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21.3特殊的平行四边形21.3.3正方形
第一课时
第二十一章 四边形
人教版数学八年级下册
目录
学习目标
03
01
02
04
课堂导入
新知探究
随堂练习
05
课堂小结
学习目标
01
1.理解正方形的概念.
2.探索并证明正方形的性质定理，理解平行四边形、矩形、菱形之间的包含关系，体会平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系与区别.
3.会运用正方形的性质定理进行证明和计算，提升推理能力.
新课导入
02
矩形是由平行四边形怎样变化得到？
菱形是由平行四边形怎样变化得到？
边的变化：
平行四边形
菱形
一组邻边相等
角的变化：
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
正方形怎么得到呢？
新知探究
03
平行四边形
正方形
有一组邻边相等
有一个角是直角
定义：有一组邻边相等，而且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.
矩形怎样变化后成了正方形呢
菱形怎样变化后成了正方形呢
一组邻边相等
矩形
菱形
有一个角
是直角
正方形
正方形
正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
探究 从正方形的边、角、对角线和它的轴对称性出发，写出正方形的性质，并证明其中的一些结论.
边：对边__________，四条边__________.
角：四个角都是__________.
对角线：对角线_____________________，每条对角线平分一组对角.
对称性：正方形是轴对称图形，有___条对称轴.
平行
相等
直角
互相垂直平分且相等
四
已知：四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四条边相等，四个角都是直角.
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=AD （正方形的定义）.
又∴正方形是平行四边形，
∴正方形是矩形（矩形的定义）,
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°，AB= BC=CD=AD.
A
B
C
D
已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.
求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.
证明：∵正方形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD.
A
B
C
D
O
分类 性质 符号语言
边 对边平行， 四条边都相等. ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD∥BC，AB∥CD，AB = AD = CD = BC.
角 四个角都是直角. ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ABC = ∠BCD = ∠ADC = ∠BAD = 90°
对 角 线 对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角. ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AC⊥BD，OA = OC = OB = OD，
∠BAC = ∠DAC = ∠ABD = ∠CBD = ∠BCA = ∠ACD = ∠CDB = ∠ADB = 45°.
分类 性质 符号语言
对 称 性 正方形是轴对称图形，有四条对称轴. 直线AC，BD，m，n均是正方形的对称轴.
例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.
求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等
的等腰直角三角形.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是正方形,
∴AC=BD，AC⊥BD，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°，
AO=BO=CO=DO.
∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角正形，
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.
求证：△ABO,△BCO,△CDO,△DAO是全等的等腰直角三角形.
A
B
C
D
O
解析：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD,∠BAD=∠B=∠D=90°.
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，∴∠BAE=∠DAF.
∵∠EAF=30°，∠BAD=90°，∴∠BAE=30°，∠AEB=60°.
跟踪训练 如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，
AE=AF，∠EAF=30°，则∠AEB=_____°；若△AEF的面积等于1，则AB的长是______.
60
解析：如图，过点E作EG⊥AF于点G.
∵∠EAF=30°,∴EG = AE.
∵△AEF的面积等于1，AE=AF,
∴AF·EG = AE2 =1，∴AE=2.
∵∠B=90°,∠BAE=30°,∴BE= AE=1，∴AB==.
跟踪训练 如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，
AE=AF，∠EAF=30°，则∠AEB=_____°；若△AEF的面积等于1，则AB的长是______.
60
已知面积，找底和高
G
思考 正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一下，并列表或画框图表示这些关系.
平行四边形
矩形
菱形
正方形
有一组邻边相等
(或对角线互相垂直)
有一个角是直角
(或对角线相等)
有一个角是直角
(或对角线相等)
有一组邻边相等
(或对角线互相垂直)
有一组邻边相等，有一个角是直角（定义）
四边形的包含关系：
平行四边形、梯形是特殊的四边形，
矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形，
其中正方形是特殊的矩形、菱形.
思考 正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一下，并列表或画框图表示这些关系.
平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比
类型 平行四边形 矩形 菱形 正方形
边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都是直角 四个角都是直角
对角线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直
对称性 共性 轴对称图形 特性 2条对称轴 2条对称轴 4条对称轴
随堂练习
04
1.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，
则∠EBC的度数是_______.
22.5°
A
D
B
C
O
E
解析：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°.
∵E是对角线AC上一点，且AE=AB ，
∴∠ABE=∠AEB=67.5°.
∵∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠EBC=22.5°.
2.(1)把一张矩形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，
为什么？
(2)如何从一块矩形木板中裁出一块面积最大的正方形木板呢？
提示：(1)由对称性和平行线的性质可得是菱形.又有一角是直角，因此是正方形.
(2)一块矩形木板，在其长边上截取短边长，再作平行于短边的直线即可.
3.如图，一块正方形场地的四个顶点分别是A,B,C,D.李明和张华在
边AB上取了一点E，EC=30m，EB=10m，这块场地的面积和对角
线长分别是多少？
A
D
B
C
E
解：在Rt△BEC中，BC===20(m)，
故场地的面积为BC2=800 m2.
对角线长为==40 (m).
所以这块场地的面积为800m2，对角线长为40m.
4.如图，一个正方形草坪的四个顶点分别是A,B, C,D.要修建BE和AF两条路，使点E，F分别在边AD，CD上，且DE=CF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
A
D
B
C
E
F
解：这两条路等长，即AF=BE，且AF⊥BE.
理由如下：设AF与BE交于点P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC，∠BAD=∠ADF=90°.
又DE=CF，∴AE=DF,
P
4.如图，一个正方形草坪的四个顶，点分别是A,B, C,D.要修建BE和AF两条路，使点E，F分别在边AD，CD上，且DE=CF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
A
D
B
C
E
F
∴△ABE≌△DAF(SAS)，
∴BE=AF，∠AEB=∠DFA，
∴∠DAF+∠AEB=∠DAF+∠DFA=90°，
∴∠APE=90°，即AF⊥BE.
P
课堂小结
05
性质
边：对边平行，四条边都相等
对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称轴
角：四个角都是直角
对角线：对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
正方形
定义
有一组邻边相等，而且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.
21.3特殊的平行四边形21.3.3正方形
第二课时
第二十一章 四边形
人教版数学八年级下册
目录
学习目标
03
01
02
04
课堂导入
新知探究
随堂练习
05
课堂小结
学习目标
01
1.经历正方形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握正方形的判定定理．
2.能应用正方形的判定解决简单的证明题和计算题.
新课导入
02
问题1 正方形的定义是什么？
有一组邻边相等,而且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.
问题2 正方形与菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，其中正方形也是特殊的矩形、菱形.
思考 矩形得满足什么条件才能变成正方形？菱形呢？
矩形
菱形
正方形
有一个角是直角
(或对角线相等)
有一组邻边相等
(或对角线互相垂直)
要判定一个四边形是正方形，可以先判定它是矩形，再判定这个矩形也是菱形；或者先判定它是菱形，再判定这个菱形也是矩形.
新知探究
03
思考 分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，写出正方形的判定方法，并与同学交流你的结论.
探究1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，观察边、角、对角线，推测满足怎样条件的矩形是正方形？
思考 如何证明你的猜想？
一组邻边相等
对角线互相垂直
证明：有一组邻边相等的矩形是正方形.
已知：四边形ABCD是矩形，且AB=BC.
求证：四边形ABCD是正方形.
A
D
C
B
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°.
又∵ AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形（正方形的定义）.
证明： 对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：如图,在矩形ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC⊥DB .
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形.
∴AO=CO=BO=DO，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB，
∴AD=AB,
∴四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
从矩形出发：
(1)有一组邻边相等的矩形是正方形;
(2)对角线互相垂直的矩形是正方形.
一组邻边相等
对角线互相垂直
探究2 准备一个可以活动的菱形框架，改变角的大小，得到一个正方形，观察边、角、对角线，推测满足怎样条件的菱形是正方形？
思考 如何证明你的猜想？
有一个角是直角
对角线相等
证明： 有一个角是直角的菱形是正方形.
已知：四边形ABCD 是菱形， ∠A=90°.
求证：四边形ABCD 是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是平行四边形，AB=BC.
又∵ ∠A=90°，
∴四边形ABCD是正方形（正方形的定义）.
A
D
C
B
证明： 对角线相等的菱形是正方形.
已知：如图，在菱形ABCD中，AC , DB是它的两条对角线，AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形.
∴AB=BC，AC⊥DB.
∵AC=DB, ∴AO=BO=CO,
∴△AOB,△BOC是等腰直角三角形.
∴∠ABC=90°.
∴四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
从菱形出发：
(1)有一个角是直角的菱形是正方形；
(2)对角线相等的菱形是正方形.
有一个角是直角
对角线相等
从平行四边形出发：
证明有一个内角是直角，有一组邻边相等. (定义法)
平行四边形
一组邻边相等
一个内角是直角
正方形
思考 从四边形出发呢？
四边形
平行四边形
矩形
正方形
菱形
两组对边分别平行
(或两组对边分别相等或一组对边平行且相等)
两条对角线互相平分
两组对角分别相等
有一个角是直角(或对角线相等)
有一组邻边相等
(或对角线互相垂直)
有一组邻边相等，有一个角是直角（定义）
有一组邻边相等
(或对角线互相垂直)
有一个角是直角
(或对角线相等)
有三个角是直角
四条边都相等
例 如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，
且AE=BF=CG=DH. 求证：四边形EFGH是正方形．
分析：要证明四边形EFGH是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由 △AEH，△BFE，△CGF，△DHG全等得出.
A
B
C
D
H
G
F
E
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA.
又AE=BF=CG=DH，∴EB=FC=GD=HA.
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.
∴HE=EF=FG=GH. ∴四边形EFGH是菱形.
∵△AEH≌△BFE，∴∠2=∠3.
又∠1+∠2=90°，∴∠1+∠3=90°.
∴∠HEF=180(∠1+∠3)=90°,
∴四边形EFGH是正方形.
A
B
C
D
H
G
F
E
解析：①②组合：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
又∵AC=BD，
∴菱形ABCD是正方形.(对角线相等的菱形是正方形)
跟踪训练 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.小乐
同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC=BD；③∠ADC=90°.则正确的组合是_______________(只需填一种组合即可).
①③组合：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形.
又∵∠ADC=90°，
∴菱形ABCD是正方形.(有一个角是直角的菱形是正方形)
跟踪训练 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.小乐
同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可
供选择：①AC⊥BD；②AC=BD；③∠ADC=90°.
则正确的组合是_______________(只需填一种组合即可).
①②或①③
随堂练习
04
1.满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？
(1)对角线互相垂直且相等的平行四边形；
(2)对角线互相垂直的矩形；
(3)对角线相等的菱形；
(4)对角线互相垂直平分且相等的四边形.
判定一个四边形是正方形的思路
思考角度 证明思路
边 矩形+一组邻边相等→正方形.
角 菱形+一个角是直角→正方形.
对角线 矩形+对角线互相垂直→正方形.
菱形+对角线相等→正方形.
平行四边形+对角线相等且互相垂直→正方形.
四边形+对角线相等且互相垂直平分→正方形.
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC, DF⊥AC，垂足分别为E，F. 求证：四边形CEDF是正方形.
证明：∵∠ACB=90°，DE⊥BC，DF⊥AC,
∴四边形CEDF是矩形.
又∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴矩形CEDF是正方形.
A
B
C
D
F
E
3.王芳在商场看中一条丝巾，她不确定其是不是正方形样式，于是售货员拿起丝巾拉起一组对角把丝巾对折（如图所示），让王芳看丝巾是否完全重合，见她还有些犹豫，售货员又拉起另一组对角把丝巾对折，让她看丝巾是否也完全重合，王芳发现这两次都重合，就买下了这条丝巾，你认为王芳买的这条丝巾是正方形样式吗？为什么？
3解：这条丝巾不一定是正方形样式.
理由：根据售货员的方法，只能说明这条丝巾的两组对角分别相等，四条边都相等，也就是说这条丝巾的两条对角线所在直线是对称轴，这只能保证这条丝巾是菱形，并不能保证它是正方形.
因为正方形的对称轴共有四条，除了两条对角线所在直线外，还有两条是对边中点的连线所在的直线，所以只要拉起一组对边的中点将这条丝巾对折，看另一组对边是否重合，若另一组对边不能重合，那么此丝巾不是正方形；若另一组对边能重合，那么此丝巾一定是正方形.
解：（1）能．理由如下：
∵DF∥AC，EF∥AB，
∴四边形ADFE是平行四边形.
∵AF平分∠BAC,∴∠EAF=∠FAD.
∵AE∥DF，∴∠EAF=∠DFA，∴∠FAD=∠DFA，∴DF=DA，∴四边形ADFE是菱形.
4.△ABC中，DF∥AC，EF∥AB，AF平分∠BAC．
(1) 你能判断四边形ADFE是菱形吗？并说明理由．
解：（2）当∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形.
∵四边形AEDF是菱形，∠BAC=90°，
∴四边形ADFE是正方形．
4.△ABC中，DF∥AC，EF∥AB，AF平分∠BAC．
(2) ∠BAC满足什么条件时，四边形ADFE是正方形？并说明理由．
课堂小结
05
正方形的判定
从平行四边形出发
从矩形出发
从菱形出发
一组邻边相等+一个角是直角
矩形+一组邻边相等
矩形+对角线互相垂直
菱形+有一个角是直角
菱形+对角线相等
谢谢观看
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