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专题提升课1　库仑力作用下的平衡与加速
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微专题一　三个自由电荷的平衡问题
三个自由点电荷都处于平衡状态时，三个点电荷中的每一个点电荷受到的其他两个点电荷的库仑力必然大小相等、方向相反。
(1)三点共线：三个点电荷一定分布在一条直线上。
(2)两同夹异：两侧的点电荷电性相同，中间的点电荷的电性一定与两侧的相反。
(3)两大夹小：处于中间的点电荷的电荷量一定最小。
(4)近小远大：中间电荷靠近电荷量较小的电荷。
INCLUDEPICTURE "例1.TIF" INCLUDEPICTURE "例1.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A所带电荷量为＋Q，B所带电荷量为－9Q。现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在电场力的作用下处于平衡状态，则C的带电性质及位置应为(　　)
INCLUDEPICTURE "LKS6.TIF" INCLUDEPICTURE "LKS6.TIF" \* MERGEFORMAT
A．正，B的右边0.4 m处
B．正，B的左边0.2 m处
C．负，A的左边0.2 m处
D．负，A的右边0.2 m处
[解析]　要使三个电荷均处于平衡状态，必须满足“两同夹异”“两大夹小”“近小远大”的原则，所以点电荷C应在A左侧，带负电。设C所带电荷量为q，A、C间的距离为x，A、B间距离用r表示，由于处于
平衡状态，所以k＝，解得x＝0.2 m，C正确。
[答案]　C
微专题二　 库仑力作用下的平衡问题
1．解题步骤
(1)确定研究对象。如果有几个物体相互作用时，要依据题意，适当选取“整体法”或“隔离法”。
(2)对研究对象进行受力分析，此时多了静电力(F＝k)。
(3)建立坐标系。
(4)根据F合＝0列方程，若采用正交分解法，则有Fx＝0，Fy＝0。
(5)求解方程。
2．两点说明
(1)库仑力与学过的重力、弹力、摩擦力一样具有力的一切性质，它是矢量，合成分解时遵循平行四边形定则。
(2)处理涉及静电力作用下带电体的平衡问题是力学规律、方法的合理迁移和应用。
角度1　整体、隔离法与平衡条件的应用
INCLUDEPICTURE "例2.TIF" INCLUDEPICTURE "例2.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)(2024·福建三明联考期中)如图所示，两根绝缘细线挂着两个质量相同且不带电的小球A和B，此时上、下细线受力的大小分别为TA、TB。如果使A带正电，B带负电，上、下细线受力的大小分别是TA′、TB′。下列说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "KA23.TIF" INCLUDEPICTURE "KA23.TIF" \* MERGEFORMAT
A．TA′>TB′　　　　　　 B．TA′＝TA
C．TB′＝TB D．TA′>TA
[解析]　设A、B小球的质量均为m，将小球A、B看成一个整体进行研究，不管小球A、B是否带电，整体所受到的重力与最上面绝缘细线的拉力平衡，则由平衡条件可得TA＝TA′＝2mg，故B正确，D错误；将小球B隔离出来进行研究，当两小球不带电时，根据平衡条件可得TB＝mg，当A带正电，B带负电时，设两小球间相互作用的静电力的大小为F，显然A对B的静电力是向上的引力作用，则对小球B由平衡条件可得mg＝F＋TB′，因此可知TB′＜mg，由此可得TB＞TB′，而TA′＝2mg，因此TA′＞TB′，故A正确，C错误。
[答案]　AB
INCLUDEPICTURE "例3.TIF" INCLUDEPICTURE "例3.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)(2024·广东广州培英中学期中)如图所示，质量为m、电荷量为q的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点，电荷量也为q的小球B固定在O点正下方绝缘柱上。绝缘细线长为l，O点与小球B的间距为l，当小球A平衡时，悬线与竖直方向夹角θ＝30°。带电小球A、B均可视为点电荷，静电力常量为k，则(　　)
INCLUDEPICTURE "KA19.TIF" INCLUDEPICTURE "KA19.TIF" \* MERGEFORMAT
A．A、B间库仑力大小F＝
B．A、B间库仑力大小F＝
C．细线拉力大小FT＝
D．细线拉力大小FT＝mg
[解析]　带电小球A受力如图所示，
INCLUDEPICTURE "KA20.TIF" INCLUDEPICTURE "KA20.TIF" \* MERGEFORMAT
由题意可得OC＝l，即C点为OB中点，根据对称性AB＝l，水平方向受力平衡，可得F＝FT，由库仑定律知A、B间静电力大小F＝，故A错误，C正确；根据平衡条件得F cos 30°＝mg，解得F＝mg，绳子拉力FT＝mg，故B正确，D错误。
[答案]　BC
INCLUDEPICTURE "例4.TIF" INCLUDEPICTURE "例4.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)(2024·陕西渭南统考期中)如图所示，大小可以忽略不计的带有同种电荷的小球A和B相互排斥，静止时绝缘细线与竖直方向的夹角分别是α和β，且α＜β，两小球在同一水平线上，由此可知与小球A相比(　　)
INCLUDEPICTURE "KA21.TIF" INCLUDEPICTURE "KA21.TIF" \* MERGEFORMAT
A．小球B受到的静电力较大
B．小球B电荷量较大
C．小球B的质量较小
D．小球B受到的拉力较小
[解析]　根据牛顿第三定律得，A球对B球的库仑力等于B球对A球的库仑力，无论两球电荷量是否相等所受库仑力都相等，故无法比较哪个电荷量较大，故A、B错误；对小球A、B受力分析，根据平衡条件有F库＝mAg tan α，F库＝mBg tan β，因α＜β所以mA＞mB，故C正确；根据平衡条件有FA拉＝，FB拉＝，因α＜β所以B球受的拉力较小，故D正确。
INCLUDEPICTURE "KA22.TIF" INCLUDEPICTURE "KA22.TIF" \* MERGEFORMAT
[答案]　CD
角度2　动态平衡问题
INCLUDEPICTURE "例5.TIF" INCLUDEPICTURE "例5.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2024·浙江杭州联考)竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘，小球A、B带同种电荷，现用水平向左的推力F作用于小球B，两球分别静止在竖直墙和水平地面上，如图所示，如果将小球B向左推动少许，当两球重新达到平衡时，与原来的平衡状态相比较(　　)
INCLUDEPICTURE "KA24.TIF" INCLUDEPICTURE "KA24.TIF" \* MERGEFORMAT
A．地面对小球B的支持力不变
B．推力F将不变
C．两小球之间的距离变小
D．竖直墙面对小球A的弹力变大
[解析]　以A球为研究对象，分析受力，如图1所示，设B对A的库仑力F库与墙壁的夹角为θ，由平衡条件得竖直墙面对小球A的弹力N1＝mAg tan θ，将小球B向左推动少许时，θ减小，则竖直墙面对小球A的弹力N1减小；库仑力F库＝，θ减小，cos θ增大，F库减小，根据库仑定律分析得知，两球之间的距离增大； 再以AB整体为研究对象，分析受力，如图2所示，由平衡条件得，F＝N1，N2＝(mA＋mB)g，N1减小，则F减小，地面对小球B的支持力不变，故A正确，B、C、D错误。
INCLUDEPICTURE "KA25.TIF" INCLUDEPICTURE "KA25.TIF" \* MERGEFORMAT 　　 INCLUDEPICTURE "KA26.TIF" INCLUDEPICTURE "KA26.TIF" \* MERGEFORMAT
[答案]　A
INCLUDEPICTURE "例6.TIF" INCLUDEPICTURE "例6.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)(2024·重庆七中期中)两个带电绝缘小球a、b，均带有正电荷，其中a固定在O点正下方的地面上，并与地面保持绝缘，b通过一端系于O点的绝缘细线悬挂，且Oa＝Ob，b静止时如图所示。若a的电荷量保持不变，b中电荷量缓慢减小，则在b缓慢移动的过程中(　　)
INCLUDEPICTURE "KA27+.TIF" INCLUDEPICTURE "KA27+.TIF" \* MERGEFORMAT
A．细线对b的拉力大小不变
B．地面对a的作用力变大
C．细线对b的拉力逐渐变大
D．地面对a的作用力变小
[解析]　对b球进行受力分析如图所示，易得△Oab与矢量三角形相似，由相似三角形的性质得＝＝，根据F＝k，解得T＝mg，＝k，可知细线对b的拉力大小不变，b中电荷量缓慢减小，则a、b距离减小，故A正确，C错误；a、b间库仑力减小，由平衡条件可知b对a球的库仑力与竖直方向的夹角在增大，根据矢量叠加原理可知地面对a的作用力变小，故B错误，D正确。
INCLUDEPICTURE "KA27.TIF" INCLUDEPICTURE "KA27.TIF" \* MERGEFORMAT
[答案]　AD
微专题三　库仑力作用下的动力学问题
静电力作用下的动力学问题可以归纳为“电学问题、力学方法”。遵循力学规律和力的运算法则。在分析具体问题时应注意：
(1)受力分析：除分析重力、弹力、摩擦力等之外，还要分析静电力的作用。
(2)状态分析：通过分析确定带电体运动状态。
(3)根据问题情境和提供的条件选取适当的物理规律列方程求解。
INCLUDEPICTURE "例7.TIF" INCLUDEPICTURE "例7.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2024·云南红河阶段练)如图所示，在光滑的绝缘水平面上，有两个质量相等、相距为r、电荷量分别为＋q和－q的小球甲、乙，在水平恒力F作用下做匀加速直线运动。静电力常量为k，则水平恒力F的大小为(　　)
INCLUDEPICTURE "DTZ6A.TIF" INCLUDEPICTURE "DTZ6A.TIF" \* MERGEFORMAT
A．　　　　　　 　　　 B．
C． D．
[解析]　以甲、乙整体为研究对象，由牛顿第二定律可知加速度a＝，以乙为研究对象，由牛顿第二定律有＝ma，联立得F＝。
[答案]　C
INCLUDEPICTURE "例8.TIF" INCLUDEPICTURE "例8.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图1所示，两个带电物体，甲固定在绝缘水平面上，乙从甲右侧某处静止释放后的v－t图像如图2 所示，则(　　)
INCLUDEPICTURE "JKL24.TIF" INCLUDEPICTURE "JKL24.TIF" \* MERGEFORMAT
A．两个物体带同种电荷
B．两个物体带异种电荷
C．两个物体电荷量一定相等
D．两个物体电荷量一定不等
[解析]　分析题图2可知，乙物体的加速度越来越大，则甲、乙两物体间的库仑力越来越大，间距减小，两物体带异种电荷，A错误，B正确；库仑力是相互作用力，无法判断两物体电荷量的多少，C、D错误。
[答案]　B
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "随堂巩固落实LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "随堂巩固落实LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　))
1．(库仑力作用下的平衡问题)如图所示，水平天花板下用长度相同的绝缘轻质细线悬挂起来两个相同的带电小球a、b，左边放一个带正电的固定球＋Q时，两悬线都保持竖直方向。下列说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "WLA8+.TIF" INCLUDEPICTURE "WLA8+.TIF" \* MERGEFORMAT
A．a球带正电，b球带正电，并且a球带的电荷量较大
B．a球带负电，b球带正电，并且a球带的电荷量较小
C．a球带负电，b球带正电，并且a球带的电荷量较大
D．a球带正电，b球带负电，并且a球带的电荷量较小
答案：B
2．(三个自由电荷的平衡问题)(2024·广东中山联考)如图所示，在光滑、绝缘的水平面上，沿一直线依次排列三个带电小球A、B、C(可视为质点)。若它们恰能处于平衡状态，那么这三个小球所带的电荷量及电性的关系，下面的情况可能的是(　　)
INCLUDEPICTURE "KA28.TIF" INCLUDEPICTURE "KA28.TIF" \* MERGEFORMAT
A．3、－6、3　　　　　　　 B．－9、4、－36
C．－3、2、8 D．4、9、36
解析：选B。题中要求三个小球均能处于平衡状态，以A球为对象，根据受力平衡可知，B、C两球对A球的库仑力大小相等、方向相反，则B、C两球的电性一定相反；同理，要使C球受力平衡，A、B两球的电性一定相反；综上分析可知，三球的电性需要满足“两同夹异”，故C、D错误。以A球为对象，根据受力平衡可知，B、C两球对A球的库仑力大小相等、方向相反，则有 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(k\f(qBqA,r))) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(k\f(qCqA,r))) ，由于rAB＜rAC，则有|qB|＜|qC|，同理以C球为对象，根据受力平衡可得 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(k\f(qAqC,r))) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(k\f(qBqC,r))) ，由于rAC＞rBC则有|qA|＞|qB|，故A错误，B正确。
3.(库仑力作用下的平衡问题)(2024·四川凉山统考期中)如图所示，一质量为m、电荷量为Q的小球A系在长为l的绝缘轻绳下端，另一电荷量也为Q的小球B固定在悬挂点正下方，A、B均视为点电荷，轻绳与竖直方向成45°，小球A、B静止于同一高度。已知重力加速度为g，静电力常量为k，则两球间的静电力大小为(　　)
INCLUDEPICTURE "KA29.TIF" INCLUDEPICTURE "KA29.TIF" \* MERGEFORMAT
A.　　　　　　 B．
C．mg D．mg
解析：选A。根据库仑定律可得F＝＝，A正确，B错误；对A受力分析，根据平衡可得F＝mg tan 45°＝mg，C、D错误。
4.(库仑力作用下的动力学问题)如图所示，三个小球 A、B 、C ，质量都是m，A带－q的电荷量，B、C所带电荷量都是＋q(q＞0)，三者均用长为l的绝缘丝线相连悬挂于O点，A、B间绝缘线恰好无拉力，重力加速度为g。剪断B、C间线的瞬间，C球的加速度大小为(　　)
INCLUDEPICTURE "KA9++.TIF" INCLUDEPICTURE "KA9++.TIF" \* MERGEFORMAT
A．g　　　 B．2g　　　
C．g　　　 D．g
解析：选C。A、B间绝缘线恰好无拉力，即＋＝2mg，剪断B、C间线的瞬间，以C球为研究对象，C球受到B球的斥力、A球的引力和自身重力作用，根据牛顿第二定律有－＋mg＋＝ma，联立解得小球C的加速度a＝g。

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