资源简介

22.1 函数的概念
第一课时
第二十二章 函数
人教版数学八年级下册
目录
学习目标
03
01
02
04
课堂导入
新知探究
随堂练习
05
课堂小结
学习目标
01
1. 了解常量、变量的概念；
2. 能列出表示变量之间关系的式子，能准确指出式子中的常量和变量.
新课导入
02
“万物皆变”—— 行星在宇宙中的位置随时间的变化而变化，我国“天宫”空间站与北京航天飞行控制中心的距离随时间的变化而变化，气温随海拔的变化而变化，树高随树龄的变化而变化??. 在现实世界中，这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在.
?
在研究运动变化现象时，为了描述事物的状态，人们经常会引进一些量，通过研究不同量之间的关系，来认识事物变化的规律.
新知探究
03
思考
(1) 汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，当行驶时间 t 分别为 1 h，2 h，5 h 时，行驶路程 s 分别为多少？s 的值随 t 的值的变化而变化吗？
问题(1)反映了汽车行驶的路程随行驶时间的变化而变化的过程.在这个过程中，行驶速度的值是始终不变的，行驶时间 t 和行驶路程s 的值是变化的.
当t=1时，s=60；当t=2时，s=120；当t=5时，s=300.
思考
(2) 电影票的售价为 40 元/张.第一场售出 80 张票，第二场售出 105 张票，第三场售出 180 张票，三场电影的票房收入各是多少元？设一场电影售出 x 张票，票房收入为 y 元，y 的值随 x 的值的变化而变化吗？
第一场票房收入：40×80=3 200 (元)
第二场票房收入：40×105=4 200 (元)
第三场票房收入：40×180=7 200 (元)
问题(2)反映了电影票房收入y随售出票数x的变化而变化的过程.在这个过程中，电影票的售价是始终不变的，售出票数x和票房收入y的值是变化的.
一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量.
例如，在问题(1)和(2)中，汽车行驶的速度、电影票的售价是常量；汽车行驶的时间t、路程s，售出的电影票数x，票房收入y是变量.
思考下面的问题(3)和问题(4)反映了什么变化过程？其中的常量和变量分别是什么？
思考
(3)你见过水中的涟漪吗？如图. 圆形水波慢慢地扩大. 在这一过程中，当圆的半径 r 分别为 10 cm，20 cm，30 cm 时，圆的面积 S 分别为多少？S 的值随 r 的值的变化而变化吗？
问题(3)反映了圆的面积S随圆的半径r的变化而变化的过程.圆的面积S和圆的半径r是变量，π是常量.
思考
(4) 长方体的体积为 1 000 cm?，当长方体的底面积 S 分别为 50 cm?，100 cm?，125 cm? 时，高 h 分别为多少？h 的值随 S 的值的变化而变化吗？
问题(4)反映了长方体的高h随长方体的底面积S的变化而变化的过程. 长方体的高h和底面积S是变量，长方体的体积是常量.
例1 指出下列问题中的常量和变量：
（1）某市居民生活用水的价格为 5 元/t.记某户的月用水量为 x t，月应缴水费为 y 元.
解：（1）生活用水的价格是常量，某户的月用水量 x 和月应缴水费 y 是变量.
例1 指出下列问题中的常量和变量：
（2）在某地乘坐公交车，刷公交卡每次收费 1 元.李明在公交卡中存入 30 元，记此后他乘坐公交车 n 次，公交卡中的余额为 w 元.
解：（2）刷公交卡每次收费和存入的钱数是常量，乘坐公交车的次数 n 和公交卡中的余额 w 是变量.
例1 指出下列问题中的常量和变量：
（3）用 20 m 长的绳子围一个矩形，记矩形的一边长为 x m，矩形的面积为 S m?.
解：（3）绳的长度是常量，矩形的一边长 x 和面积 S 是变量.
常量与变量的相对性
变量与常量是相对于某个变化过程而言的. 当变化过程改变时，其中的变量与常量也可能随之改变.
例如，对于 s = vt，当 v 不变时，v 为常量，s，t 为变量；当 t 不变时，t 为常量，s，v 为变量.
跟踪训练 指出下列问题中的常量和变量.
(1)某地手机通话费为 0.1 元/min，小明存入 50 元手机话费，记此后他的手机通话时间为 t min，话费余额为 y 元.
解：(1)常量：0.1，50.
变量：t，y.
跟踪训练 指出下列问题中的常量和变量.
(2)地表以下岩层的温度y(℃) 随所处深度x(km) 的变化而变化，在某地y与x之间的关系可以近似地表示为y=35x+20.
解：(2)常量：35，20.
变量：x，y.
跟踪训练 指出下列问题中的常量和变量.
(3)刘老师到加油站加油，如图是他所用的加油机上某一时刻的数据显示牌.
解：(3)常量：单价.
变量：数量，金额.
随堂练习
04
1.指出下列问题中的常量和变量：
(1)向一个水池注水，注水速度为0.1 m3/min.记注水时间为x mim，注水量为y m3.
解：（1）注水速度是常量，注水时间 x?和注水量y?是变量.
1.指出下列问题中的常量和变量：
(2)我国“十三五”期间每年的国内生产总值如下表所示.
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}年份x
2016
2017
2018
2019
2020
国内生产总值y/亿元
746 395.1
832 035.9
919 281.1
986 515.2
1 013 567.0
解：（2）无常量，年份 x?和国内生产总值y?是变量.
1.指出下列问题中的常量和变量：
(3)一个平行四边形的底边长为5，高h可以任意改变，面积为S.
解：（3）平行四边形的底边长是常量，高 h?和面积S?是变量.
2. 某人要在规定的时间内加工100个零件，如果用????表示工作效率，用????表示规定的时间，下列说法正确的是 ( )
A．数100和????，????都是常量
B．数100和????都是变量
C．????和????都是变量
D．数100和????都是变量
?
C
3.举两个运动变化的例子，并分别指出其中的常量和变量.
解：（1）每张电影票的售价为 50 元，某日共售出 x?张票，票房收入为y?元.其中，售价每张50 元为常量，售出的票数 x?和票房收入y?是变量.
（2）神舟飞船绕地球一周约需 90 min，t?min?绕地球的周数为N.其中，神舟飞船绕地球一周的时间90 min?为常量，绕地球的时间t?和周数N?是变量.（答案不唯一）
课堂小结
05
常量与变量
常量
一般地，在一个变化过程中，
我们称数值始终不变的量为常量.
变量
一般地，在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量.
22.1 函数的概念
第二课时
第二十二章 函数
人教版数学八年级下册
目录
学习目标
03
01
02
04
课堂导入
新知探究
随堂练习
05
课堂小结
学习目标
01
1. 认识变化过程中的两个变量，了解函数的概念及其多种表现形式，能举出函数的实例，形成模型观念；
2.能通过解析式、图象、表格这三种形式，识别并表达两个变量之间的函数关系.
新课导入
02
思考 下面思考题中各有两个变量，每个问题中的两个变量之间有什么关系？如何表示这种关系？
(1) 汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，当行驶时间 t 分别为 1 h，2 h，5 h 时，行驶路程 s 分别为多少？s 的值随 t 的值的变化而变化吗？
解：当t=1时，s=60；
当t=2时，s=120；
当t=5时，s=300??
两个变量是t和s，s随t的变化而变化. 每当t取定一个值时，s就有唯一确定的值与其对应. 它们之间的关系可以用 s=60t 表示.
?
思考 (2) 电影票的售价为 40 元/张.第一场售出 80 张票，第二场售出 105 张票，第三场售出 180 张票，三场电影的票房收入各是多少元？设一场电影售出 x 张票，票房收入为 y 元，y 的值随 x 的值的变化而变化吗？
当x=80时，y=3 200；
当x=105时，y=4 200；
当x=180时，y=7 200.
两个变量是x和y，y随x的变化而变化.每当x取定一个值时，y就有唯一确定的值与其对应. 它们之间的关系可以用y=40x表示.
新知探究
03
归纳
上面每个问题中的两个变量，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应.
类似地，请你分别指出问题(3)(4)中两个变量之间的关系，并写出关系式.
思考 (3) 你见过水中的涟漪吗？如图. 圆形水波慢慢地扩大. 在这一过程中，当圆的半径 r 分别为 10 cm，20 cm，30 cm 时，圆的面积 S 分别为多少？S 的值随 r 的值的变化而变化吗？
在问题(3)中，两个变量是S和r，S随r的变化而变化. 每当r取定一个值时，S就有唯一确定的值与其对应.其中当r=10 时，S=100π ；当r=20 时，S=400π ；当 r = 30 时，S = 900π??它们之间的关系可以用 S = πr? 表示.
?
思考 (4) 长方体的体积为 1 000 cm?，当长方体的底面积 S 分别为 50 cm?，100 cm?，125 cm? 时，高 h 分别为多少？h 的值随 S 的值的变化而变化吗？
在问题(4)中，两个变量是 h 和 S，h 随 S 的变化而变化. 每当 S 取定一个值时，h 就有唯一确定的值与其对应.其中当 S = 50 时，h = 20；当 S = 100 时，h = 10；当 S = 125 时，h = 8??它们之间的关系可以用 h = 1 000????表示.
?
一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量之间有上面那样的关系.
思考 (1)潮汐是指海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象.我国某港口潮水的高度（简称潮高）在某时段的变化如图所示，时间与潮高分别记作变量t 与h .这两个变量之间有什么关系？
对于变量?t（时间）在该时段内的每一个确定值，都有唯一确定的变量?h（潮高）与之对应.
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}存款期限x/ 月
3
6
12
24
36
60
年利率y/%
1.15
1.35
1.45
1.65
1.95
2.00
思考 (2)某年某银行整存整取的存款期限与对应的年利率如表所示，存款期限与年利率分别记作变量x和y.这两个变量之间有什么关系？
对于变量?x（存款期限）的每一个确定值，都有唯一确定的变量?y（年利率）与之对应.
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数（function）.
如果当x=a时y=b，那么b叫作当自变量的值为a时的函数值.
说明 函数是刻画变量之间对应关系的数学模型.从以上实例中可以发现，函数存在不同的表现形式，可以用式子、也可以用图象、表格来表达两个变量之间的对应关系.
思考 判断下列函数关系中的自变量.
(1)汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，当行驶时间 t 分别为 1 h，2 h，5 h 时，行驶路程 s 分别为多少？s 的值随 t 的值的变化而变化吗？
解：(1)时间是自变量，路程s是t的函数，
当t=1时，函数值s=60，当t=2时，函数值s=120；
当t=5时，函数值s=300.
思考 判断下列函数关系中的自变量.
(2) 电影票的售价为 40 元/张.第一场售出 80 张票，第二场售出 105 张票，第三场售出 180 张票，三场电影的票房收入各是多少元？设一场电影售出 x 张票，票房收入为 y 元，y 的值随 x 的值的变化而变化吗？
解：(2)售出票数x是自变量，票房收入y是x的函数，
当x=80时，函数值y=3 200；当x=105时，函数值y=4 200；
当x=180时，函数值y=7 200.
思考 判断下列函数关系中的自变量.
解：在图中，时间t是自变量，潮高h是t的函数，
当t=18:00时，函数值 h =158.
思考 判断下列函数关系中的自变量.
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}存款期限x/ 月
3
6
12
24
36
60
年利率y/%
1.15
1.35
1.45
1.65
1.95
2.00
解：在表中，存款期限x是自变量，年利率y是x的函数，
当x=12时，函数值y=1.45%.
例1 判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系. 如果是，
指出其中的自变量与函数.
(1)北京冬奥会开幕式上，以“二十四节气”为主题的短片惊艳了世界. 如图是某年部分节气对应的白昼时长示意图，白昼时长随节气的变化而变化.
解：(1)白昼时长和节气是函数关系，自变量为节气，白昼时长是节气的函数.
例1 判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系. 如果是，
指出其中的自变量与函数.
(2)我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率
K（W/(m·K)）随温度T（℃）的变化而变化，关系如表.
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}温度T / ℃
100
150
200
250
导热率K /（W/(m·K)）
0.15
0.2
0.25
0.3
解：(2) K和T是函数关系，自变量为温度T，导热率K是温度T的函数.
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}一看
是否在一个变化过程中
二看
是否存在两个变量
三看
每当自变量取定一个值时，另一个变量是否都有唯一确定的值与其对应
用“三看法”判断一个关系是不是函数关系
跟踪训练 给出下列各式：
① y =??12 x + 32；② y = x + 2z；③ y = 2????；④ y = |x|；⑤ y? = 2x.
其中表示函数的有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
?
D
存在三个变量.
当x取一个正值时，y有两个不同的值与它对应.
跟踪训练 下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是( )
D
随堂练习
04
1.判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系.如果是，指出其中的自变量与函数.
(1)改变正方形的边长x，正方形的面积 S 随 x 的变化而变化；
(2)乘坐摩天轮时，游客离地面的高度 h 随时间 t 的变化而变化；
解：(1)是. 正方形的边长x是自变量，面积S是x的函数.
(2)是. 时间t是自变量，游客离地面的高度h是t的函数.
1.判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系.如果是，指出其中的自变量与函数.
(3)某天不同时刻的气温如图所示，气温 T 随时间 t 的变化而变化.
解： (3)是. 时间t是自变量，气温T是t的函数.
解：(4)是. 月份x是自变量，降水量y是x的函数.
1.判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系.如果是，指出其中的自变量与函数.
(4) 某地一年不同月份的降水量如下表所示，降水量y随月份x的变化而变化.
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}月份x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
降水量
y/mm
20
23
43
95
146
193
186
138
106
86
48
24
2.下列图象不能表示 y 为 x 的函数的是( )
C
A
B
D
C
3. 下列关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A. y=3x+1 B. y=12x
C. y2=x D. y=x2-3
?
C
4.举出一个函数例子，说明其中的函数关系，并指出其中的自变量与函数.
解：某报告厅共有30排座位，第一排有20个座位，后面每一排都比前一排多2个座位.若用n表示排数， m表示第n排的座位数，则n是自变量，报告厅内第n排的座位数m是排数n的函数.
（答案不唯一）
课堂小结
05
函数
概 念
函数值
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,
并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
如果当x=a时y=b，那么b叫作当自变量的值为a时的函数值.
22.1 函数的概念
第三课时
第二十二章 函数
人教版数学八年级下册
目录
学习目标
03
01
02
04
课堂导入
新知探究
随堂练习
05
课堂小结
学习目标
01
1.探索实际问题中的数量关系与变化规律，明确常量、变量的意义，理解函数概念及解析式表示法，结合实例建立函数，形成模型观念；
2.掌握函数解析式的书写方法，能依据实际背景确定自变量的取值范围，并会代入自变量的值求函数值，提升应用数学的能力.
新课导入
02
复习 1. 什么是函数？
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
2. 判断一个关系是不是函数关系的方法
①看是否在一个变化过程中；
②看是否存在两个变量；
③看每当自变量确定一个值时，另一个变量是否都有唯一确定的值与其对应.
新知探究
03
例1 汽车油箱中有汽油50 L. 如果不再加油，那么油箱中剩余的油量y (单位：L)随行驶路程x (单位：km)的增加而减少.已知该汽车平均每千米耗油0.1 L.
(1)写出表示y与x的函数关系的式子；
解：(1)行驶路程 x 是自变量，油箱中剩余的油量 y 是 x 的函数，它们的关系为
y = 50 ? 0.1x.
?
0.1x表示的实际意义是什么？
0.1x表示这辆汽车行驶x km时的耗油量为0.1x L.
例1 汽车油箱中有汽油50 L. 如果不再加油，那么油箱中剩余的油量y (单位：L)随行驶路程x (单位：km)的增加而减少.已知该汽车平均每千米耗油0.1 L.
(2)指出自变量x的取值范围；
自变量的取值范围
使函数有意义的自变量取值的全体叫作自变量的取值范围.
例1 汽车油箱中有汽油50 L. 如果不再加油，那么油箱中剩余的油量y (单位：L)随行驶路程x (单位：km)的增加而减少.已知该汽车平均每千米耗油0.1 L.
(2)指出自变量x的取值范围；
解：(2)仅从式子 y = 50 ?0.1x 看，x 可以取任意实数.但是考虑到 x 代表的实际意义为行驶路程，因此 x 不能取负数.行驶中的耗油量为 0.1x L，它不能超过油箱中现有汽油量 50 L，即 0.1x ≤ 50.
因此，自变量 x 的取值范围是 0 ≤ x ≤ 500.
?
确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且要注意问题的实际意义.
例1 汽车油箱中有汽油50 L. 如果不再加油，那么油箱中剩余的油量y (单位：L)随行驶路程x (单位：km)的增加而减少.已知该汽车平均每千米耗油0.1 L.
(3)汽车行驶200 km时，油箱中还有多少汽油？
解：(3)汽车行驶200 km时，油箱中剩余的汽油量是函数y=50?0.1x在 x=200时的函数值. 将x=200代入y=50?0.1x，得
y=50?0.1×200=30.
因此，汽车行驶200 km时，油箱中还有30 L汽油.
?
例1 函数 y = 1?????+?1+ (x - 2)? 的自变量 x 的取值范围是（ ）
A. x ≥ ?1 B. x > 2
C. x > ?1 且 x ≠ 2 D. x ≠ ?1 且 x ≠ 2
解析：由题意，可得????+1>?0??????2?≠?0?
解得 x > ?1 且 x ≠ 2.
?
C
像 y=50?0.1x 这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式.
?
例2 某品牌新能源纯电动汽车电池容量为 90 kW·h，每千米耗电约 0.15 kW·h.当电池充满电后开始行驶，那么该电池中剩余电量
y kW·h 与行驶路程 x km 之间的函数解析式是 _____________，自变量 x 的取值范围是 ___________，当x=400时，函数值 y=______.
y=90-0.15x
0≤ x ≤ 600
30
确定函数解析式的步骤
(1)找：认真审题，根据题意找出各个量之间的数量关系.
(2)写：根据数量关系写出含有两个变量的等式.
(3)变：将等式变形为用含自变量的式子表示函数的形式.
跟踪训练 为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔1 min测量一次香可燃烧部分的长度，数据如下：
(1)该表格反映了两个变量之间的关系，写出自变量与函数；
解：(1) 根据题意可知，自变量是燃烧时间t,香可燃烧部分的长度l是燃烧时间t的函数；
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}燃烧时间t /min
1
2
3
4
5
…
香可燃烧部分的长度l /cm
22.4
21.9
21.4
20.9
20.4
…
跟踪训练 (2)写出这根香可燃烧部分的长度l与燃烧时间t的函数关系式；
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}燃烧时间t /min
1
2
3
4
5
…
香可燃烧部分的长度l /cm
22.4
21.9
21.4
20.9
20.4
…
解： (2) 根据题意可知，燃烧时间每增加1 min，香可燃烧部分的长度减少0.5 cm,
∴当t=0时，香的长度为22.4+0.5=22.9（cm），
∴这根香燃尽所需的时间为22.9÷0.5=45.8（min），
∴这根香可燃烧部分的长度l与燃烧时间t的函数关系式为
l=-0.5t+22.9（0≤t≤45.8）.
跟踪训练 为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔1 min测量一次香可燃烧部分的长度，数据如下：
(3)求这根香可燃烧的时间．
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}燃烧时间t /min
1
2
3
4
5
…
香可燃烧部分的长度l /cm
22.4
21.9
21.4
20.9
20.4
…
解：(3) 由(2)可得这根香可燃烧的时间为45.8 min.
随堂练习
04
1. 判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系. 如果是，指出其中的自变量与函数，并写出函数解析式.
(1) 水箱中原有水 10 L，漏水速度为 0.05 L/h，水箱中剩余的水量 V（单位：L）随时间 t（单位：h）的变化而变化；
解：（1）是.自变量是 t，V 是 t 的函数.
V = 10 - 0.05t.
1. 判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系. 如果是，指出其中的自变量与函数，并写出函数解析式.
(2) 绿水村的耕地面积是 10? m?，这个村的人均耕地面积 y（单位：m?）随人数 n 的变化而变化.
解：（2）是.自变量是 n，y 是 n 的函数.
y = 10?????.
?
2. 梯形的上底长为 2 cm，高为 3 cm，下底长 x（单位：cm）大于上底长但不超过 5 cm，写出梯形面积 S（单位：cm?）关于 x 的函数解析式，并指出自变量 x 的取值范围.
解：?????=32?+?????2，即 ?????=32?????+ 3 (2 < x ≤ 5).
?
3. 举出一个函数例子，要求其中的函数关系能用解析式表示，并指出自变量的取值范围.
解：已知一等腰三角形的面积为 20 cm?，设它的底边长为 x (cm)，底边上的高为 y (cm)，
则 y 与 x 之间的函数解析式为 12?xy = 20，
即 y = 40???? (x > 0).（答案不唯一）
?
课堂小结
05
函数
概 念
表 示
自变量的取值范围
函数值
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,
并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
函数的解析式.
使函数关系式有意义.
使实际问题有意义.
如果当x=a时y=b，那么b叫作当自变量的值为a时的函数值.
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