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(共24张PPT)
第二十二章 数据的收集整理与描述
22.5 数据变化趋势的刻画
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思路一
情境呈现:在现实生活中,有一些量随着另一个量的变化呈现出一种大致的直线变化趋势,但又与一次函数描述的确定关系不同.那么,如何描述这种变化趋势和关系呢
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学文献典籍《黄帝内经》中的《灵枢:骨度第十四》中,记载了黄帝与伯高的一段对话.原文:“黄帝曰:愿闻众人之度,人长七尺五寸者,其骨节之大小长短,各几何 伯高曰:……足长一尺二寸,广四寸半.……肘至腕长一尺二寸半,腕至中指本节长四寸……”翻译为:“黄帝说:我想听听普通人的骨度,成人身长以七尺五寸长计算,其骨节的大小、长短各是多少呢 伯高说:……足长一尺二寸,宽四寸半.……肘至腕关节长一尺二寸半,腕至中指本节长四寸……”这段话说到了身高与各骨骼长度的关系.
问题:你能推算出人的身高与各骨骼长度的数量关系吗
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思路二
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警察在破案时常根据脚印的长度来推断出罪犯的大致身高,考古学家也会根据古代人脚印的长度来确定古代人的大致身高.人脚印的长度与身高有什么关系
猜测:人的身高和脚长存在一定的函数关系,人的脚越长,身高越高.
　　为了验证自己的猜想,该同学随机测量了以下几人的身高以及他们的脚长,计算身高与脚长的比值,将结果记录下表:
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通过以上调查可以得出结论:
(1)若取身高与脚长之比为正整数,则身高大约为脚长的几倍
7倍.
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(2)警察测得某罪犯的脚印长为23.8 cm,当身高与脚长之比取正整数时,你能帮警察推断一下罪犯的大致身高吗
23.8×7=166.7（cm）
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问题:小丽想通过测量小臂长推算出人的身高.她在班里用抽签的方式选取了10名女生,测量了她们的小臂长和身高,数据如下表所示:
如果身高用y(cm)表示,小臂长用x(cm)表示,在教材图22.5-1所示的平面直角坐标系中,描出各对数值(x,y)所对应的点.
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(1)观察教材图22.5-1,请说明身高y随小臂长x的增长有怎样的变化趋势.
发现:从图形可以看出,身高y随小臂长x的增长呈大致的直线增长趋势. 可以画一条直线,使其整体上与图中的数据点较接近,用直线对应的一次函数近似描述这种变化趋势.
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(2)你能用一条直线来描述这种变化趋势吗 如果能,应怎样确定这条直线以及对应的一次函数呢
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问题:小红的小臂长为26 cm,你能用得到的一次函数预测她的身高吗
结论:x=26,y=3.4×26+78.2=166.6.
所以预测小红的身高约为166.6 cm.
追问:将预测的身高与她的实际身高166 cm 进行比较,会有误差,思考一下,为什么会有误差 与同学交流一下.
结论:测量方法、个体差异等.
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练习:1.一种树苗,每年高度与树主干直径变化数据如下:
如果以后每年的生长都符合这一规律.
(1)当树干直径是9.8 cm时,树的高度是多少
函数关系式：y=25x+50,当x=9.8时, y=25×9.8+50=295（cm）.
所以树的高度是295 cm.
(2)树干直径是多少时,树高450 cm
当y=450时,由 450=25x+50,解得x=16（cm）.
所以树的直径是16 cm.
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2.经验表明,树在一定的成长阶段,其胸径(树主干的直径)越大,树就越高.通过测量某种树,得到如表:
已知树高y是其胸径x的一次函数.
(1)求树高y(m)与其胸径x(m)之间的函数关系式.
y=25x+15
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2.经验表明,树在一定的成长阶段,其胸径(树主干的直径)越大,树就越高.通过测量某种树,得到如表:
树高y与其胸径x之间的一次函数关系式为y=25x+15.
(2)当这种树的胸径为0.46 m时,其树高是多少
x=6, y=25×0.46+15=26.5,即树高26.5 m.
(3)若这种树的胸径增长0.4 m,则其树高增长多少
25×0.4=10，则树高增长10 m.
课堂评价
请仔细阅读下面的科普材料,并完成相应的任务.
树的胸径与树高的关系胸径和树高是树木重要的测量因子,也是反映森林生长状况的重要参数,由于测量树高比测量胸径更加费时、费力,且误差更大,因此实际测量时,多采用树高—胸径模型来估算树木的高度.
技术人员查阅相关资料,发现柳树在某段成长时期,其树高y(m)可以看成胸径x(cm)的一次函数.下表是他们在当地收集到的“一号”柳树树高与胸径的数据:
课堂评价
根据表中的数据,他们在如图所示的平面直角坐标系中描出了坐标点,发现这六个点并不在一条直线上,继续查阅资料,找到如下解决办法:
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设树高y与胸径x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),将表格中的数据按x的值从小到大排序后,均分为两组代入y=kx+b(k≠0),得到
第一组:7.2=16k+b,8.4=21k+b,9=23k+b.
第二组:10.7=28k+b,11.2=35k+b,11.7=42k+b.
课堂评价
技术人员只要测量出“一号”柳树的胸径,就可以利用这个一次函数模型来估算“一号”柳树的高度.
(1)以上材料中,主要运用的数学思想是________.(从下面的选项中选择两个即可,填序号)
A.模型思想　　　　B.公理化思想　　　C.统计思想
AC
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(2)技术人员在当地收集到“二号”柳树的树高y与胸径x的数据如下:
①请你参照材料中的方法,求“二号”柳树的树高y与胸径x的一次函数模型(函数表达式).
②一段时间后技术人员测得“二号”柳树胸径为50 cm,查阅相关资料发现,此时对应树高超过14 m才算生长良好,请你判断“二号”柳树生长是否良好.
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课堂总结
本节课我们从生活与传统文化案例入手,学会用“描点—画近似直线—待定系数法求一次函数表达式”刻画数据趋势,理解误差来源,体会统计与代数的融合,掌握从数据到预测的核心方法.
作业设计
基础性作业:教材练习.
提高性作业:教材习题第1题.
拓展性作业:搜集更多数据变化趋势的刻画的实例,并尝试解答.

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