资源简介

(共93张PPT)
23.2 一次函数的图象和性质
第一课时
第二十三章 一次函数
人教版数学八年级下册
目录
学习目标
03
01
02
04
课堂导入
新知探究
随堂练习
05
课堂小结
学习目标
01
1.会用描点法画正比例函数的图象，能根据正比例函数的图象理解正比例函数的性质.
2.能灵活运用正比例函数的图象与性质解答有关问题.
新课导入
02
问题1 正比例函数的定义是什么？
形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫作正比例函数.
问题2 如何用描点法画函数的图象？
列出部分自变量的值及其对应的函数值.
列表
在平面直角坐标系中,以自变量的值为横坐标，对应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点.
描点
把所描出的各点用平滑曲线连接起来.
连线
新知探究
03
例1 分别画出下列正比例函数的图象
(1)y=2x，y=x；(2)y=-1.5x，y=-4x.
解：(1)函数y=2x的图象.
列表自变量x可为任意实数，选取y与x的几组对应值.
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -4 -2 0 2 4 …
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -4 -2 0 2 4 …
描点在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点.
连线将这些点连接起来.
得到一条经过原点和第三、第一象限的直线.
它就是函数y=2x的图象.
y=2x
用同样的方法，得到函数y=x的图象.
x … －2 －1 0 1 2 …
y … 0 …
y=x
y=x的函数图象也是一条经过原点和第三、第一象限的直线.
(2)函数y=-1.5x的图象.
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 3 1.5 0 -1.5 -3 …
y=-1.5x
列表——描点——连线.
y=-1.5x的函数图象是一条经过原点和第二、第四象限的直线.
用同样的方法，得到函数y=-4x的图象.
x … -1 0 1 …
y … 4 2 0 -2 -4 …
y=-4x的函数图象也是一条经过原点和第二、第四象限的直线.
y=-4x
跟踪训练 在同一平面直角坐标系中画出正比例函数y=x，y=3x，
y=-x，y=-2x的图象，并回答下列问题：
(1)上述四个函数中，y的值随着x值的增大而增大的是哪些？y的值随着x值的增大而减小的是哪些？
解：(1)函数图象如图所示.
y的值随着x值的增大而增大的函数是y=x和y=3x；y的值随着x值的增大而减小的函数是y=-x和y=-2x.
跟踪训练 在同一平面直角坐标系中画出正比例函数y=x，y=3x，
y=-x，y=-2x的图象，并回答下列问题：
(2)点(-10，5)在正比例函数____________的图象上.
(3)若点(a,2a+4)在函数y=-2x的图象上，求a的值.
y=﹣x
把点的坐标代入函数解析式，若满足函数解析式，则该点在此函数图象上，否则该点不在此函数图象上.
解：(3)因为点(a,2a+4)在函数y=-2x的图象上，
所以2a+4=-2a，
解得a=-1.
观察上述4个函数图象，你发现了什么？
1
2
3
-1
-2
-3
O
2
4
-2
-4
x
y
y=2x
y=x
1
2
3
-1
-2
-3
O
2
4
-2
-4
x
y
y=-1.5x
y=-4x
以上4个函数的图象都是经过原点的直线，其中函数y=2x和y=x的图象经过第三、第一象限，从左向右上升；函数y=-1.5x和y=-4x的图象经过第二、第四象限，从左向右下降.
正比例函数的图象
一般地，正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线.我们称它为直线y=kx.
y=2x
y=x
y=-1.5x
y=-4x
思考 由正比例函数的图象是一条直线，你能想到画正比例函数图象的简单方法吗？
已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过原点的直线，所以只要再确定正比例函数图象上一点，就可以画出正比例函数的图象.一般地，这一点可以取点(1,k)这个特殊点.
因此可用两点法画正比例函数的图象.
两点确定一条直线
正比例函数的性质
当k>0时，直线y=kx经过第三、第一象限，从左向右上升，即y随x的增大而增大；
当k<0时，直线y=kx经过第二、第四象限，从左向右下降，即y随x的增大而减小.
例2 已知函数y＝3x的图象经过点A(－1，y1)，点B(－2，y2)，
则y1_______y2(填“＞”“＜”或“＝”)．
＞
解析：方法一：把点A、点B的坐标分别代入函数y＝3x，求出y1，y2的值比较大小即可．
方法二：画出正比例函数y＝3x的图象，如图，观察图象，可得y1＞y2.
方法三：根据正比例函数的性质，当k＞0时，y随x的增大而增大，可得y1＞y2.
跟踪训练 若正比例函数y=(1-2m)x的图象经过点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，当x1y2，则m的取值范围是( )
A.m<0 B.m>0 C.m< D.m>
解析：根据题意知，y随x的增大而减小，
所以1-2m<0，
所以m>.
D
随堂练习
04
1.用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
(1)y=x；(2)y=-6x.
解：(1)过原点和点(1，)作直线.
(2)过原点和点(1，-6)作直线.
y=-6x
1
2
3
-1
-2
-3
O
2
4
-2
-4
x
y
-6
y=x
2.若点(2，m)和点(-3，n)都在函数y=kx (k＜0)的图象上，试比较m，n的大小.
解：∵k<0，
∴y随x的增大而减少.
∵2>-3，
∴m3. 若正比例函数 y=(1－2m)x的图象经过第一、第三象限，
则m的取值范围是__________.
m<
解析：∵图象经过第一、第三象限，
∴1－2m>0，即m<
4.关于函数y＝－2x，下列判断正确的是( )
A．图象经过第一、三象限
B．y随x的增大而增大
C．若(x1，y1)，(x2，y2)是该函数图象上的两点，
则当x1y2
D．不论x为何值，总有y<0
C
课堂小结
05
正比例函数
图象
一条经过原点的直线
①k＞0，经过第三、第一象限，y随着x的增大而增大
②k＜0，经过第二、第四象限，y随着x的增大而减小
画法
性质
描点法：列表-描点-连线
两点法：过原点和点(1,k)作直线
23.2 一次函数的图象和性质
第二课时
第二十三章 一次函数
人教版数学八年级下册
目录
学习目标
03
01
02
04
课堂导入
新知探究
随堂练习
05
课堂小结
学习目标
01
1.会画一次函数的图象，能根据一次函数的图象理解一次函数的性质.
2.能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问题.
新课导入
02
问题1 一次函数的定义是什么？
形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫作一次函数.
问题2 一次函数与正比例函数的关系？
正比例函数是特殊的一次函数.
思考 我们知道正比例函数是特殊的一次函数，正比例函数的图象是一条经过原点的直线，那么一次函数的图象是否也是一条直线？是否也经过原点？一次函数的图象又具有哪些性质呢？
新知探究
03
例1 画出函数y=-3x与y=-3x+1的图象.
解：函数y=-3x与y=-3x+1中的自变量x可为任意实数.
列表，表示几组对应值.
x … -1 -0.5 0 0.5 1 …
y=-3x … 3 1.5 0 -1.5 -3 …
y=-3x+1 4 2.5 1 -0.5 -2
描点、连线，画出函数y=-3x与y=-3x+1的图象.
y=-3x
y=-3x+1
比较两个函数图象的相同点与不同点，你发现了什么？
函数y=-3x的图象经过原点，函数y=-3x+1的图象与y轴交于点______，即它可以看作由直线y=-3x向____平移_____个单位长度而得到.
y=-3x
y=-3x+1
探究1 根据观察结果填写：
这两个函数的图象形状都是______，并且倾斜程度_______.
直线
相同
(0,1)
上
1
思考 比较两个函数解析式，你能说出两个函数的图象有上述关系的道理吗？
解：这两个函数的图象有上述关系是因为k相同，b不同.
y=-3x
y=-3x+1
思考 联系观察结果，考虑一次函数y=kx+b (k≠0)的图象是什么形状，它与直线y=kx (k≠0)有什么关系.
y=-3x
y=-3x+1
比较一次函数y=kx+b(k≠0)与正比例函数y=kx(k≠0)的解析式，容易得出：
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可以由直线y=kx平移|b|个单位长度得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象也是一条直线，我们称它为直线y=kx+b.
思考 已知一次函数的图象是一条直线，且可以由正比例函数的图象平移得到，你能想到画一次函数图象的简单方法吗？
①两点法：因为两点确定一条直线，所以一般选取直线y=kx+b(k≠0)与两坐标轴的交点，即(0，b)与(﹣，0)画直线.也可取横、纵坐标均为整数的点.
②平移法：y=kx+b(k≠0)的图象可由y=kx(k≠0)的图象通过向上(b＞0)或向下(b＜0)平移得到.
与y轴的交点
x=0，y=b
与x轴的交点
y=0，x=﹣
例2 画出函数y=2x-1与y=-0.5x+1的图象.
分析：由于一次函数的图象是直线，所以只要确定两个点就能画出.
解：列表表示当x=0，x=1时两个函数的对应值.
x 0 1
y=2x-1 -1 1
y=-0.5x+1 1 0.5
y=-0.5x+1
y=2x-1
过点(0,-1)与(1,1)画出直线y=2x-1；
过点(0,1)与(1,0.5)画出直线y=-0.5x+1.
先画直线y=2x与y=-0.5x，再分别平移它们，也能得到直线y=2x-1与y=-0.5x+1.
跟踪训练 画出函数y=x与y=x+2的图象.
x -4 0
-2 0
0 2
解：(1)两点法.
(2)平移法：先画y=x的图象，再将图象向上平移2个单位长度，直接得出y=x+2的图象.
思考 学习正比例函数时，我们通过画k的符号不同的若干具体函数图象，观察发现了函数性质与系数k的符号的关系，在一次函数中我们是否也能这么研究？
探究2 画出函数y=x+1，y=-x+1，y=2x+1，y=-2x+1的图象，观察这些直线，总结它们从左向右上升或下降的规律.
当k>0时，直线y=kx+b从左向右上升；
当k<0时，直线y=kx+b从左向右下降.
思考 一次函数的解析式y=kx+b(k，b是常数，k≠0)中，k的正负对函数图象有什么影响？你能进而归纳一次函数的性质吗？
一次函数y=kx+b(k，b是常数，k≠0)具有如下性质：
当k＞0时，y随x的增大而增大；
当k＜0时，y随x的增大而减小.
思考 b的值与一次函数的增减性有关吗？
固定k的值，让b的值变化，观察图象：
发现函数的增减性不变，
即一次函数的增减性只与k的正负有关，
而一次函数的图象与y轴交点的位置与b值有关.
一次函数 y=kx+b (k，b是常数，k≠0) k，b的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＜0 b=0 b＞0 b＜0 b=0
图象
增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 正半轴 负半轴 原点
经过的象限 三、二、一 三、四、一 三、一 二、一、四 二、三、四 二、四
例3 对于函数y=﹣x+1，下列结论正确的是( )
A.它的图象不经过第四象限
B. y随x的增大而增大
C.它的图象必经过点(0,1)
D.它的图象必经过点(0,2)
C
问题 坐标系中点的平移规律是什么？
“上加下减，左减右加”
思考 一次函数图象的平移规律与点的平移规律一样吗？
探究3 观察直线y=kx+b(k≠0)平移前后的位置，总结一次函数图象的平移规律.
①向上平移m个单位长度，
平移后的解析式为_____________.
②向下平移m个单位长度，
平移后的解析式为_____________.
y=kx+b+m
y=kx+b-m
①向左平移m个单位长度，
平移后的解析式为_____________.
②向右平移m个单位长度，
平移后的解析式为_____________.
y=k(x+m)+b
y=k(x-m)+b
上加下减，左加右减
探究3 观察直线y=kx+b(k≠0)平移前后的位置，总结一次函数图象的平移规律.
拓展 同一平面直角坐标系中两直线l1:y=k1x+b1(k1≠0)，
l2:y=k2x+b2(k2≠0)的位置关系.
k1≠k2 l1与l2相交
k1≠k2，b1=b2 l1与l2相交于y轴上的同一点
k1=k2，b1≠b2 l1∥l2
k1·k2=-1
例4 将直线y＝3x向下平移2个单位长度，所得直线的解析式为(　　)
A．y＝3x＋2
B．y＝3x－2
C．y＝－3x＋2
D．y＝－3x－2
B
跟踪训练
(1)将直线y=-6x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为__________.
(2)在平面直角坐标系中，将函数y=2x的图象向右平移3个单位长度，所得函数的解析式为_________.
y=-6x-2
y=2x-6
随堂练习
04
1.直线y=2x-3与x轴交点坐标为_______，与y轴交点坐标为______，经过__________________象限，y随x的增大而______.
增大
(,0)
(0,-3)
第三、第四、第一
解析：令y=0，则2x-3=0，x=；令x=0，则y=-3.
直线与x轴的交点坐标为(，0)，
与y轴的交点坐标为(0，-3).
y=2x-3的图象经过第三、第四、第一象限，y随x的增大而增大.
2.分别在同一平面直角坐标系中画出(1)(2)中各函数的图象，并指出每小题中三个函数的图象有什么关系.
(1) y=x-1，y=x，y=x+1；
(2) y=-x-1，y=-x-1，y=-2x-1.
解：(1)如图所示，它们的图象互相平行.
解：(2)如图所示，它们的图象都经过点(0,-1).
2.分别在同一平面直角坐标系中画出(1)(2)中各函数的图象，并指出每小题中三个函数的图象有什么关系.
(1) y=x-1，y=x，y=x+1；
(2) y=-x-1，y=-x-1，y=-2x-1.
3.已知一次函数y=4x+7，当x>2时，利用函数的性质，求函数值y的取值范围.
解：∵4>0，
∴y随x的增大而增大.
当x=2时，y=4×2+7=15，
∴当x>2时，y>15.
4.一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象如图所示，则k，b的取值范围是(　　)
A．k>0，b>0
B．k<0，b>0
C．k>0，b<0
D．k<0，b<0
C
5.已知直线y＝(1－3k)x＋2k－1.
(1)k为何值时，直线与y轴交点的纵坐标是－2？
(2)k为何值时，直线经过第二、三、四象限？
解：(1)∵直线与y轴交点的纵坐标是－2，即当x＝0时，y＝－2，
∴2k－1＝－2，解得k＝.
(2)∵直线经过第二、三、四象限，
∴解得＜k＜．
课堂小结
05
一次函数
图象
一条直线
k>0：b>0，经过第一、二、三象限；
b<0，经过第一、三、四象限.
k<0：b>0，经过第一、二、四象限；
b<0，经过第二、三、四象限.
画法
性质
①两点法；②平移法.
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
23.2 一次函数的图象和性质
第三课时
第二十三章 一次函数
人教版数学八年级下册
目录
学习目标
03
01
02
04
课堂导入
新知探究
随堂练习
05
课堂小结
学习目标
01
1.会用待定系数法求一次函数的解析式，会求分段函数的解析式以及确定自变量的取值范围.
2.能用一次函数解决简单的实际问题，发展模型观念和应用意识.
新课导入
02
思考 反过来，已知一个一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗？
两点法——两点确定一条直线.
问题 我们已经学习了一次函数的图象和性质，已知一个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)，如何画出它的图象呢？
新知探究
03
分析：求一次函数y=kx+b的解析式，关键是求出k，b的值.从已知条件可以列出关于k，b的二元一次方程组，进而求出k，b.
因为图象过(2,-4)与(-3,11)两点，所以这两点的坐标必满足解析式.
例1 已知一次函数的图象过点(2，-4)与(-3，11)，求这个一次函数的解析式.
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)，
因为y=kx+b的图象过点过(2，-4)与(-3，11)，所以
解这个方程组，得
因此，这个一次函数的解析式为y=3x+2.
例1 已知一次函数的图象过点(2，-4)与(-3，11)，求这个一次函数的解析式.
像这样，先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法.
需要几个条件求待定系数？
由于一次函数y=kx+b中有k和b两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k和b为未知数）.
在正比例函数y=kx中，只有一个待定系数k，只要知道除(0,0)外的一个条件即可求出k的值.
用待定系数法求一次函数解析式的步骤
①设：设出一次函数的解析式y=kx+b(k≠0).
②列：将已知的两组x,y的对应值分别代入所设的解析式中，列出关于k,b的二元一次方程组.
③解：解所列的方程组，求出k,b的值.
④写：写出所求一次函数的解析式.
跟踪训练 已知一次函数的图象经过点(3，-3)与(，0)，求这个一次函数的解析式.
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0).
∵y=kx+b的图象过点(3,-3)与(,0)，
∴ 解得
∴这个一次函数的解析式为y=﹣x＋1.
设
列
解
写
例2 一位记者乘坐汽车赴360km外的乡村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路.汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y(单位：km)与时间x(单位：h)之间的关系如图所示.
(1)求汽车行驶的路程y关于时间x的函数解析式；
(2)记者出发后多长时间到达采访地？
(1)求汽车行驶的路程y关于时间x的函数解析式；
(2)记者出发后多长时间到达采访地？
分析：问题中汽车行驶的速度不是固定不变的，它与行驶的时间范围有关.
当0≤x≤2时，汽车行驶的速度较快；
当x>2时，汽车行驶的速度较慢.
因此，求函数解析式时应对0≤x≤2和
x>2两个时段分别讨论.
(1)求汽车行驶的路程y关于时间x的函数解析式；
解：当0≤x≤2时，函数图象是经过原点和点A的直线的一部分，
设函数的解析式为y=k1x.
因为它的图象过点A(2,180)，
所以180=2k1，解得k1=90.
因此，当0≤x≤2时，函数的解析式为y=90x.
当x>2时，函数图象是经过A，B两点的直线的一部分. 我们求出直线AB所对应的一次函数的解析式. 设这个一次函数的解析式为y=k2x+b2，把点A,B的坐标分别代入y=k2x+b2，
得
解这个方程组，得
因此，当x>2时，函数的解析式为y=60x+60.
综上，当0≤x≤2时，y=90x；
当x>2时，y=60x+60.
解：由图象可知，当y=360时，x>2.
由360=60x+60，解得x=5.
因此，记者在出发5h后到达采访地.
(2)记者出发后多长时间到达采访地？
由(2)的解答，你能进一步确定(1)中函数的自变量的取值范围吗？
0≤x≤5
(1)写出瓜苗生长的高度y(cm)关于生长时间x(天)的函数解析式；
(2)当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，则这种瓜苗移至大棚后，继续生长大约多少天，开始开花结果？
跟踪训练 某农科所免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术.这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至大棚内，沿插杆继续向上生长.研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y(cm)与生长时间x(天)之间的关系大致如图所示.
解：当0≤x<15时，设y=kx(k≠0)，则20=15k，解得k=，所以y=x.
当15≤x≤60时，设y=k'x+b(k'≠0)，将(15,20)，(60,170)分别代入，
得 解得
所以y=x-30.
综上，当0≤x<15时，y=x；
当15≤x≤60时，y=x-30.
(1)写出瓜苗生长的高度y(cm)关于生长时间x(天)的函数解析式；
(2)当这种瓜苗长到大约80 cm时，开始开花结果，则这种瓜苗移至大棚后，继续生长大约多少天，开始开花结果？
解：当y=80时，80＝x-30，
解得x=33，
33-15=18(天).
答：继续生长大约18天，开始开花结果.
当题目中没有给出一次函数的解析式时，需要先根据题目信息求出解析式(注意自变量的取值范围)，再利用一次函数的性质求解.
随堂练习
04
1.一个一次函数，当自变量x=1时，函数值y=5；当x=-1时，函数值y=1. 求这个一次函数的解析式.
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0).
因为当x=1时，y=5，当x=-1时，y=1,
所以 解得
所以这个一次函数的解析式为y=2x+3.
2.一个一次函数的图象经过点(9,0)和(24,20)，求这个一次函数的解析式.
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0).
因为一次函数的图象经过点(9,0)和(24,20)，
所以解得
所以这个一次函数的解析式为y=x-12.
3.一位旅客乘坐某航空公司飞机时，购买了经济舱机票. 他所托运的行李的费用y(单位：元)与行李的质量x(单位：kg)的关系如图所示，这位旅客可免费托运的行李的最大质量是多少千克？
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0).
由题图可知其图象经过点(25,90)和(30,180)，
所以 解得
所以这个一次函数的解析式为y=18x-360.
当y=0时，x=20，
故可免费托运的行李的最大质量是20kg.
4. 某自来水公司为了鼓励市民节约用水,采取分段收费标准.居民每月应缴水费 y(单位：元)是用水量 x(单位：t)的函数,其图象如图所示. (1) 分别求出当 0≤x≤15 和 x>15 时，y关于x的函数解析式.
解：(1)当0≤x≤15时，设函数解析式为y=kx(k≠0).
∵函数图象过点(15,60)，
∴15k=60，解得k=4，
∴y=4x(0≤x≤15).
当x>15时，设函数解析式为y=mx+n(m≠0).
∵函数图象过点(15,60)、(20,90)，
∴解得
∴y=6x-30(x>15).
4. 某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准.居民每月应缴水费 y(单位：元)是用水量 x(单位：t)的函数，其图象如图所示.
(2) 若某用户某月用水9t，则应缴水费多少元？若某月缴水费102元，则这个月用水多少吨？
(2)当x=9时，y=4×9=36.
∵该月缴费超过90元，
∴用水超过20t.
在y=6x-30中，令y=102,得102=6x-30,
解得x=22.
故若用水9t，则应缴水费36元，若缴水费102元，则这个月用水22t.
课堂小结
05
求一次函数解析式
待定系数法
先求出解析式，再利用一次函数的性质求解.
①设；②列；③解；④写
解决问题
谢谢观看
人教版数学八年级下册

展开更多......

收起↑