是平行四边形， DE交BC于点F，连接CE.
求证：四边形BECD是矩形.
证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD=CD.
∵四边形ABED是平行四边形，
∴BE//AD，BE=AD，
∴BE=CD，
∴四边形BECD是平行四边形.
∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，
∴四边形BECD是矩形.
等腰三角形“三线合一”
有一个角是直角的平行四边形是矩形
随堂练习
04
1. 要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是( )
A.测量两条对角线是否相等
B.度量两个角是不是90°
C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D.测量两组对边是否分别相等
C
由已知不能判定四边形为平行四边形，更不能判定为矩形.
两条对角线的交点到四个顶点的距离相等，则两条对角线互相平分且相等，所以四边形为矩形.
两组对边分别相等，可判定四边形为平行四边形，但不一定是矩形
2.求证：四个角都相等的四边形是矩形.
证明：如图所示，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵∠A=∠B=∠C=∠D，且∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
3.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=2. 求□ABCD的面积.
解：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以OA = AC，OB = BD.
因为△OAB是等边三角形，
所以OA=OB=AB，∠BAO=60°，所以AC=BD，
所以□ABCD是矩形，所以∠ABC=90°.
在Rt△ABC中,因为∠BAO=60°,所以∠ACB=30°，
所以AC=2AB=2×2=4.
所以BC==2，所以S□ABCD=AB·BC=2×2=4.
O
A
B
C
D
4.如图，在△ABC中，AB=AC. D，E分别是线段BC，AD的中点，
过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF.
求证：四边形ADCF是矩形.
B
C
D
A
F
E
证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE.
∵E是线段AD的中点，∴AE=DE.
又∵∠AEF=∠DEB，∴△BDE≌△FAE(AAS)，
∴AF=BD.
∵D是线段BC的中点，∴BD=CD，∴AF=CD.
又∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形.
∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，∴平行四边形ADCF是矩形.
课堂小结
05
矩形的
判定定理
有一个角是直角的平行四边形
有三个角是直角的四边形
对角线相等的平行四边形
谢谢观看
人教版数学八年级下册

展开更多......

收起↑