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（培优篇）2025-2026学年下学期小学数学人教版五年级第二单元练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．非零自然数按因数的个数分，可以分为（ ）。
A．质数和合数 B．奇数和偶数 C．质数、合数和1
2．已知a÷b＝c（a、b和c都是非0自然数），那么下面各种说法，正确的是（ ）。
A．a是倍数 B．b是因数 C．c是因数 D．b、c都是a的因数
3．一个数既是60的因数，又是3和5的倍数，这个数可能是（ ）。
A．1或15 B．15或20 C．30或60 D．10或45
4．任意一个质数与1的和（ ）。
A．一定是偶数 B．一定是奇数 C．可能是奇数，也可能是偶数
5．某小学有312□名学生，已知学生的人数既是2的倍数，又是3的倍数，□里的数是（ ）。
A．0 B．2 C．5 D．8
6．对自然数n进行如下操作：如果n是偶数，就把它除以2；如果n是奇数，就把它加上105。现在对123进行有限次操作，得到的结果不可能是（ ）。
A．57 B．99 C．100 D．114
7．男生衣服上有5个扣子，女生衣服上有4个扣子，如果学生人数是奇数，扣子总数是偶数，那么女生人数是（ ）。
A．奇数 B．偶数 C．质数
8．智能工厂里，机械臂可以通过输入设定值，将相同个数的零件装箱打包。一批零件有24个，如果不能每次单个打包，也不能一次全部打包，且最后正好打包完成，那么一共可以有（ ）种不同的设定值。
A．8 B．7 C．6
二、填空题
9．85增加( )后，是3的倍数中最大的两位数。
10．在1，2，3，7，8，15这些数中，( )是奇数，( )是偶数，既是奇数又是质数的数是( )，既是偶数又是合数的数是( )。
11．把18个球平均装在几个相同的盒子里（盒子数大于1），刚好装完，有( )种装法。
12．《西游记》是中国古典四大名著之一。小说中的孙悟空有七十二般变化，72的最小因数是( )，最小倍数是( )。
13．在自然数范围内，用最小的奇数、偶数、质数、合数这4个数组成四位数（没有重复数字），可以组成( )个四位数，其中最大的四位数是( )，最小的是( )。
14．黑板上贴着7张数字卡片，细心的妙想发现：这7个数字正好是某个自然数的所有因数，这个自然数是 。
15．如图所示的一张6行4列的方格纸上。每个方格内填入最上边与最左边两个数的乘积，例如：m＝5×9＝45。如果可以重新排列最上边与最左边的10个数字的位置，并且重排后，每个方格内的数字也更新为重排后的最上边与最左边两个数的乘积。
那么重排后：24个方格内最多能有 个奇数。24个方格内最多能有 个10的倍数。
16．某数用5除余2，用6除余4，用7除余3，这个数最小是( )。
三、判断题
17．6的因数有1，2，3，6，这几个因数之间的关系是1＋2＋3＝6，像6这样的数叫作完全数（也叫作完美数），28也是完美数。( )
18．一个数的最小倍数和最大因数都等于它本身。( )
19．如果“36和a都是9的倍数”，那么“36＋a”的和是合数；如果“a＋3”的和是奇数，那么a是偶数。( )
20．如果a和b都是7的倍数，那么a与b的和也一定是7的倍数。( )
四、计算题
21．求下列各组数的最大公因数。
15和16 28和36 7和63
22．已知a、b均为质数（a＞b），ab表示a与b的乘积，如果a＋ab＋b＝55，那么a－b的值是多少？
五、改错题
23．两个质数的和是偶数。( )
理由： 。
六、解答题
24．筐里有30个苹果，将它们全部取出来，分成若干堆（堆数大于1，而小于30），使每堆中苹果的个数相等，有几种分法？
25．阳光小学开展“争做雷锋好少年”活动，五年级三中队队员们为宣传节约粮食是中华民族的传统美德，组织45名队员到小区的4个单元宣传节粮新观念，弘扬节俭美德。节粮宣传牌是用一根长24分米的铁丝围成的一个长方形。
（1）每个单元派出的志愿者人数都是奇数，你能按要求分配任务吗？请说明理由。
（2）要求节粮宣传牌的长和宽都是整分米数，而且都是质数，围成的节粮宣传牌的长和宽分别是多少？这个节粮宣传牌的面积是多少？
26．一个能被2和3整除的四位数，它的千位上的数字既是奇数又是合数，它的百位数字是1，它的个位数字是最小的质数，这个四位数是多少？写出所有可能的情况。
27．母亲节到了，乐乐在花店挑选了一些康乃馨和郁金香作为礼物送给妈妈，店员说乐乐应付93元，按照图中的价格计算，店员说得对吗？
28．学校进行队列操表演，五年（1）班全班学生人数不到50人，每行12人或每行16人都正好能排成整行，你知道这个班有多少人吗？
29．数学老师买来一百多颗糖果和同学们做游戏，游戏规则如下：在游戏开始前，老师先从袋子里拿走10个以内的任意数量的糖果，再依次提问：袋子里的糖数是质数还是合数？答对可以拿走3颗糖，答错只能拿走1颗糖。32个同学全部回答合数，那么游戏结束，同学们拿走的糖果总数最少是多少颗？
《（培优篇）2025-2026学年下学期小学数学人教版五年级第二单元练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C C A C A C
1．C
【分析】只有1和它本身两个因数的数叫质数；除了1和它本身，还有其它因数的数叫合数；1既不是质数，也不是合数。能被2整除的是偶数，不能被2整除的是奇数。自然数中的1只有1这一个因数，据此解答。
【详解】A. 1只有1这一个因数，而1既不是质数，也不是合数，其他的自然数按因数的个数分，可以分为质数、合数。所以该选项叙述得不全面；
B. 非零自然数按能否被2整除分为奇数和偶数，所以该选项与题目要求无关；
C. 特殊情况，自然数1只有1这一个因数，而1既不是质数，也不是合数，其他的自然数按因数的个数分，可以分为质数、合数。所以该选项叙述得全面。
故答案为：C
2．D
【分析】如果a÷b＝c（a、b和c都是非0自然数），那么b和c就是a的因数，a就是b和c的倍数，据此分析。
【详解】因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在，因此排除A、B、C，说法正确的是b、c都是a的因数。
故答案为：D
3．C
【分析】本题题干要求找出一个数，需同时满足两个条件：既是60的因数，又是3和5的倍数，综合这两个条件，要找的数需既在60的因数集合里，又在3和5的倍数集合里，通过逐一分析选项来确定正确答案。
【详解】因为60＝1×60＝2×30＝3×20＝4×15＝5×12＝6×10
所以60的因数有1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60。
这些因数中是3和5的倍数有15，30，60。
A．1是60的因数，但1不是3和5的倍数，15是60的因数，也是3和5的倍数，所以该选项错误；
B．15是60的因数，也是3和5的倍数，而20是60的因数，但20不是3的倍数，所以该选项错误；
C．30是60的因数，也是3和5的倍数，60是60本身的因数，同样是3和5的倍数，所以该选项正确；
D．10是60的因数，但不是3的倍数，45是3和5的倍数，但不是60的因数，所以该选项错误。
故答案为：C
4．C
【分析】奇数和偶数的运算性质：奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数；一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。据此解答。
【详解】任意一个质数与1的和可能是奇数，也可能是偶数，
例如：质数2，
2＋1＝3
3是奇数；
质数5，
5＋1＝6
6是偶数。
故答案为：C
【点睛】本题考查了质数、奇数、偶数的认识以及奇数和偶数的运算性质。
5．A
【分析】同时是2和3的倍数特征：个位上是0、2、4、6或8，且各个数位上的数字和是3的倍数。据此解答。
【详解】A．3＋1＋2＋0＝6
6是3的倍数，所以3120既是2的倍数，又是3的倍数。
B．3＋1＋2＋2＝8
8不是3的倍数，所以3122不符合题意；
C．3125不是2的倍数，所以3125不符合题意；
D．3＋1＋2＋8＝14
14不是3的倍数，所以3128不符合题意。
故答案为：A
【点睛】熟练掌握2、3的倍数的特征是解决此题的关键。
6．C
【分析】123是奇数，123＋105＝228，228是偶数，228÷2＝114；依次类推，对123进行有限次操作，得到的结果228、114、57、162、81……
228、114、57、162、81都是3的倍数，所以操作过程中产生的数都是3的倍数。据此判断每个数即可。
【详解】57、99、114是3的倍数，100不是3的倍数，所以得到的结果不可能是100。
故答案为：C
【点睛】本题需要从3的倍数特征进行考虑，掌握相应的特征是解答本题的关键。
7．A
【分析】如果学生人数是奇数，则男女生人数是一奇一偶；扣子总数是偶数，男生衣服上有5个扣子，女生衣服上有4个扣子，则男生人数只能是偶数，女生人数只能是奇数，据此解答即可。
【详解】奇数偶数奇数，则男女生人数是一奇一偶；
奇数偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，因为扣子总数是偶数，男生衣服上有5个扣子，女生衣服上有4个扣子，则男生人数只能是偶数，女生人数只能是奇数。
故答案为：A
【点睛】本题考查奇偶数的运算性质，解答本题的关键是掌握奇偶数的运算性质。
8．C
【分析】由题意可知，该设定值应是24的因数，又因为不能每次单个打包，也不能一次全部打包，则除去1和24本身两个因数，其它的因数即为设定值。据此解答即可。
【详解】24÷1＝24
24÷2＝12
24÷3＝8
24÷4＝6
24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24，所以设定值可以是2、3、4、6、8、12共6种。
故答案为：C
【点睛】明确实际考查找一个数的因数的知识是解决本题的关键，其中，要根据实际情况，去除1和24本身两个因数。
9．14
【分析】一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。最大的两位数是99，，18÷3＝6，因此99是3的倍数。然后用99减85即可解答。
【详解】最大的两位数是99。
18÷3＝6
99是3的倍数。
99－85＝14
所以85增加14后，是3的倍数中最大的两位数。
10． 1、3、7、15 2、8 3、7 8
【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。一个数，如果只有l和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
【详解】由分析可得：在1，2，3，7，8，15这些数中，1、3、7、15是奇数，2、8是偶数，既是奇数又是质数的数是3、7，既是偶数又是合数的数是8。
11．
5
【分析】题目要求将18个球平均装在多于1个的相同盒子里，刚好装完。这需要找出18的所有大于1的因数，每个因数对应一种装法。
【详解】18的因数有1、2、3、6、9、18；
18的因数大于1的有：2、3、6、9、18，共5个。
把18个球平均装在几个相同的盒子里（盒子数大于1），刚好装完，有5种装法。
12． 1 72
【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组的写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。进而求出72的最小因数；一个数的最小倍数是它本身，据此求出72的最小倍数，据此解答。
【详解】72＝1×72＝2×36＝3×24＝4×18＝6×12＝8×9
72的因数有：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72；最小因数是1。
72的最小倍数是72。
《西游记》是中国古典四大名著之一。小说中的孙悟空有七十二般变化，72的最小因数是1，最小倍数是72。
13． 18 4210 1024
【分析】最小的奇数是1，最小的偶数是0，最小的质数是2，最小的合数是4，0不能在最高位，1在最高位上可以组成1024，1042，1204，1240，1402，1420；2写在最高位上可以组成2014，2041，2104，2140，2401，2410；4写在最高位上可以组成4012，4021，4102，4120，4210，4201，共有18个；其中最大的四位数是把4在最高位上时的数字按照从大到小排列，是4210；最小的是把1写作最高位上的数字按照从小到大排列，是1024。
【详解】1024，1042，1204，1240，1402，1420，2014，2041，2104，2140，2401，2410，4012，4021，4102，4120，4210，4201；
4210＞4201＞4120＞4102＞4021＞4012；1024＜1042＜1204＜1240＜1402＜1420；
在自然数范围内，用最小的奇数、偶数、质数、合数这4个数组成四位数（没有重复数字），可以组成18个四位数，其中最大的四位数是4210，最小的是1024。
14．64
【分析】根据因数和倍数的意义，a、b、c是不为0的自然数，当a×b＝c时，a和b是c的因数，c是a和b的倍数。如8＝1×8＝2×4，8的因数就有1、8、2、4，共4个。一个数的因数总是成对出现的，因数的个数一般是偶数个；又如16＝1×16＝2×8＝4×4，16的因数有1、16、2、8、4共5个，因为16＝4×4＝42，16因数的个数是奇数个。当一个数能表示成某个整数的平方的形式时，它的因数的个数是奇数个。据此解答即可。
【详解】16是这个数的因数，16的因数也一定是这个数的因数。16的因数有1、2、4、8、16共5个。16是这个数的因数，这个数就是16的倍数。当16的倍数中，16×4＝64＝82，64的因数有1、2、4、8、16、32、64，共7个因数。因此这个自然数是64。
【点睛】本题考查的是因数和倍数的意义，明确这个数是某个整数的平方是解题的关键。
15． 6 10
【分析】①根据奇偶的运算性质，可知奇数×奇数＝奇数，题目中一共有5个奇数，5＝1＋4＝2＋3，只有当一边有2个奇数，另一边有3个奇数时，方格内奇数个数最多，有（2×3）个。
②根据10的倍数倍数特征：末尾是0，数字10应该放在最上边，相应的列有6个10的倍数；数字5也应该放在最上边，除10以外的4个偶数放在最左边，最多有4个10的倍数。所以方格内最多能有（6＋4）个10的倍数。
【详解】①奇数：2×3＝6（个）
②10的倍数：6＋4＝10（个）
根据分析可知，24个方格内最多能有6个奇数。24个方格内最多能有10个10的倍数
【点睛】掌握奇偶数的运算性质以及倍数的认识是解答本题的关键。
16．52
【分析】某数用5除余2，说明这个数的尾数是2或7；用6除余4，说明这个数是偶数，尾数是2；用7除余3，用这个数减去3是7的倍数，因为这个数的尾数是2，减去3尾数是9。尾数是9且是7的倍数的最小数是49，再加上3，验证是否用5除余2，用6除余4即可。
【详解】根据分析，49＋3＝52
52÷5＝10……2、52÷6＝8……4、52÷7＝7……3
某数用5除余2，用6除余4，用7除余3，这个数最小是52。
【点睛】关键是理解“除”和“除以”的区别，如用5除即这个数除以5，通过分析倍数特点，找出符合条件的最小数。
17．√
【分析】根据题目条件，判断28是否是完美数，要先找出28的所有因数，再计算除28外几个因数的和。
【详解】28的因数：1，2，4，7，14，28
1＋2＋4＋7＋14＝28，因此28是完美数。
故答案为：√
18．√
【详解】一个数（0除外）的最小倍数和最大因数都是这个数的本身。
例如：6的最小倍数和最大因数都是6，所以原题干说法正确。
故答案为：√
19．√
【分析】一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫作合数，36和a都是9的倍数，则36和a都可以写成9和一个数的乘积，36＝9×4，假设a＝9×m，36＋a＝9×4＋9×m＝9×（4＋m）（m是不为0的自然数），说明“36＋a”的和也是9的倍数，即“36＋a”的和一定是合数；由奇数和偶数的运算性质可知，奇数＋偶数＝奇数，a＋3＝奇数，因为3是奇数，所以a一定是偶数，据此解答。
【详解】分析可知，如果“36和a都是9的倍数”，那么“36＋a”的和也是9的倍数，“36＋a”的和一定有一个因数9，9本身就是合数，则“36＋a”的和是合数；如果“a＋3”的和是奇数，那么a是偶数，如：当a＝1时，a＋3＝1＋3＝4，4是偶数，不符合题意；当a＝4时，a＋3＝4＋3＝7，7是奇数，符合题意，所以题目说法正确。
故答案为：√
20．√
【分析】已知a和b都是7的倍数，可设a＝7m，b＝7n，接着求出a＋b，进而分析解答。
【详解】设a＝7m，b＝7n，
则a＋b＝7m＋7n＝7（m＋n），说明a＋b的和是7的倍数。
原题说法正确。
故答案为：√
21．1；4；7
【分析】对于不同的数，可根据数的特点选择合适方法。一般可以通过列举法、分解质因数法等找出两个数公有的因数中最大的那个，就是它们的最大公因数。如果两个数是互质数（公因数只有1的两个非零自然数），那么它们的最大公因数就是1；如果两个数存在倍数关系，那么较小数就是它们的最大公因数。
【详解】（1）15的因数有1、3、5、15。
16的因数有1、2、4、8、16。
15和16的最大公因数是1；
（2）28的因数有1、2、4、7、14、28。
36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36。
28和36的最大公因数是4；
（3）63÷7＝9
7和63的最大公因数是7。
22．10
【分析】将a＋ab＋b＝55变形为a＋ab＋b＋1＝56，即（a＋1）×（b＋1）＝56。因为56＝1×56＝2×28＝4×14＝7×8，a、b均为质数且a＞b，所以符合要求的只有“4×14”一组，即a＋1＝14，b＋1＝4，得到a和b的值，进而求出（a－b）的值。
【详解】因为a＋ab＋b＝55
所以a＋ab＋b＋1＝56
即（a＋1）×（b＋1）＝56
因为56＝1×56＝2×28＝4×14＝7×8，且a、b均为质数（a＞b）。
所以a＋1＝14，b＋1＝4，因此a＝13，b＝3。
a－b＝13－3＝10
因此a－b的值是10。
【点睛】能够想到把将a＋ab＋b＝55变形为（a＋1）×（b＋1）＝56，根据两个数的积是56来思考是解决本题关键。
23． × 2加其它的任意一个质数的和都为奇数
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；
一个数，如果除了l和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
【详解】由于最小的质数为2，
如：2＋3＝5，5是奇数；
3＋5＝8，8是偶数；
所以，两个质数的和是可能是奇数，也可能是偶数。2加其它的任意一个质数的和都为奇数。
故答案为：×
24．6种
【分析】找出30的因数就可以，但是要把1和30去掉，因为堆数大于1，而小于30。
【详解】30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6
所以每堆2个苹果，分15堆；
每堆3个苹果，分10堆；
每堆5个苹果，分6堆；
每堆6个苹果，分5堆；
每堆10个苹果，分3堆；
每堆15个苹果，分2堆。
答：有6种分法。
【点睛】考查一个数的因数是多少。
25．（1）不能；理由见详解
（2）长7分米，宽5分米；面积35平方分米
【分析】（1）整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数，且奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数，据此分析；
（2）铁丝长度相当于长方形周长，长方形周长÷2＝长＋宽，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。据此确定长和宽，根据长方形面积＝长×宽，列式解答即可。
【详解】（1）不能按要求分配任务，因为4个奇数相加的和是偶数，而45是奇数，所以不能按要求分配任务。
（2）24÷2＝12＝11＋1＝10＋2＝9＋3＝8＋4＝7＋5＝6＋6
其中7和5都是质数。
7×5＝35（平方分米）
答：围成的节粮宣传牌的长是7分米，宽是5分米，这个节粮宣传牌的面积是35平方分米。
26．9102、9132、9162、9192
【分析】质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。不能被2整除的自然数叫奇数，能被2整除的自然数叫偶数。2的倍数的数的特征是：个位上是0、2、4、6、8的数；3的倍数的数的特征是：各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；据此解答。
【详解】10以内（不包括10）的奇数有1、3、5、7、9，合数有4、6、8、9；所以既是奇数又是合数的数是9，即千位上的数是9；
百位上的数是1；
最小的质数是2，即个位上的数是2；那么这个四位数就能被2整除；
十位上是0时，9＋1＋0＋2＝12，12是3的倍数，满足条件；
十位上是1时，9＋1＋1＋2＝13，13不是3的倍数，不满足条件；
十位上是2时，9＋1＋2＋2＝14，14不是3的倍数，不满足条件；
十位上是3时，9＋1＋3＋2＝15，15是3的倍数，满足条件；
十位上是4时，9＋1＋4＋2＝16，16不是3的倍数，不满足条件；
十位上是5时，9＋1＋5＋2＝17，17不是3的倍数，不满足条件；
十位上是6时，9＋1＋6＋2＝18，18是3的倍数，满足条件；
十位上是7时，9＋1＋7＋2＝19，19不是3的倍数，不满足条件；
十位上是8时，9＋1＋8＋2＝20，20不是3的倍数，不满足条件；
十位上是9时，9＋1＋9＋2＝21，21是3的倍数，满足条件；
所以十位上的数是0、3、6、9，均符合题意。
答：这个四位数是9102、9132、9162、9192。
【点睛】此题主要考查偶数与奇数、质数与合数的意义以及2、3的倍数的特征。
27．不对
【分析】分析题目，康乃馨单价为10元/枝，郁金香单价为5元/枝，都是5的倍数，根据总价＝单价×数量可知：无论各买几枝，买康乃馨的钱数和买郁金香的钱数都应该是5的倍数，花的总钱数也是5的倍数，5的倍数的特征：个位是0或5的数，据此解答。
【详解】康乃馨10元/枝，郁金香5元/枝，10的倍数个位是0，5的倍数个位是0或5，所以不管买几枝康乃馨和郁金香，总价钱的个位数字只能是0或5，而93的个位数字是3，所以店员说得不对。
答：店员说得不对。总价钱的个位数字应该是0或5，而93的个位数字是3。
28．48人
【分析】根据题意，这个数刚好是12和16的公倍数，首先我们先找出12和16的最小公倍数，12＝2×2×3，16＝2×2×2×2，那么它们的最小公倍数是48。而48又刚好小于50，即48就是所求答案。
【详解】根据分析， 12＝2×2×3，16＝2×2×2×2，那么它们的最小公倍数是48；
48＜50
答：这个班有48人。
29．92颗
【分析】根据质数的意义，一个数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。假设老师拿走一些糖果后，袋子里的糖果颗数是质数a，大于2的质数均为奇数。第一个同学回答合数，只能拿走1颗糖，a－1＝偶数，此时袋子里剩余糖数是合数；第二个同学可以拿走3颗糖，a－4＝奇数。每3个连续的数中一定有一个是3的倍数，所以当a－4是3的倍数时，a－4以及后面的数都是合数，每个同学都能得到3颗糖果，同学们拿走的糖果总数为1＋31×3＝94（颗）；当a－4是质数时，可以拿走1颗糖果，剩余糖果数为a－5，a－5是偶数也是合数，可以拿走3颗糖果，剩余糖果数为a－8，a－8是3的倍数，是合数，后面均为3的倍数，那么同学们拿走的糖果总数为2×1＋30×3＝92（颗）。
【详解】假设老师拿走一些糖果后，袋子里的糖果颗数是质数。
情况一：1＋31×3
＝1＋93
＝94（颗）
情况二：2×1＋30×3
＝2＋90
＝92（颗）
92＜94
答：同学们拿走的糖果总数最少是92颗。
【点睛】此题主要理解质数、合数、奇数、偶数的定义，再根据奇数－奇数＝偶数，每3个连续的数中一定有一个是3的倍数，进行分析解答。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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